长 方 体 和 正 方 体Word文件下载.docx
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（1）一个长32厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块最多可以切成（）个棱长为4厘米的正方体。
（2）用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积最小的大长方体，它的棱长总和是（）。
（3）用48厘米长的铁丝焊接成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（）厘米。
（4）小明自己动手烤了一块正方体大蛋糕，蛋糕的表面呈咖啡色，里面是淡黄色。
小明想慢慢享用自己的劳动成果，于是他将这块蛋糕切成了如图所示的125（5×
5×
5）块同样大小的小正方体蛋糕。
切完后他发现，有的小蛋糕有咖啡色的面，而有的没有咖啡色的面，那么一块小正方体蛋糕最多有（）个面是咖啡色，没有咖啡色的面和只有两面是咖啡色的小正方体蛋糕的总数分别是（）块和（）块。
（5）用8个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体或一个正方体（全部用完）。
要使棱长总和最小，应拼成（），它的棱长总和是（）；
要使棱长总和尽可能长，应拼成（），它的棱长总和是（）。
2、选择题。
（1）如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）。
（2）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形状，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（）。
A、42平方分米B、33平方分米
C、24平方分米D、21平方分米
（3）如下图，一个正方体的六个面上分别涂有“赤、橙、黄、绿、青、蓝”六种颜色，其中赤色的对面是（）。
A、橙色B、绿色C、黄色
长方体与正方体的表面积
（1）填表。
名称
长
宽
高
表面积
长方体
6厘米
2.5厘米
1厘米
3厘米
2厘米
1.5厘米
正方体
棱长4.2厘米
棱长6厘米
（2）如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要（）平方米的地毯。
（3）一个长方体的长、宽、高分别是4分米、3分米、和5分米，这个长方体与桌面接触时，最大的接触面是（）平方分米。
（4）一个正方体，它的棱长总和是60厘米，这时正方体的表面积是（）平方厘米。
2、解决问题。
（1）做四个棱长5分米的正方体纸盒，至少要用多少平方分米的纸板？
（2）一个长方体食品盒，长10厘米，宽8厘米，高15厘米，围着它的四周贴一层商标，这张商标纸有多少平方厘米？
（3）为一座新楼做200节长2米、宽20厘米、高10厘米的雨水管道，需用铁皮多少平方米？
（1）将一个棱长是4分米的正方体截成4个同样大小的长方体后，表面积至少增加（）平方分米。
（2）先把体积是1立方分米的正方体木块，平均切成棱长是1分米的小正方体木块，再把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1分米的长方体，这个长方体的长是（）米。
（3）有棱长都是1厘米的24个小正方体，用它们拼成一个长方体，共有（）中不同的拼法，拼成的长方体表面积最小是（）平方厘米。
（4）一个表面积是70平方厘米的长方体木块，正好可以切成三个小正方体，每个小正方体的表面积是（）平方厘米。
（5）两个完全相同的长方体恰好拼成一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。
如果把这两个长方体拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是（）平方厘米。
（6）右图形体是由棱长为1厘米的小正方体拼搭成的，它的表面积是（）平方厘米；
至少还需要（）个这样的小正方体，才能拼搭成一个正方体。
（1）有一个铁皮烟囱，底面是正方形，周长为2米，高为15米。
现需将烟囱加高到25米，至少再需要铁皮多少平方米？
（2）一间教室长8米，宽5米，高3米，如果用涂料粉刷教室的四壁和顶部，除去门窗面积16平方米，共需粉刷多大的面积？
（3）把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？
1、解决问题。
（1）一个长方体木块，如果长减少2厘米，就成为正方体木块，这时正方体木块的表面积是96平方厘米。
原来这个长方体木块的体积是多少？
（2）从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后，剩下的还是一个长方体，这时长方体的表面积是64平方厘米。
原来长方体最长的一条棱是多少厘米？
（3）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；
如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；
如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
求原长方体的表面积。
（4）从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
2、操作题。
（1）①下面（）图中的五个小方格纸折起来，可以成为一个无盖的纸盒。
②如该纸盒有盖，则还有一个面可以画在哪里？
（请在图上画出）
（2）先观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，然后把表格填完整。
小正方体的个数
1
2
3
4
.....
（）
露在外面的面数
5
9
13
（）
......
33
（）
长方体与正方体的体积
（1）少年宫有一排长方体的储物柜，共占地0.86平方米，储物柜高0.9米，这排柜子占去空间（）。
（2）一个正方体的棱长总和是84厘米，它的表面积是（），体积是（）。
（3）一个长方体，相交于一个顶点的三条棱长度分别是4厘米、3厘米和2厘米，这个正方体的棱长总和是（）厘米，表面积是（）平方厘米。
（4）单位换算。
①5000立方厘米=（）立方分米=（）立方米
②1.25立方米=（）立方米（）立方分米
③1升=（）立方分米=（）毫升
④3.75立方分米=（）立方分米（）立方厘米
（5）一个长方体的木盒长8厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体木盒的表面积是（），容积是（）。
（6）王老师有一罐茶叶，茶叶罐的高是12厘米，底面是边长为8厘米的正方形，在茶叶罐四周贴了一圈商标纸，商标纸的面积是（）平方厘米，茶叶罐的体积是（）立方厘米。
（7）一个长方体长是6分米，宽和高都是5分米，它的表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。
（1）学校操场上挖了一个长5米、宽2.5米、深0.6米的沙坑。
①这个沙坑的占地面积是多少平方米？
②用7立方米黄沙能不能把这个沙坑填满？
（2）一个长方体玻璃鱼缸，长0.9米，宽0.6米，高0.4米。
做这个鱼缸至少要用多少平方米玻璃？
这个鱼缸的容积是多少？
（1）你自己的一只拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中，溢出来的水的体积大约是（）。
A、小于1毫升，大于1升
B、大于1立方米，小于1升
C、大于1毫升，小于1升
（2）
表示（）。
A、3
B、
×
C、
+
D.
（3）已知一个正方体的棱长总和是6米，则这个正方体的体积是（）。
A、0.125立方米B、216立方米
C、1立方米D、1.5立方米
（4）右图至少还需（）个小方块才能填成一个正方体。
A、8B、7C、6D、5
（5）一粒纽扣电池能使600（）水污染，相当于一个人一生的饮水量。
A、升B、毫升C、立方米
（6）一个正方体，棱长扩大3倍，体积扩大（）。
A、3倍B、9倍C、27倍D、不变
（1）雪碧瓶的标签上有“净含量：
1.25升”的字样，这个“1.25升”是指整个瓶子的容积。
（2）把一个铁块放入盛满水的容器中，溢出的水的体积就是铁块的体积。
（3）一个物体的体积是1立方米，它的占地面积就是1平方米。
（4）用体积为1立方厘米的小正方体木块1000个，拼成一个最大的正方体，拼成后的正方体体积是1000立方厘米。
（5）用4个同样大的正方体摆成一个长方体，如果正方体的表面积是12平方厘米，那么所摆成的长方体的表面积是36平方厘米。
3、解决问题。
（1）一节车厢，从里面量长10米，宽20分米，高2米。
如果储满煤，每立方米煤重1.4吨，这节车厢能装多少吨煤？
（2）下图是一块长方形铁皮。
剪掉四个脚上阴影部分的正方形（每个正方形都相等）后，沿虚线折起来，做成没有盖子的铁盒。
求这个盒子的容积。
（单位：
厘米）
（3）将2升水倒入下图两个长方体水槽中，使它们水面的高度相等，这个高度是多少厘米？
厘米）
（1）一个正方体的体积是64立方厘米，若把它平均分成两个长方体，则每个长方体的表面积是（）平方厘米。
（2）棱长1米的正方体可以分成棱长1分米的小正方体（）个，若把分成的所有小正方体紧紧地排成一行，一共能排（）米。
（3）把一个长方体的一端截下一个体积为800立方厘米的长方体后，正好剩下一个棱长为10厘米的正方体。
原来长方体的体积是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。
（1）学校盖一间教室，内长9米，宽6米，为了打墙基，需要挖宽0.5米、深0.5米的沟。
一共要挖土多少立方米？
（2）将长是45厘米的长方体截成三段，这样表面积就增加160平方厘米。
这个长方体原来的体积是多少？
（3）如图，甲、乙两个容器装有同样深的水，将一块铁放入甲容器，水面上升2厘米。
如果将同样的铁块放入乙容器，水面将上升多少厘米？
（4）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米？
表面积与体积的应用
（1）一桶汽油约（），一瓶眼药水约（），一个仓库的容积约（），一本数学书的体积约（）。
A、200毫升B、150升
C、400立方米D、200立方厘米
（2）用两个棱长是
厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（）平方厘米。
A、
B、
C、
（3）一间教室长8米，宽6米，高4米，这间教室有32个学生，平均每人占有的空间是（）。
A、48平方米B、1.5平方米
C、6立方米D、192立方米
（4）你认为下图的这种纸质饮料包装盒装（）饮料比较合适。
A、750毫升B、1000毫升C、1026毫升
（5）用8个1立方厘米的小方块拼成一个大正方体，如果拿去了一块（如上图），它的表面积与没有拿以前的表面积相比（）。
A、大了B、小了C、不变
（6）一个汽油桶可装50升汽油，它的（）是50升。
A、体积B、容积C、表面积
（7）长方体和正方体的底面积相等，长方体的高是正方体的2倍，正方体的体积是长方体的（）。
A、2倍B、4倍C、
D、8倍
（8）一个长方体的长、宽、高分别是
米、
米，若高增加3米，则新长方体的体积比原来增加了（）立方米。
A、3B、
D、
（1）在一个长40厘米、宽20厘米、宽30厘米的长方体水箱里注有15厘米深的水。
现把一块棱长10厘米的正方体石块浸没水中，水箱中现在水的高度是多少厘米？
（2）在炎热夏天到来之前，王叔叔准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是50米，宽是长的一半，深1.8米。
①这个游泳池的占地面积是多少平方米？
②挖成这个游泳池共需挖土多少立方米？
③在游泳池的侧面和底面抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（1）如图所示，领奖台是由4个棱长为5分米的正方体拼合而成的。
①如果要把领奖台的表面涂漆（底面不涂），那么需要涂漆的面积是（）平方分米。
②这个领奖台的体积是（）立方分米。
（2）把一根长8厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体，表面积增加（）平方厘米，每个正方体的体积是（）立方厘米。
（3）把一根长4吗的方木按垂直于长锯成5段，表面积增加了160平方厘米。
原来这根方木的体积是（）立方厘米。
（4）把一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和最小是（）。
（5）把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体的8个顶点处，分别截下一个棱长为1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
（1）一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米。
如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深多少厘米？
（2）下图是分别用棱长是1厘米的小正方体木块摆成的几何体，分别求它们的表面积和体积。
（3）一个正方体鱼缸，棱长6分米，如果把满缸水倒入另一个长8分、宽4.5分米的长方体鱼缸内，水面的高度是多少？
（4）一根长方体木料，长4.5米，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积是7.2平方米。
这根木料的体积是多少立方米？
1、将长5分米、宽3分米的长方形硬纸（如图），做成3个棱长1分米的无盖正方体纸盒，该如何剪折（图中正方形的边长表示1分米，请在图上画出剪裁的方法）？
每个纸盒的容积是多少立方分米？
2、一个正方体的A点有一只蚊子，B点有一只壁虎，如图。
画出壁虎捕捉蚊子的最短路线。
3、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。
在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放多少个木块？
4、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆上油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
锯成的木块中几块三面有油漆？
两个面、一个面有油漆的各是多少块？
没有油漆的是多少块？
5、用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如下图），做一个高为5厘米的无盖盒子。
（1）画一画，该如何下料？
在图上画出来。
（2）算一算，这个盒子的容积有多少升？
6、一块长方体的钢材重71.1千克，横截面为边长6厘米的正方形，已知每立方分米的钢重7.9千克。
这根钢材长多少米？
7、下面是一个表面被涂上红色的棱长10厘米的正方体。
如果把它沿虚线切成8个小正方体，这些小正方体中，没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩余的体积是多少立方厘米？
长方体和正方体
（一）
我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。
在数学竞赛中，有许多问题涉及长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性。
解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、做图能力和空间想象能力，还要能掌握一些解题的思路和技巧。
通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。
例1在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？
【思路一】：
正方体铁块放入水中后，水面上升，上升部分的水的体积与铁块的体积相等。
因此，只要求出上升部分水的高度，就可以求出现在水的深度。
【思路二】：
用水箱中水和铁块的体积之和，除以水箱的底面积，就可以求出现在水的深度。
【解法一】30厘米＝3分米
3×
3×
3÷
（15×
12）＋10
＝0.15＋10
＝10.15（分米）
【解法二】
12×
10＋3×
3）÷
12）
＝1827÷
180
＝10.15（分米）答：
水箱中水深10.15分米。
例2一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。
第一次把小球沉入水中；
第二次把小球取出，把中球沉入水中；
第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。
已知每次从容器中溢出的水量的情况是：
第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。
问：
大球的体积是小球的多少倍？
【分析与解】
（1）当长方体容器装满水时，沉入一个球，就要溢出一定的水，溢出的水的体积和球的体积相等。
（2）当球在容器中的时候，容器是满的，球取出之后，容器中空出的体积与取出球的体积相等。
（3）当容器中的水不满时，沉入一个球，如果溢出一定量的水，那么，球的体积相当于溢出的水的体积加上原来长方体容器中空出的体积。
我们假设小球的体积为1，根据球放入容器后水溢出的情况，球溢出相应的大球和中球的体积。
设小球的体积为1，则第一次溢出的水的体积也为1。
根据第二次溢出的水是第一次的3倍，可知第二次溢出的水是1×
3＝3。
因为取出小球后容器中空出的体积为1，所以，中球的体积是3＋1＝4。
根据第三次溢出的水是第一次的2.5倍，可知第三次溢出的水为1×
2.5。
因为取出中球后容器中空出的体积是4，所以，大球与小球体积的和是4＋2.5＝6.5。
从而可以求出大球的体积为6.5－1＝5.5，以及大球的体积是小球的倍数。
【解】
（1×
3＋1＋1×
2.5－1）÷
1＝5.5
答：
大球的体积是小球的5.5倍。
例3一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块。
这时容器里的水深0.5米。
如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？
【分析与解】要求容器中水深多少厘米，可以用水的体积除以容器的底面积；
也可以用原来的水深减去铁块取出后水面下降的高度。
【解法一】0.5米＝50厘米
（60×
60－15×
15）×
50＝168750（立方厘米）
168750÷
（60×
60）＝46.875（厘米）
【解法二】50－15×
15×
50÷
60）
＝50－3.125
＝46.875（厘米）答：
容器里水深46.875厘米。
例4有一个正方体，棱长是6厘米。
如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方体（如左图），那么，这些小正方体表面积的和是多少？
用每块小正方体的表面积乘以块数，得到所有小正方体表
面积的和。
将原来正方体切开后，原来的六个面仍是所求表面积的一部分，而每切一刀，就增加2个正方形的剖面，现在一共切了6刀，表面积就比原来增加了2×
6＝12（个）正方形面的面积。
用原来正方体的表面积加上增加的面积，就得到所有小正方体表面积的和。
【解法一】
（6×
6×
6）÷
（2×
2×
2）＝27（块）
2×
27＝648（平方厘米）
【解法二】6×
（6＋2×
6）
＝36×
18
＝648（平方厘米）答：
表面积的和是648平方厘米。
例5一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀。
（1）三个面涂有红色的小正方体有几个？
（2）两个面涂有红色的小正方体有几个？
（3）一个面涂有红色的小正方体有几个？
（4）六个面都没有涂红色的小正方体有几个？
【分析】把大正方体的每个面都切两刀，共可得到3×
3＝27（个）小正方体。
三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个。
两个面涂有红色的小正方体的位置在每条棱上，共有1×
12＝12（个）。
一个面涂有红色的小正方体的位置在每个面的中间，共有1×
6＝6（个）。
六个面都没有涂红色的小正方体在大正方体的中间，从27个小正方体中去掉三个面、两个面、一个面涂红色的小正方体，剩下的就是六个面都没涂红色的小正方体。
（1）三个面涂红色的小正方体有8个；
（2）两个面涂红色的小正方体有1×
12＝12（个）；
（3）一个面涂红色的小正方体有1×
6＝6（个）；
（4）六个面都没有涂红色的小正方体有27－（8＋12＋6）＝1（个）。
想一想：
如果要得到100个六个面都没有涂红色的小正方体，那么，每个面上至少需要等距离地切几刀（每个面上切的刀数相同）？
把一个六个面都涂色的正方体的每个面等距离地切n刀，得到的小正方体的总个数为（n＋1）3，其中三个面涂色的小正方体的个数为8（固定不变）；
两个面涂色的小正方体的个数为（n－1）×
12；
一个面涂色的小正方体的个数为（n－1）2×
6；
六个面都没涂色的小正方体的个数为（n－1）3。
当n＝5时，（5－1）3＝64；
当n＝6时，（6－1）3＝125。
所以，要想得到100个六个面都没有涂色的小正方体，至少应该在大正方体的每个面上等距离地切6刀。
【作业题】
1、一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。
2、用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。
已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。
这个长方体的长和宽各是多少厘米？
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