吉林大学研究生数值计算方法期末考试样卷.docx
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吉林大学研究生数值计算方法期末考试样卷
.专业整理.
1.已知
ln（2.0）=0.6931;ln（2.2）=0.7885,ln（2.3）=0
.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1
的值并估计误差
2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为
y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值
3.分别求满足习题1和习题2中插值条件的Newton插值
（1）
xi
f[xi]
f[xi1,xi]
f[xi2,xi1,xi]
2.0
0.6931
2.2
0.7885
0.477
2.3
0.8329
0.444
-0.11
（2）
xi
f[xi]
f[xi1,xi]f[xi2,xi1,xi]
f[xi3,xi2,xi1,xi]
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01
231
32-1-2/3
5
5
3/2
5/6
3/10
N3（x）1x
2x（x
2）
3x（x2）（x
3）
3
10
4.给出函数f（x）的数表如下,求四次Newton
插值多项式,并由此计算f（0.596）的值
xi
f（xi）
0.40
0.55
0.65
0.80
0.90
1.05
0.41
0.57
0.69
0.88
1.02
1.25
075815675811652382
解：
xif[xi]
F2F3F4F5F6
1.0.41
4075
0.0.571.11
.学习帮手.
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55815600
1.0.691.180.28
65
675
600
000
0.
0.88
1.27
0.35
0.19
8
811
573
893
733
0.
1.02
1.38
0.43
0.18
-0.02
9
652
410
347
634
200
1.
1.25
1.51
0.52
0.22
0.088
0.16
05
382
533
492
863
46
394
5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插
和后插公式计算sin0.57891的值
xi
f（xi）
0.40.50.60.7
0.38940.47940.56460.6442
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2342
6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，
拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数
的图形。
（a）
xk1.01.11.31.51.92.1
yk1.841.962.212.452.943.18
（b）
4.
4.
4.
4.
5.
5.
5.
6.
6.
7.
xk
0
2
5
7
1
5
9
3
8
1
10
11
13
14
16
19
22
25
29
32
yk2.
3.
0.
2.
7.
5.
4.
6.
9.
6.
56
18
11
05
53
14
87
73
50
72
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7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形
2
1dx
求积公式计算积分0x4所需的步长h，使得精度达到105。
8.求A、B使求积公式
1
1）
f
（1）]
f（x）dxA[f
（1）f
（1）]B[f（
的
1
2
2
代数精度尽量高,并求其代数精度；利用
2
1
dx
I
x
此公式求
1
（保留四位小数）。
9.已知
xi
f（xi）
1345
2654
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
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f（x）的三次插值多项式
P3（x），并求f
（2）的近
似值（保留四位小数
）。
10.已知
-
xi
2
-1
0
1
2
f（xi）
4
2
1
3
5
求f（x）的二次拟合曲线
p2（x），并求f（0）的近
似值。
11.已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表
xi
yi
0.40.50.6
0.70.8
0.389420.47943
0.564640.64422
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0.71736
如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选
择节点才能使误差最小？
并求该近似
值。
12.利用矩阵的LU分解法解方程组
x12x23x314
2x15x22x318
3x1x25x320。
13.已知下列实验数据
xi1.361.952.16
f（xi16.84
）417.37818.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以
上数据。
14.取节点x00,x10.5,x21,求函数f（x）ex在区间
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[0,1]上的二次插值多项式P2（x）,并估计误
差。
15.数值积分公式形如
1
xf（x）dxS（x）Af（0）Bf
（1）Cf（0）Df
（1）
0
试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量
高；
（2）设f（x）
C4[0,1]，推导余项公式
1
S（x）
R（x）xf（x）dx
0
，并估计误差。
16.已知数值积分公式为：
h
h[f（0）f（h）]
h2[f'（0）f
'（h）]
f（x）dx
0
2
，
试确定积分公式中的参数，使其代数精确
度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
17.以100,121,144为插值节点，用插值
法计算115的近似值，并利用余项估计误
差。
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用Newton插值方法：
差分表：
18用复化Simpson公式计算积分
I
1sinx
dx
1x的近似值，要求误差限为
0.5105。
19.取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分
21
012x2dx的近似值（保留4位小
数）。
20.确定求积公式
1
1
5f0.68f05f
0.6
fxdx
1
9
的代数精度，它是Gauss公式吗？
21·.给出f（x）lnx的数值表用线性插值及
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二次插值计算ln0.54的近似值。
X0.40.50.60.70.8
lnx
-0.916-0.693-0.510-0.357-0.223
291147826765144
22.给出cosx,0x90的函数表，步长h1（1/60），
若函数具有5位有效数字，研究用线性插值
求cosx近似值时的总误差界。
23.求一个次数不高于4次的多项式P（x），
使它满足P（0）P（0）0，P
（1）P
（1）1，P
（2）1。
24..给定数据表：
i1,2,3,4,5，
xi
12467
f（xi）41011
求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
25.如下表给定函数：
i0,1,2,3,4，
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xi01234
112
f（xi）36
187
试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。
26.用最小二乘法求一个形如yabx2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
xi
yi
1925313844
19.032.349.073.397.8
27.观测物体的曲线运动，得出以下数据：
时间t（秒）00.91.93.03.95.0
距离s（米）01030508011
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0
28.单原子波函数的形式为yaebx，
试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数
据如下：
X0
1
2
4
2.01
1.21
0.74
0.45
y
0
0
0
0
29.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
（1）014xx2dx；
30.用矩阵的直接三角分解法求解方程组：
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1
0
2
0
x1
5
0
1
0
1
x2
3
1
2
4
3
x3
17
。
0
1
0
3
x4
7
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