固体物理第一二章习题解答Word文档格式.docx
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2
硅
Ｓｉ
金刚石
fcｃ
4
砷化镓
GaAs
闪锌矿
ｆcｃ
８
碳化硅
SiC
fｃｃ
４
钽酸锂
LiTａO3
钙钛矿
sｃ
５
5
2、６、１2
O、Ｔa、Lｉ
铍
Ｂe
ｈcｐ
简单
六角
１2
钼
Ｍo
ｂcc
bｃｃ
1
铂
Ｐt
fｃc
12
2.试证明:
理想六角密堆积结构的。
假如实际的值比这个数值大得多,能够把晶体视为由原子密排平面所组成,这些面是疏松堆垛的。
证明:
如右图所示,六角层内最近邻原子间距为a,而相邻两层的最近邻原子间距为:
。
当d=ａ时构成理想密堆积结构,此时有:
由此解出:
若时,则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大,
因此层间堆积不够紧密。
3.画出立方晶系中的下列晶向和晶面:
[01]、[１0］、[112］、［1２1］、（１0）、（21１）、（11）、（12）。
4.
考虑指数为（100）和（00１）的面,其晶格属于面心立方,且指数指的是立方惯用原胞。
若采纳初基原胞基矢坐标系为轴,这些面的指数是多少？
如右图所示:
在立方惯用原胞中的（100）晶面,在初基原胞基矢坐标
系中,在、、三个基矢坐标上的截距为,则晶面
指数为（101）。
同理,（００１）晶面在初基原胞基矢坐标系、、
上的截距为,则晶面指数为（１10）。
5.试求面心立方结构（100）、（11０）、（１１１）晶面族的原子数面密度和面间距,并比较大小;
说明垂直于上述各晶面的轴线是什么对称轴？
晶面指数
原子数面密度
面间距
对称轴
（1０0）
C4
（1１0）
Ｃ2
（111）
C3
6.关于二维六角密积结构,初基原胞基矢为:
,、求其倒格子基矢,并判断倒格子也是六方结构。
由倒格基失的定义,可计算得:
＝,
（未在图中画出）
正空间二维初基原胞如图（Ａ）所示,倒空间初基原胞如图（B）所示
（1）由组成的倒初基原胞构成倒空间点阵,具有C6操作对称性,而C6对称性是六角晶系的特征。
（2）由构成的二维正初基原胞,与由构成的倒初基原胞为相似平行四边形,故正空间为六角结构,倒空间也必为六角结构、
（３）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同,因此也为六方结构。
7.用倒格矢的性质证明,立方晶系的［hｋl]晶向与（ｈｋl）晶面垂直。
由倒格矢的性质,倒格矢垂直于晶面（hkｌ）。
由晶向指数［hkl］,晶向可用矢量表示,则:
、
倒格子基矢的定义:
;
在立方晶系中,可取相互垂直且,则可得知,
且。
设（为常值,且有量纲,即不为纯数）,
则 ,即与平行;
也即晶向［hkl］垂直于晶面（hkl）
8.考虑晶格中的一个晶面（hkl）,证明:
（a）倒格矢垂直于这个晶面;
（ｂ）晶格中相邻两个平行晶面的间距为;
（ｃ）关于简单立方晶格有。
（a）晶面（ｈkl）在基矢上的截距为。
作矢量:
,,
显然这三个矢量互不平行,均落在（hｋl）晶面上（如右图）,且
同理,有,
因此,倒格矢晶面、
（b）晶面族（hkl）的面间距为:
（c）关于简单立方晶格:
9.用X光衍射对Ａl作结构分析时,测得从（１１1）面反射的波长为1、５4Å
反射角为θ=19。
20,求面间距d１11。
由布拉格反射模型,认为入射角=反射角,由布拉格公式:
2dｓinθ=λ,可得
（对主极大取n=１）
10.试证明:
劳厄方程与布拉格公式是等效的。
由劳厄方程:
与正倒格矢关系:
比较可知:
若成立,即入射波矢,衍射波矢之差为任意倒格矢,则方向产生衍射光,式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。
现由倒空间劳厄方程出发,推导Blaｇg公式。
对弹性散射:
由倒格子性质,倒格矢垂直于该
晶面族、因此,的垂直平分面必与该晶面族平行、
由右图可知:
（A）
又若为该方向的最短倒格矢,由倒格矢性质有:
若不是该方向最短倒格失,由倒格子周期性:
（Ｂ）
比较（A）、（B）二式可得:
2dSiｎθ=nλ 即为Blagg公式。
11.求金刚石的几何结构因子,并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
每个惯用元胞中有八个同类原子,其坐标为:
结构因子:
前四项为fcc的结构因子,用Ｆf表示从后四项提出因子
因为衍射强度,
用尤拉公式整理后:
讨论:
1、当ｈ、k、l为奇异性数（奇偶混杂）时,,因此;
2、当h、k、l为全奇数时,;
３、当h、k、l全为偶数,且（n为任意整数）时,
当ｈ、k、l全为偶数,但,则时,
12.证明第一布里渊区的体积为,其中Vc是正格子初基原胞的体积。
依照正、倒格子之间的关系:
,;
Vｃ是正格子初基原胞的体积,第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积,即
第二章 习题
1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成:
求:
晶体平衡时两原子间的距离;
平衡时的二原子间的互作用能;
若取m=２,n=10,两原子间的平衡距离为３Å
仅考虑二原子间互作用则离解能为4ｅV,计算ａ及ｂ的值;
若把互作用势中排斥项改用玻恩—梅叶表达式,并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献,求n和ｐ间的关系。
（１）由,平衡时:
得:
,化简后得:
（2）平衡时把r0表示式代入U（ｒ）中:
（３）由r０表示式得:
若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量,由能量最小原理,平衡时系统能量具有极小值,且为负值;
离解能和结合能为要把二原子拉开,外力所作的功,为正值,因此,离解能=结合能＝—互作用势能,由Ｕ（r）式的负值,得:
化简为:
略去第二项计算可得:
（４）由题意得:
＊
,,则:
又解:
*式两边对r0求导,得:
与＊式比较得:
可解得:
2、N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为:
证明平衡原子间距为:
证明平衡时的互作用势能为:
⑶若试验试验测得Nacl晶体的结合能为765kJ/mｏｌ,晶格常数为5、6３⨯10-10m,计算Nacｌ晶体的排斥能的幂指数n,已知Nacｌ晶体的马德隆常数是α=1、75。
（１）由:
得:
令:
即
（2）把以上结果代入U（Ｒ）式,并把Ｒ取为R0,则:
若认为结合能与互作用能符号相反,则上式乘“-”、
（３）由
（2）之结论整理可得:
式中:
N,库仑,法/米
若题中Ｒ0为异种原子的间矩,则:
U（平衡时互作用势能取极小值,且为负,而结合能为正值）
马德隆常数:
将这些一致数据代入ｎ的表达式中,则:
3、假如把晶体的体积写成:
V=ＮβＲ３,式中Ｎ是晶体中的粒子数;
R是最近邻粒子间距;
β是结构因子,试求下列结构的β值:
ｆｃc;
bcc;
NaCl;
金刚石。
取一个惯用元胞来考虑:
Ｖ0
Ｎ0
R0
β
ｆcc
a3
bcc
NaCｌ
１
a３
４、证明:
由两种离子组成的间距为Ｒ0的一维晶格的马德隆常数。
［已知]
由马德隆常数的定义:
其中同号离子取“－”,异号离子取“+”、
若以一正离子为参考点,则:
（A）
又由已知,代入（A）式,则:
5、假定由2N个交替带电荷为的离子排布成一条线,其最近邻之间的排斥势为,试证明在平衡间距下有:
由,得:
令:
、把该式代入U（R）式,并把Ｒ取为Ｒ0,则:
（A）
由马德隆常数的定义:
其中同号离子取“－”,异号离子取“＋”。
（B）
又由已知,代入（B）式,则:
、将代入（Ａ）式,得:
、
6、试说明为什么当正、负离子半径比时不能形成氯化铯结构;
当时不能形成氯化钠结构。
当时将形成什么结构？
已知RbCl、ＡgBr及ＢｅS中正、负离子半径分别为:
晶 体
r+/ｎｍ
r—/nm
RｂCｌ
AｇBr
BeＳ
0。
14９
０、113
034
0、181
0、１96
0、1７4
若把它们看成是典型的离子晶体,试问它们具有什么晶体结构？
若近似地把正、负离子都看成是硬小球,请计算这些晶体的晶格常数。
通常,当组成晶体时,能够认为正、负离子球相互密接。
对氯化铯结构,如图（ａ）所示,8个正离子组成立方体,负离子处在立方体的中心,因此立方体的对角线,立方体的边长为:
为了能构成氯化铯结构晶体,负离子的直径必须小于立方体的边长a,即
,由此可得:
即为了能构成氯化铯结构晶体,必须小于1、37。
（a） （ｂ） （ｃ）
关于氯化钠结构,如图（ｂ）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（１0０）面的离子分布情况,这个地方设正离子处在顶角,由图可见,
则。
因此,构成氯化钠结构必须小于2。
4１。
关于闪锌矿结构,如图（c）所示为闪锌矿结构的一个惯用原胞（11０）面的离子分布,这个地方设负离子处在面心立方位置,由图可见,
,,
,则:
因此,构成氯化钠结构必须大于2。
41。
r＋/nｍ
ｒ-/nm
晶体结构
晶格常数ａ／nｍ
ＲbCl
149
0、113
0、0３４
181
196
０、１７４
1。
214
１。
7３4
５、１18
氯化铯
氯化钠
381
0、６１８
４92
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