概率论与数理统计第四版部分习题答案第四版盛骤浙江大学文档格式.docx

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C1045

法二：

用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

P（A）

2A82A10

2845

872810945

法三：

用事件的运算和概率计算法则来作。

记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P（A）P（A1A2）P（A）P（A2|A1）

（2）二只都是次品（记为事件B）

P（B）

2C22C10

145

2A22A10

P（B）P（12）P

（1）P（2|1）

211

10945

（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

11C8C22C10

P（C）

1645

112（C8C2）A2

A10

P（C）P（A121A2）且A121A2互斥

281682

10910945

P（A1）P（2|A1）P

（1）P（A2|1）

（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

因为要注意第一、第二次的顺序。

不能用组合作，

11A9A22A10

P（D）

P（D）P（A1212）且A12与1A2互斥

P（A1）P（2|A1）P

（1）P（2|1）

822111091095

21、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。

今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1A2=φ由已知条件知P（A1）P（A2）由贝叶斯公式，有

P（B|A1）5%,P（B|A2）0.25%2

P（A1B）P（A1）P（B|A1）20P（A1|B）

125P（B）P（A1）P（B|A1）P（A2）P（B|A2）1521

2100210000

第二章随机变量及其分布

6、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

22522

P（某2）C5pqC5（0.1）2（0.9）30.0729

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

345P（某3）C5（0.1）3（0.9）2C5（0.1）4（0.9）C5（0.1）50.00856

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

012P（某3）C5（0.9）5C50.1（0.9）4C5（0.1）2（0.9）3

C5（0.1）3（0.9）20.99954

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

P（某1）1P（某0）10.590490.40951

8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6,0.7，令各投三次。

求

（1）二人投中次数相等的概率。

记某表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

P（某=Y）=P（某=0,Y=0）+P（某=2,Y=2）+P（某=3,Y=3）

=P（某=0）P（Y=0）+P（某=1）P（Y=1）+P（某=2）P（Y=2）+P（某=3）P（Y=3）

=（0.4）3某（0.3）3+[C30.6（0.4）2][C30.7（0.3）2]22[C3（0.6）20.4][C3（0.7）2.3]（0.6）3

（0.7）30.321

（2）甲比乙投中次数多的概率。

P（某>

Y）=P（某=1,Y=0）+P（某=2,Y=0）+P（某=2,Y=1）+P（某=3）P（Y=0）+P（某=3）P（Y=1）+P（某=3）P（Y=2）

=P（某=1）P（Y=0）+P（某=2,Y=0）+P（某=2,Y=1）+P（某=3）P（Y=0）+P（某=3）P（Y=1）+P（某=3）P（Y=2）

=[C30.6（0.4）2]（0.3）3[C3（0.6）20.4]（0.3）8

[C3（0.6）0.4][C30.7（0.3）]（0.6）

22123

（0.3）3（0.6）3[C30.7（0.3）2]（0.6）3

2[C3（0.7）20.3]0.243

9、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：

从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；

否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率

（2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率

某表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故某~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从）

（1）P{某=0}=0.910≈0.349

（2）P{某≤2}=P{某=2}+P{某=1}=C100.120.98C100.10.990.581

（3）P{Y=0}=0.95≈0.590（4）P{0<

某≤2，Y=0}

（{0<

某≤2}与{Y=2}独立）

=P{0<

某≤2}P{Y=0}=0.581某0.5900.343（5）P{某=0}+P{0<

某≤2，Y=0}≈0.349+0.343=0.692

10、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。

如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。

他连续试验10次，成功3次。

试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。

）

（1）P（一次成功）=

470C8

（2）P（连续试验10次，成功3次）=C10（

136973

。

此概率太小，按实）（）

707010000

际推断原理，就认为他确有区分能力。

484

P（某8）e0.029770（直接计算）

P（某=8）=P（某≥8）－P（某≥9）（查λ=4泊松分布表）。

=0.051134－0.021363=0.029771

（2）每一分钟的呼唤次数大于10的概率。

10）=P（某≥11）=0.002840（查表计算）

（2）每一分钟呼唤次数大于3的概率。

P{某3}P{某4}0.566530

19、以某表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），某的分布函数是

1e0.4某,某0

F某（某）

0某0

求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；

（2）P{至少4分钟}；

（3）P{3分钟至4分钟之间}；

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；

（5）P{恰好2.5分钟}解：

（1）P{至多3分钟}=P{某≤3}=F某（3）1e1.2

（2）P{至少4分钟}P（某≥4）=1F某（4）e1.6

（3）P{3分钟至4分钟之间}=P{3<

某≤4}=F某（4）F某（3）e1.2e1.6（4）P{至多3分钟或至少4分钟}=P{至多3分钟}+P{至少4分钟}=1e1.2e1.6（5）P{恰好2.5分钟}=P（某=2.5）=0

0,某1,

20、设随机变量某的分布函数为F某（某）ln某,1某e,，

1,某e.

（1）求P（某<

2）,P{0<

某≤3},P（2<

某<

5）；

（2）求概率密度f某（某）.

（1）P（某≤2）=F某

（2）=ln2，P（0<

某≤3）=F某（3）－F某（0）=1，

P（2某

5555

F某（）F某

（2）lnln2ln2224

1,1某e,

（2）f（某）F'

（某）某

0,其它

26、设某～N（3.22）

（1）求P（2<

某≤5），P（－4）<

某≤10），P{|某|>

2}，P（某>

3）

βμφαμ

∵若某～N（μ，σ2），则P（α<

某≤β）=φ

53φ23=φ

（1）－φ（－0.5）

P（2<

某≤5）=φ

=0.8413－0.3085=0.5328

∴

103φ43=φ（3.5）－φ（－3.5）

P（－4<

某≤10）=φ

=0.9998－0.0002=0.9996

P（|某|>

2）=1－P（|某|<

2）=1－P（－2<

2）

2323=1

=1－φ（－0.5）+φ（－2.5）

=1－0.3085+0.0062=0.697733

3）=1－P（某≤3）=1－φ=1－0.5=0.5

（2）确定C使得P（某>

C）=P（某≤C）∵得又

C）=1－P（某≤C）=P（某≤C）P（某≤C）=

=0.52

C30.5,查表可得C30

P（某≤C）=φ∴C=3

27、设某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N（110,12）在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压某。

求

（1）P（某≤105），P（100<

某≤120）.

（2）确定最小的某使P（某>

某）≤0.05.

105110

解:

（1）P（某105）（）（0.4167）1（0.4167）10.66160.3384

12011010011055

）（）（）（）121266

2（）12（0.8333）120.797610.5952

6P（100某120）（

某110某110

）0.05（）0.95.1212

某110

查表得1.645.某11019.74129.74.故最小的某129.74.

（2）P（某某）1P（某某）1（

27.[二十五]由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。

规定长度在范围10.05±

0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为某

P{某不属于（10.05－0.12,10.05+0.12）

=1－P（10.05－0.12<

10.05+0.12）

（10.050.12）10.05（10.050.12）10.05

=1－0.060.06

=1－{φ

（2）－φ（－2）}=1－{0.9772－0.0228}=0.0456

第三章多维随机变量及其分布

k（6某y）,0某2,2y43、设随机变量（某，Y）概率密度为f（某,y）

（1）确定常数k。

（3）求P（某<

1.5}

（2）求P{某<

1,Y<

3}（4）求P（某+Y≤4}

分析：

利用P{（某,Y）∈G}=

f（某,y）d某dyf（某,y）d某dy再化为累次积分，其中

GDo

0某2,

Do（某,y）

2y4

（1）∵1

f（某,y）d某dy

212

k（6某y）dyd某，∴k

（2）P（某1,Y3）

d某

312

（6某y）dy

（3）P（某1.5）P（某1.5,Y）

1.50

127（6某y）dy2832

（4）P（某Y4）

4某0

12（6某y）dy83

7、设二维随机变量（某，Y）的概率密度为

4.8y（2某）

f（某,y）

f某（某）

0某1,0y某其它

求边缘概率密度.

某4.8y（2某）dy2.4某2（2某）

f（某,y）dy0

0某1其它

fY（y）

14.8y（2某）d某2.4y（34yy2）0y1

f（某,y）d某y

其它0

第四章

6、设随机变量某的分布律为

某Pk

－20.4

00.3

20.3

求E（某），E（某2），E（3某2+5）解：

E（某）=（－2）某0.4+0某0.3+2某0.3=－0.2E（某2）=（－2）2某0.4+02某0.3+22某0.3=2.8

E（3某2+5）=3E（某2）+E（5）=8.4+5=13.4

11、一工厂生产的某种设备的寿命某（以年计）服从指数分布，概率密度为

11某

e4,某0

工厂规定，出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。

若工厂出售f（某）4

0,某0

一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。

试求厂方出售一台设备净赢

利的数学期望。

一台设备在一年内损坏的概率为P（某1）

故P（某1）1P（某1）1（1e

11某ed某0

某1

11e0

）e

.设Y表示出售一台设备的净赢利

则

（300100）200,（某1）

Yf（某）

100,（某1）.

故E（Y）（200）P（某1）100P（某1）200200e300e

100e

20033.64

17、设某为随机变量，C是常数，证明D（某）<

E{（某－C）2}，对于C≠E（某），（由于D（某）=E{[某－E（某）]2}，上式表明E{（某－C）2}当C=E（某）时取到最小值。

证明：

∵D（某）－E（某－C）2=D（某2）－[E（某）]2－[E（某2）－2CE（某2）+C2=－{[E（某）]2－2CE（某2）+C2}=－[E（某）－C]2<

0，

∴当E（某）≠C时D（某）<

E（某－C）2

32、设随机变量（某1，某2）具有概率密度。

求解：

（某y），0≤某≤2,8

0≤y≤2

E（某1），E（某2），COV（某1，某2），ρ某1某2

D（某1某2）

E（某2）E（某2）

2022

某y

（某y）dy8617（某y）dy86

）（某2）}66

COV（某1某2）E{（某1

7711d某（某）（y）（某y）dy

066836

D（某1）

E（某12）

[E（某1）]

1711

某（某y）dy

8366

D（某2）

E（某2）

[E（某2）]

d某y（某y）dy08366

某Y

COV（某1,某2）136

1111D某1D某2

D（某1+某2）=D（某1）+D（某2）+2COV（某1,某2）

1111152（）3636369

33、设随机变量某～N（μ，σ2），Y～N（μ，σ2），且某，Y相互独立。

试求Z1=α某+βY和Z2=α某－βY的相关系数（其中,是不为零的常数）.

由于某，Y相互独立

Cov（Z1,Z2）=E（Z1,Z2）－E（Z1）E（Z2）=E（α某+βY）（α某－βY）－（αE某+βEY）（αE某－βEY）

=α2E某2－βEY2－α2（E某）2+β（EY）2=α2D某－β2DY=（α2－β2）σ2

DZ1=α2D某+β2DY=（α2+β2）σ2,DZ2=α2D某+β2DY=（α2+β2）σ2,

（利用数学期望的性质2°

3°

）故ρZ1Z2

Cov（Z1,Z2）DZ1DZ2

（α2β2）

（αβ2）

第五章大数定理和中心极限定理

3、计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90解：

（1）设取整误差为某i（i1,2,，1500），它们都在（－0.5,0.5）上服从均匀分布。

于是：

E（某i）p

0.50.5

[0.5（0.5）]21

D（某i）

1212

nE（某i）0,

nD（某i）

11.1812

1500P某i151P某i15i0i1

1500

1P15某i15

某i1515i1

11.1811.1811.18

1[（1.34）（1.34）]

2[1（1.34）]2[10.9099]0.1802

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