数学物理方法复习资料及参考答案一docWord文件下载.docx
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9.数理方程屮的定解条件包括三火类初始条件、和衔接条件。
pl-x2）y'
-2xy+=0（-1<
x<
1）
10.在本征值问题1）’（土U有眼中，方程
-2xy^+；
^=0称为微分方程，该本征值问题的本征值
入"
=，相应本征函数是（%）=，其中w=，
该本征函数称为,写岀它的表达式（至少一种）：
二、简答题：
1、孤立奇点分为儿类？
如何判别？
2、简述施图姆一刘维尔木征值W题的共同性质。
三、基础题：
1、计算实变函数定积分/=厂——-
Jo（?
+9）（x2+4）2
rcoscotJ°
p1or
da）=
4、试证递推公式
（2w+ix（K_iW=（"
+i）A+iW
四、综合题：
1、求解定解问题
a2u
2、求解定解M题
cos20
参考答案
（每空2分，井30分）
1.cos—hzsin—
22
3.
2/+1
5.1
6.（p（x-at）
1!
3!
5!
7!
9.边界条件
勒让徳多项式、
10.勒让徳、n{n+1）、Pn（x）>
n-0，1，2,
1d"
2nn\dx
4u2-ir或忍⑺=t（:
1）A（2/卜2幻!
x
"
一2人'
k=Q2”k\（n-k）!
（n-2k）l
二、简答题（每题5分，共10分）1.可去奇点、极点、本性奇点。
可去奇点：
limf（z）=aQ（有限值）或无负幕项
z->
Zo
<
极点：
limf（z）=oo或有有限个负幕项本性奇点：
limf（z）=不存在或有无限多个负幂项
2.①有无穷多个本征值：
A,<
A2<
23<
……
相应地柯无穷多个木征函数：
凡（X），y2（X）,y3O）,
2所有的本征值都大于或等干零：
A,^0
3相应于不同本征值/^和人的本征函数y,„Cr）和y,,（x）,在区间上带权重/?
Cr）正交，即:
•b
又:
（X）P（X）也=0
④本征函数族y,（X），O），y3（x），是完备的
三、基础题（毎题6分，共24分）
1•解：
x2dx
2_°
（x2+9）（x2+4）
（z2+9）（z2+4）2（z+3/Xz-3/）（z+2zj2（z-2/y它在上半平面的奇点有两个：
一阶极点z=3f，二阶极点z=2z’，
因为被积函数是偶函数，所以/=
（2分）
9）（z2+4）2=50
-2/）2
2+9）（z24-4）2I200
2•解：
3x2-3j2
du
dx
dy
=-6xy
由C—/?
条件，得：
—-——3x2—3j2,oyox
则：
v=J（3x2-3y2）dy=3x2y-y3,+（p（x）
得:
dv
d^c
6xy+（p（x）
-（-6.v）0,（p（x）=0,
（p（x）=C
得：
v=3x2y—y3+C,（C为常数）……（2分）
/（z）=u+iv=x3-3a>
2+i（3x2y-y3+C）=（x+zy）3+iC=z3+iC因为：
/（0）=0,=>
/C=0,^C=0,故：
/（z）=z3……（2分）
3•证：
先对原式进行拉锌拉斯变换杏:
71/32+692
命题得证。
……（3分）
4.证：
1°
由母函数公式：
，
Vl-2rx+r2n=o
（l-2rx+r2）3/2
两边同乘以（l-2rr+r2），得：
%~r=（1-2rx+r2nrn'
xPn（x）
a/1-2rx+r2"
=o
oooo
再山母蚋数公式，得：
（又-厂）［，什（又）=（1-2，：
1+厂-）［"
广人⑴
/:
=0打=0
比较两边的，的系数，得：
%PM（x）-Pw_!
（x）=（n+\）Pn+］（x）-2xnPn（x）+（n-（x）
整理P，命题将证。
（每题12分，井36分）
1.解：
令w（a：
，，）=x（%）r（，）
巾分离变虽法解捋：
（2/7+1）2^-2（2/）2-
木征函数：
X（x）^sin（2/?
+1）；
n'
21
w、（2z?
+1）瓜/Z（2z?
+l）^zZ
T{t）=Acos+Bsin
（6分）
oo
w（x,r）=
.（2a?
+1）細„•（2n+l）伽
九cos+6..sin——
H=（）
.（2/7+l）7ZXsin
代入初始条件有，
w（x,o）=YA,sin⑽=0,=>
久=0
n=0
比较两边系数可得：
Bo—=1,B,—=1=>
Bo=—=—,S„=0（az^0,1）2121na3瓜i
/\2/.7iat.7ix2/.3nat.3^x
（4分）
故：
u\x,t）=—sin—sin—+sinsin
7ia
极坐标系卜，拉咎拉斯方程的通解为：
OO
rl
It、p，（p）=C0+/J>
0\np+^pm（Antcosm（p+Bmsinm（p）+[p_n,（C,„cosm（p+Dmsinm（p）…（4分）
考忠圆外自然边界条件：
/?
—>
°
w4打限值，3A,,,==0，£
）Q=0
…（2分）
则可得：
u、p，（p）=Yp-in、Cmcosm（p-\-Dmsinmcp）…（2分）
zn=0
由边界条件：
u、a，（p）=c「,n、Cmcosm（p+Dmsinm（p）—Asin（p
'
/'
=0
C,„=£
>
=认4,£
,,=0（m关1））…（2分）
u（p,（p）=——sin（p…（2分）
P
3.解：
由于边界条件与0无艾，故讨以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉咎拉斯方程通解为:
oon
«
（r，0）=［（A//+—^j~）P/（cos0）…（4分）
/=or
考虑阀心的lb然边界条件：
M
r=0
=有限值，=^>
B,=0
《（r，的二［A/乃（cos的…（2分）
1=0
12
w（l,O）=YAipi（cos^）=COS^=%2+—P2（%）
/=o33
12
A）=-M2=-，A=0（/^0,2）"
.（2分）
8.z—i=1
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