六年级数学思维训练不定方程讲解.docx
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六年级数学思维训练不定方程讲解
2014年六年级数学思维训练：
不定方程
一、兴趣篇
1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：
大、小油桶各几个？
2．有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：
波斯猫至少叫了多少声？
4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共700多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天吃4个馒头．请问：
庙里有多少个和尚？
5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有
的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？
6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：
搬书的老师、男生、女生各有多少人？
7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：
20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？
8．小明在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是 封．
9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：
这些纸币的总面值能否恰好是100元？
10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：
小明买了多少个鸡肉汉堡？
二、拓展篇
11．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：
张明共买了多少支铅笔？
12．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
13．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？
14．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：
甲、乙两小队共有多少人？
15．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：
剩余部分的管子最少是多少厘米？
16．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：
这次比赛共考了多少道题？
17．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：
鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
这个问题是说：
每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
18．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：
三种笔分别买了多少盒？
19．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：
如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？
如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？
20．阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：
阿奇共买了多少包奶糖？
21．小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？
22．红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．
三、超越篇
23．求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．
24．一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：
批发市场运进三种水果各多少筐？
25．雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：
图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？
26．采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？
27．有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？
28．国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品每盒的价格和重量如下表．
商品
A
B
C
D
E
单价（元）
70
110
190
290
310
重量（千克）
1.5
2
1
10
3
如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法？
29．现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？
（砝码只能放在天平的一边）
30．现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次？
2014年六年级数学思维训练：
不定方程
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：
大、小油桶各几个？
【分析】设大桶有x个，小桶有y个，根据题意列出方程：
8x+5y=44，根据不定方程的求解方法，解出未知数的值即可．
【解答】解：
设大桶有x个，小桶有y个，根据题意得：
8x+5y=44，变形为：
y=
，
y为自然数，则44﹣8x≥5，即y≤4.875，
经试算，当y=4，x=3时符合题意．
答：
大油桶有3个，小油桶有4个．
2．有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
【分析】设大盒x个，小盒y个，则12x+7y=150，由此求出这个方程的整数解即可解答问题．
【解答】解：
设大盒x个，小盒y个，根据题意可得方程：
12x+7y=150，方程可以变形为：
x=
，
因为x、y都是整数，所以150﹣7y必须是12的倍数，
所以，当x=9，y=6，或y=18，x=2是这个方程的整数解，
答：
大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个才能恰好把这些球装完．
3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：
波斯猫至少叫了多少声？
【分析】设一共有x个早上，y个晚上，则由题意可得：
（1+2）x+（2+3）y=61，然后整理，进行分析、进而得出结论．
【解答】解：
设一共有x个早上，y个晚上，则：
（1+2）x+（2+3）y=61
3x+5y=61
5y的个位数只能是0、5，所以3x的个位数只能是1、6．
根据题意可得：
y=5，x=12，那么波斯猫叫：
3×5+1×12=27（声）；
y=8，x=7，那么波斯猫叫：
3×8+1×7=31（声）；
因为27＜31，所以波斯猫至少叫27声；
答：
波斯猫至少叫27声．
4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共700多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天吃4个馒头．请问：
庙里有多少个和尚？
【分析】7个大和尚每天共吃41个馒头，平均每个大和尚吃
个馒头；比4个多
﹣4=
个；
19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个小和尚吃
个馒头；比4个少4﹣
=
个；
大和尚的人数×
=小和尚的人数×
，由此求出大和尚的人数与小和尚的人数比，再根据共有700多这一范围，求出总人数．
【解答】解：
41÷7﹣4，
=
﹣4，
=
（个）；
4﹣60÷19，
=4﹣
，
=
（个）；
大和尚的人数×
=小和尚的人数×
，那么：
大和尚人数：
小和尚的人数=
：
=（16×7）：
（13×19）=112：
247；
如果按照大和尚人数是112，小和尚人数是247，那么总人数就是112+247=359（个）；
359＜700，所以总人数不是359人，应是：
359×2=718（个）；
答：
庙里有718个和尚．
5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有
的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？
【分析】此题用算术法很难解答，可以设出未知数；设有男职工x人，女职工y人，则孩子有
人，根据共种了216棵树列方程解答即可．
【解答】解：
设有男职工x人，女职工y人，则孩子有
人，根据题意可得方程：
13x+10y+6×
=216，
方程可以整理为：
15x+12y=216，
即5x+4y=72，
所以5x=4（y+18），
由上式可以看出5x是4的倍数，5与4的最大公约数是1，则x是4的倍数．
当x=4时，y=13，
不是整数，应舍去；
当x=8时，y=8，
不是整数，应舍去；
当x=12时，y=3，
=5，即男职工12人，女职工3人，小孩5人．
当x＞12时，y无解．
可见，男职工有12人．
答：
男职工有12人．
6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：
搬书的老师、男生、女生各有多少人？
【分析】设老师x人，男生y人，表示出女生人数：
（14﹣x﹣y）人，根据题意列出不定方程，再根据x、y应为自然数，且x+y＜14，据此解答即可．
【解答】解：
设老师x人，男生y人，则女生（14﹣x﹣y）人，根据题意得：
12x+8y+5（14﹣x﹣y）=100
化简得：
7x+3y=30
本题中x、y应为自然数，且x+y＜14；
经试算：
x=3，y=3时符合题意，14﹣3﹣3=8，即女生有8人．
答：
搬书的老师有3人、男生有3人、女生有8人．
7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：
20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？
【分析】设20分、40分和50分得邮票分别买了x、y、z张，根据题意列出方程，根据x、y、z的实际意义，求出x、y、z的值即可．
【解答】解：
设20分、40分和50分得邮票分别买了x、y、z张，根据题意得：
①、②消去y得：
x﹣z=﹣10；
得x=z﹣10，又x为自然数，则z﹣10≥0，即z≥10；
①、②消去x得：
8y+14z=206；
得：
z=
，又z为自然数，则206﹣8y≥14，即y≤3；
经试算：
当x=3，y=3，z=13时符合题意．
答：
20分、40分和50分得邮票分别买了3张、3张、13张．
8．小明在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是 9 封．
【分析】设平信x封，航空信y封，挂号信z封，一元二角二分钱=122分，价格分别为8分，10分，20分，所以能够保证总数尾数为2分的只能是8分，因为8×4=32，8×9=72；另价格最高的越多，寄信就越少，所以寄4封8分信件时，20分最多4封，所以是：
4封8分、4封20分、1封10分，共9封．
【解答】解：
设平信x封，航空信y封，挂号信z封，一元二角二分钱=122分，根据题意可得方程：
8x+10y+20z=122，
因为能够保证总数尾数为2分的只能是8分，因为8×4=32，8×9=72；另价格最高的越多，寄信就越少，
所以当x=4时，10y+20z=90，所以z最大为4，则y=1，
4+4+1=9（封），
答：
三种信的总和最少是9封．
故答案为：
9．
9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：
这些纸币的总面值能否恰好是100元？
【分析】设其中1分、1角、1元和10元各有a、b、c、d张，假设总面值能恰好是100元，列出方程根据a、b、c、d的实际意义，看是否能解出a、b、c、d的值，据此判断即可．
【解答】解：
设其中1分、1角、1元和10元各有a、b、c、d张，且a、b、c、d均为整数．
假设总面值能恰好是100元=10000分，
则必须满足：
a+10b+100c+1000d=10000…
（1）
且a+b+c+d=60…
（2）
（1）﹣
（2）得：
9b+99c+999d=9940；
即（b+11c+111d）=
，
显然等式左边为整数，而右边是小数而非整数，等式不成立．
可见前面假设不成立，所以这些纸币的总面值是不能够恰好是100元．
10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：
小明买了多少个鸡肉汉堡？
【分析】先求出花了的钱数，再设买鱼肉汉堡x个，鸡肉汉堡y个，牛肉汉堡z个，再根据单价×数量=总价，分别求出买三种汉堡的钱数，再根据三种汉堡的总钱数，列出不定方程解答．
【解答】解：
设买鱼肉汉堡x个，鸡肉汉堡y个，牛肉汉堡z个
7x+9y+14z=100﹣8
7x+9y+14z=92
所以9y=92﹣（7x+14z）
所以y=[92﹣（7x+14z）]÷9
因为y为整数，所以92﹣（7x+14z）必须为9的倍数，
又92﹣（7x+14z）=90﹣[（7x+14z）﹣2]
则7x+14z﹣2的值必须是9的倍数，且小于92
所以可以设7x+14z﹣2=9k
则7x+14z=9k+2（0≤k≤10）
9k+2这些数可以表示如下：
2；11；20；29；38；47；56；65；74；83；92
又7x+14z=7（2x+z）
即7x+14z是7的倍数，在上面的数中只有56符合条件
所以7x+14z=56
所以y=（92﹣56）÷9=36÷9=4（个）
答：
小明买了4个鸡肉汉堡．
二、拓展篇
11．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：
张明共买了多少支铅笔？
【分析】根据题干，设买甲级铅笔x支，乙级铅笔y只，则根据等量关系甲级铅笔价格×数量+乙级铅笔价格×数量=50角（5元），据此可得方程：
7x+3y=50，求出x、y的正整数解，再相加即可．
【解答】解：
5元=50角，
设买甲级铅笔x支，乙级铅笔y只，根据题意可得方程：
7x+3y=50
当x=1时，y没有整数解
当x=2时，y=12，2+12=14（支）
当x=3时，y没有整数解；
当x=4时，y没有整数解；
当x=5时，y=5，5+5=10（支）
当x=6时，y没有整数解；
当x=7时，y没有整数解；
答：
张明共买14支或10支铅笔．
12．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
【分析】设买大盒的鸡蛋x盒，小盒的鸡蛋y盒，则23x+16y=500，再根据x和y必须都是整数，解出不定方程即可．
【解答】解：
设买大盒的鸡蛋x盒，小盒的鸡蛋y盒，则
23x+16y=500
所以y=
即x，y必须是偶数，
所以x=12，y=14；
12+14=26（盒）
答：
他一共要买26盒．
13．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？
【分析】设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，再根据“从两个集团军抽调部分师参与战斗，一共有27.1万人”列出方程解答．
【解答】解：
设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，
9000x+8000y=271000
9x+8y=271
因为8y是偶数，所以9x必须是奇数
所以x必须是奇数，
而x=
所以x=23，此时y=8；
答：
苏军参与战斗的有23个步兵师，9个航空兵师．
14．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：
甲、乙两小队共有多少人？
【分析】根据乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，得出：
10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，再根据甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵，得出13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，…和13相乘末尾是6，
22×13+12=298，32×13+12=428，42×13+12=558，因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，从而可以解决问题．
【解答】解：
因为10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，
13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，
所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，…和13相乘末尾是6，
22×13+12=298
32×13+12=428
42×13+12=558
因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，总人数有：
（428﹣12）÷13+1+（428﹣8）÷10+1
=33+42+1
=76（人）
答：
甲乙两小队一共有76人．
15．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：
剩余部分的管子最少是多少厘米？
【分析】此题可以用列表法进行计算并比较，从一种的第一根开始截起，另一种会得到相应的多少根，剩余多少厘米，如此类推，直到不能同时截取为止，从而得解．
【解答】解：
如下表所示，
36厘米
1根
2根
3根
4根
5根
6根
7根
8根
9根
24厘米
14根
12根
11根
9根
8根
6根
5根
3根
2根
剩余cm
8
20
8
20
8
20
8
20
8
所以长度为36厘米的铁丝最少截1根，最多截9根，
长度为24厘米的铁丝最少截1根，最多截14根，
剩余部分最少是8厘米；
答：
剩余部分的管子最少是8厘米．
16．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：
这次比赛共考了多少道题？
【分析】此题可以设出未知数，列出方程进行推理．可设答对a题，未答b题，答错c题，可得：
5a+2b=71①，40+3a﹣c=71②，由①②推出a的取值范围，并确定处a的值，从而推出b、c的值，解决问题．
【解答】解：
设答对a题，未答b题，答错c题，可得：
5a+2b=71①，
40+3a﹣c=71②，
由①知，a是奇数，且a＜14；
由②知a＞12，所以a=13，
由此求得b=3，c=8，
故共有：
13+3+8=24（题）．
答：
这次比赛共考了24道
17．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：
鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
这个问题是说：
每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，求出其解就可以了．
【解答】解：
设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意，得
，
整理得：
7x+4y=100．
x=
；
因为x≥0，y≥0，且都是自然数，
所以
≥0，
所以y≤25，100﹣4y是7的倍数，且三种鸡都有买，
所以100﹣4y=7，14，21，
所以共有3种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．
18．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：
三种笔分别买了多少盒？
【分析】分别设出钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒，再根据总共花了97元，买了90支笔，列出方程解答．
【解答】解：
设钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒
所以：
5X+6Y+7Z=97
所以：
4X+6Y+10Z=90
因为XYZ取整数
则x=3，y=18，z=0或
x=12，y=3，z=2时成立．
若三种笔都要买的话，就只能是x=12，y=3，z=2；
答：
钢笔买了12盒，圆珠笔3盒，钢笔2盒．
19．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：
如果比赛规定恰好投中100分才
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