第7讲中心对称解析版Word格式.docx

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D．1

【答案】B．

【解析】结合中心对称的性质可知，圆与平行四边形是中心对称图形

例三：

【题干】点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（）

A．（﹣3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）

【答案】C．

【解析】利用中心对称的性质作图可以求解

例四：

【题干】如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.（画出图形并写出解答过程）

【答案】见解析

【解析】①连接AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D；

②同样画出点B和点C的对称点E和F；

③连接DE、EF、FD.如图所示：

△DEF即为所求的三角形。

课堂基础夯实

一．选择题（共5小题）

1．（2019秋•门头沟区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

B．

C．

D．

【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义即可解决问题．

【解析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义可知选项B中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：

B．

2．（2019秋•惠城区期末）在下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解析】A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：

C．

3．（2019秋•信阳期末）已知a＜1，则点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

【解析】点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点为：

（a2，a﹣1），

∵a＜1，

∴a2＞0，a﹣1＜0，

∴（a2，a﹣1）在第四象限．

D．

4．（2019秋•昌平区校级期末）已知点P（﹣2，3），则点P关于原点的对称点的坐标是（　　）

A．（3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）

【分析】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．

【解析】点P（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是：

（2，﹣3）．

5．（2019秋•江城区期中）下列说法正确的是（　　）

A．成中心对称的两个图形全等

B．全等的两个图形成中心对称

C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称

D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称

【分析】根据中心对称图形，中心对称的概念和性质和轴对称图形的概念对各选项进行判断．

【解析】A．成中心对称的两个图形全等，故本选项正确；

B．全等的两个图形不一定成中心对称，故本选项错误；

C．成中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，故本选项错误；

D．关于某条直线成轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心对称，故本选项错误；

二．填空题（共6小题）

6．（2019秋•太仓市期末）若点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′在第四象限的取值范围是　﹣2＜m＜

　．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出P′（﹣3m+1，﹣2﹣m），进而得出不等式组答案．

【解析】∵点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m）在第四象限，∴

，解得：

﹣2＜m＜

．故答案为：

．

7．（2019秋•霍林郭勒市期末）在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'

（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为　5　．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．

【解析】∵点A（x+1，2y+1）与点A'

（y﹣2，x）关于原点O对称，

∴

，故x2﹣y2＝9﹣4＝5．故答案为：

5．

8．（2020•封开县一模）在平面直角坐标系中，点P（4，﹣5）与点Q（﹣4，m+1）关于原点对称，那么m＝　4　．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m的值即可．

【解析】∵点P（4，﹣5）与点Q（﹣4，m+1）关于原点对称，

∴m+1＝5，解得：

m＝4，故答案为：

4．

9．（2019秋•镇原县期末）已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab的值为　﹣3　．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．

【解析】∵点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，

∴a＝3，b＝﹣1，故ab＝﹣3．故答案为：

﹣3．

10．（2019秋•雷州市期末）点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为（﹣2，m），则m＝　1　．

【解析】∵点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为（﹣2，m），

∴m＝1．

故答案为：

1．

11．（2018秋•徽县期末）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　（2，﹣3）　．

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（﹣2，3）关于原点O的对称点是P′（2，﹣3）

【解析】根据两个点关于原点对称，

∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；

故答案为（2，﹣3）．

三．解答题（共7小题）

12．（2019秋•吉安期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（　﹣4　，　﹣3　），顶点B的坐标（　3　，　0　），顶点C关于原点对称的点C′的坐标（　2　，　﹣5　）．

（2）△ABC的面积为　10　．

【分析】

（1）直接利用关于x轴对称点的性质以及关于原点对称点的性质分别得出答案；

（2）直接利用△ABC的面积所在整体特殊三角形以及矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．

【解析】

（1）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（﹣4，﹣3），顶点B的坐标（3，0），

顶点C关于原点对称的点C′的坐标（2，﹣5）．

﹣4，﹣3；

3，0；

2，﹣5；

（2）△ABC的面积为：

×

5×

5+2×

5﹣

2×

2﹣

3×

7＝10．故答案为：

10．

13．（2019春•秦淮区期末）如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案称为中心对称图形．

【分析】直接利用中心对称图形的定义进而分析得出答案．

【解析】如图所示：

14．（2018秋•余干县期中）将△ABC绕点C旋转180°

得到△FEC．

（1）试猜想AE与BF有何关系？

说明理由．

（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．

（1）由题中已知条件，可以利用一组对边平行且相等来证明四边形ABFE为平行四边形；

（2）根据等底同高三角形的面积相等即可得到结论．

（1）AE∥BF，AE＝BF．

理由是：

∵△ABC绕点C顺时针旋转180°

得到△FEC，

∴△ABC≌△FEC，∴AB＝FE，∠ABC＝∠FEC，∴AB∥FE，

∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF，AE＝BF；

（2）由

（1）得四边形ABFE为平行四边形，∴AC＝CF，BC＝CE，

∴根据等底同高得到S△ABC＝S△ACE＝S△BCF＝S△CEF＝3cm2，

S四边形ABFE＝4S△ABC＝12cm2．

15．（2017秋•简阳市期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；

（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；

（3）求线段BC的长．

（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；

（2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案；

（3）直接利用勾股定理得出答案．

（1）A（﹣4，3），C（﹣2，5），B（3，0）；

（2）如图所示：

点A′的坐标为：

（﹣4，﹣3），B′的坐标为：

（﹣3，0），点C′的坐标为：

（2，﹣5）；

（3）线段BC的长为：

＝5

16．（2017秋•淮南月考）已知点A（1﹣2x，y﹣4）与点b（2y+1，x﹣1）关于原点对称，求yx．

【分析】根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”列方程组求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解析】由题意得：

，解得

，

所以，yx＝23＝8．

17．（2017秋•东丰县期中）已知点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．

【分析】利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的等式进而求出即可．

【解析】∵点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，

18．（2016秋•松山区期中）当m为何值时：

（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；

（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？

（1）判断出点A在第一象限，然后根据第一象限内点的纵坐标是正数列不等式求解即可；

（2）根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值列出绝对值方程，然后求解即可．

（1）∵点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限，

∴点A在第一象限，∴3m＞0，解得m＞0；

（2）∵点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，

∴|0.5m+2|＝

|3m﹣1|，

∴0.5m+2＝

（3m﹣1）或0.5m+2＝﹣

（3m﹣1），

解得m＝2.5或m＝﹣

提高培优训练

一．选择题（共6小题）

1．（2018秋•乐清市校级月考）已知：

点A（﹣3，4）与点B关于y轴对称，点P与点B关于原点对称，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（3，4）D．（﹣3，﹣4）

【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．

【解析】由点A（﹣3，4）与点B关于y轴对称得到：

B（3，4）．

由点P与点B关于原点对称，则点P的坐标为（﹣3，﹣4）．

2．（2017秋•裕华区期末）下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（　　）

【分析】根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解．

【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是旋转变换图形，故本选项错误；

D、是旋转变换图形，故本选项错误．

3．（2018秋•富顺县期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A．OC＝OC′B．OA＝OA′

C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′

【分析】根据中心对称的性质即可判断．

【解析】对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；

成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．

4．（2014•雅安）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣

），P点关于x轴的对称点为P2（a，b），则

＝（　　）

A．﹣2B．2C．4D．﹣4

【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出P点坐标，进而利用关于x轴对称点的坐标性质得出P2坐标，进而得出答案．

【解析】∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣

），∴P（3，

），

∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），∴P2（3，﹣

＝

＝﹣2．故选：

5．（2012秋•合川区校级期末）有以下图形：

平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．

【解析】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．

共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．

6．（2011秋•香河县期末）如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：

①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°

；

②以C为旋转中心，顺时针旋转90°

得△A′B′C′，再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称；

③将△ABC向下向左各平移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称，其中正确的变换有（　　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【分析】根据平移和旋转的基本性质和三角形的性质即可解答．

【解析】根据题意分析可得：

△DEC可以由△ABC经过：

得到，正确；

得△A′B′C′，再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称的变化得到，正确；

③将△ABC向下向左各平移1个单位，所得△DEC与原△ABC为轴对称图形，并非由旋转得到，错误．故选：

7．（2019秋•南平期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°

，则AE的长是　

【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．

【解析】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，

∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，∴AD＝2，

∵∠D＝90°

，∴AE＝

，故答案为

8．（2019秋•天津期末）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝　﹣6　．

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．

【解析】由题意，得a＝﹣5，b＝﹣1．a+b＝﹣5+（﹣1）＝﹣6，

﹣6．

9．（2019秋•天河区期末）在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是　（﹣1，2）　．

【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【解析】根据关于原点对称的点的坐标的特点，

∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．

（﹣1，2）．

10．（2018秋•新疆期末）已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是　a＜﹣1　．

【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a+1＜0，然后解出a的范围即可．

【解析】∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，

∴P点在第二象限，∴a+1＜0，解得：

a＜﹣1，故答案为：

a＜﹣1．

11．（2019秋•连江县期中）点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是　（1，﹣2）　．

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．

【解析】点P（﹣1，2）关于原点对称的点P′的坐标是（1，﹣2）．

（1，﹣2）．

12．（2018秋•汶上县期末）六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为　

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断，根据概率的公式计算．

【解析】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，

正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，

矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，

圆是轴对称图形，也是中心对称图形，

菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，

卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为

三．解答题（共8小题）

13．（2019秋•莫旗期末）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：

FD＝BE．

【分析】根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性质可得FO＝EO，然后再证明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性质可得DF＝BE．

【解答】证明：

∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴BO＝DO，AO＝CO，

∵AF＝CE，∴AO﹣AF＝CO﹣CE，∴FO＝EO，

在△FOD和△EOB中，

，∴△FOD≌△EOB（SAS），∴DF＝BE．

14．（2019秋•沙坪坝区校级期中）在学习函数的过程中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程，根据你所经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数y＝ax3﹣bx+2中，当x＝﹣1时，y＝4；

当x＝﹣2时y＝0．

（1）根据已知条件可知这个函数的表达式　y＝x3﹣x+2　．

（2）根据已描出的部分点，画出该函数图象．

（3）观察所画图象，回答下列问题：

①该图象关于点　（0，﹣2）　成中心对称；

②当x取何值时，y随着x的增大而减小；

③若直线y＝c与该图象有3个交点，直接写出c的取值范围．

（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）利用描点法画出函数图象即可．

（3）利用数形结合的思想解决问题即可．

（1）由题意：

∴函数解析式为y＝x3﹣x+2．故答案为y＝x3﹣x+2．

（2）函数图象如图所示：

（3）①观察图象可知：

函数图象关于（0，2）成中心对称．

故答案为（0，﹣2）．

②观察图象可知：

当﹣1＜x＜1时，y随着x的增大而减小．

③观察图象可知：

若直线y＝c与该图象有3个交点，c的取值范围为0＜c＜4．

15．（2019春•宿州期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．

（1）图中哪两个图形成中心对称？

（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．

（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；

（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．

（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；

（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，

∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．

16．（2018秋•呼和浩特期中）如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）求证：

四边形AEDF是中心对称图形；

（2）若AD平分∠BAC，求证：

点E、F关于直线AD对称．

（1）判定四边形AEDF是平行四边形，即可得出四边形AEDF是中心对称图形；

（2）先得出AE＝DE，再根据四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形，即可得到结论．

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴四边形AEDF是中心对称图形；

（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，

又∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，

∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，

又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，

∴AD垂直平分EF，∴点E、F关于直线AD对称．

17．（2017秋•三台县期中）如图，已知A（2，3）和直线y＝x．

（1）分别写出点A关于直线y＝x的对称点B和关于原点的对称点C的坐标．

（2）若点D是点B关于原点的对称点，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（1）依据关于直线y＝x的对称点的坐标特征以及关于原点的对称点的坐标特征，即可得到B（3，2），C（﹣2，﹣3）；

（2）先依据轴对称和中心对称的性质，得到四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形．

（1）∵A（2，3），

∴点A关于直线y＝x的对称点B和关于原点的对称点C的坐标分别为：

B（3，2），C（﹣2，﹣3）；

（2）四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵B（3，2）关于原点的对称点为D（﹣3，﹣2），

又∵点B点D关于原点对称，∴BO＝DO．同理AO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵A关于直线y＝x的对称点为B，点A关于原点的对称点C，

∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．

18．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，

（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；

（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．

（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；

（2）根据三角形的三边关系求解即可．

（1）所画图形如下所示：

△ADE就是所作的图形．

（2）由

（1）知：

△ADE≌△BDC，则CD＝DE，AE＝BC，

∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，

∴2＜2CD＜10，解得：

1＜CD＜5．

19．（2018秋•随州期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，