圆幂定理讲义Word格式.docx

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【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．4B．C．D．

F8：

一次函数图象上点的坐标特征；

勾股定理．

【专题】11：

计算题；

16：

压轴题．

【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．

作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×

4=2，在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：

B．

【点评】本题考查了垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

4.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为　　．

【考点】FI：

一次函数综合题．

【专题】16：

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，

∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，

∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，

∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；

故答案为：

24．

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．

STEP2:

新课讲解

1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。

3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。

4、通过课上例题，结合课下练习。

掌握此部分的知识。

一、相交弦定理

相交弦定理

（1）相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：

若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成

的两条线段的比例中项．　　

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．

基本题型：

【例1】（2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（　　）

A．6B．12C．8D．不能确定

【考点】M7：

相交弦定理．

计算题．

【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可．

∵AP•BP=CP•DP，

∴PD=，

∵AP=3，BP=4，CP=2，

∴PD=6，

∴CD=PC+PD=2+6=8．

故选C．

【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

【练习1】（2015•南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（　　）

A．B．5C．+1D．

【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°

∴AE===，

∵BC=3，BE=1，∴CE=2，

由相交弦定理得：

AE•EF=BE•CE，

∴EF==，

∴AF=AE+EF=；

故选：

A．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；

熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

综合题型

【例2】（2004•福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：

①∠1=∠2；

②∠P+∠Q=180°

；

③∠Q=∠PMN；

④PM=QM；

⑤MN2=PN•QN．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤

相交弦定理；

M2：

M4：

圆心角、弧、弦的关系；

M5：

圆周角定理；

S9：

相似三角形的判定与性质．

【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．

延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF

∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，

∴∠1=∠2（故①正确），

∵∠2与∠ANE是对顶角，

∴∠1=∠ANE，

∵AB是直径，

∴可得PN=EN，

同理NQ=NF，

∵点N是MW的中点，MN•NW=MN2=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正确），

∴MN：

NQ=PN：

MN，

∵∠PNM=∠QNM，

∴△NPM∽△NMQ，

∴∠Q=∠PMN（故③正确）．

故选B．

【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．

与代数结合的综合题

【例3】（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（　　）

A．B．C．D．

【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，

QA=r﹣m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．

即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．

连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，

即，

解得

所以，

故选D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．

需要做辅助线的综合题

【例4】（2008秋•苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM=　　．

圆周角定理．

【分析】根据相交弦定理可证AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6．

作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，

则EM=MA=MF，

由相交弦定理知，AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，

∵AB是圆O的直径，

∴∠AMB=90°

由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，

∴AM=6．

【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．

二、割线定理

割线定理

割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD•PC=PA•PB（割线定理）

由上可知：

PT2=PA•PB=PC•PD．

基本题型

【例5】（1998•绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，则PD的长是（　　）

A．3B．C．5D．

【考点】MH：

切割线定理．

【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA•PB=PC•PD即可求得PD的长．

∵PA=3，AB=PC=2，

∴PB=5，

∵PA•PB=PC•PD，

【点评】主要是考查了割线定理的运用．

【练习2】

（2003•天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．

切割线定理；

【分析】Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；

延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE•BF=BD•BA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长．

法1：

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；

根据勾股定理，得AB=5．

延长BC交⊙C于点F，则有：

EC=CF=AC=3（⊙C的半径），

BE=BC﹣EC=1，BF=BC+CF=7；

由割线定理得，BE•BF=BD•BA，

于是BD=；

所以AD=AB﹣BD=；

法2：

过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AD的中点，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，

∴CM=，

在Rt△ACM中，根据勾股定理得：

AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，

解得：

AM=，

∴AD=2AM=．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用．

【例6】（2015•武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（　　）

A．16B．16πC．4D．4π

【分析】过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定理得到PA•PB=（OC﹣OP）•（OP+OD）=R2﹣r2，再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16，所以PA•PB=16．

过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，

∴PA•PB=（OC﹣OP）•（OP+OD）

=（R﹣r）（R+r）

=R2﹣r2，

∵两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，

∴πR2﹣πr2=16π，

∴R2﹣r2=16，

∴PA•PB=16．

故选A．

平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了相交弦定理．

【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路

三、切割线定理

切割线定理

切割线定理：

【例7】（2013•长清区二模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA=8cm，PB=4cm，求⊙O的半径．

【分析】连接OA，设⊙O的半径为rcm，由勾股定理，列式计算即可．

连接OA，

设⊙O的半径为rcm，（2分）

则r2+82=（r+4）2，（4分）

解得r=6，∴⊙O的半径为6cm．（2分）

【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握．

【练习3】（2013秋•东台市期中）如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】根据题意可得出PC2=PB•PA，再由OB=3，PB=2，则PA=8，代入可求出PC．

∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，∴PC2=PB•PA，

∵OB=3，PB=2，∴PA=8，∴PC2=PB•PA=2×

8=16，∴PC=4．

【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式PC2=PB•PA．

四、切线长定理

（1）圆的切线长定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

（3）注意：

切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

（4）切线长定理包含着一些隐含结论：

①垂直关系三处；

②全等关系三对；

③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．

【例8】（2015•秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　）

A．32B．34C．36D．38

【考点】MG：

切线长定理．

【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．

由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，

所以四边形的周长=2×

（7+10）=34．

【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键．

【练习4】

（2015•岳池县模拟）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（　　）

切线长定理；

MC：

切线的性质．

【分析】利用切线长定理得出CA=CF，DF=DB，PA=PB，进而得出PA=r，求出即可．

∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，

∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，

∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，

∴PA=r，

则的值是：

=．

【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键．

【例9】（2014秋•夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　）

A．5，（90°

+∠P）B．7，90°

+C．10，90°

﹣∠PD．10，90°

+∠P

【分析】根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；

连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°

，再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB．

∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，

∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；

∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；

如图，连接OA、OE、OB．

由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，

∵AO=OE=OB，

易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），

∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，

∴∠COD=∠AOB，

∴∠AOB=180°

﹣∠P，

∴∠COD=90°

﹣∠P．

C．

【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．

五、圆幂定理

请尝试解出下列例题：

【例10】（2005•广州）如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP•AM+BP•BN的值为　　．

压轴题；

25：

动点型．

【分析】连接AN、BM，根据圆周角定理，由AB是直径，可证∠AMB=90°

，由勾股定理知，BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，AP•PM=BP•PN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN=AP2+BP2+2AP•PM=AP2+MP2+BM2+2AP•PM=AP2+（AP+PM）2=AP2+AM2=AB2=36．

连接AN、BM，

．

∴BP2=MP2+BM2

∵AP•PM=BP•PN

原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP•PM+BP2+BP•PN

=AP2+BP2+2AP•PM

=AP2+MP2+BM2+2AP•PM

=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36．

【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解．

以上四条定理统称为圆幂定理。

（部分参考书以前三条为圆幂定理）

圆幂定理：

过平面内任一点P（P与圆心O不重合）做⊙O的（切）割线，交⊙O与点A、B，则恒有

。

（“

”被称为点P到⊙O的幂。

）

STEP3:

落实巩固——查漏补缺

找到自己本节课的薄弱环节。

STEP4:

总结

本结课复习了什么学到了什么

方法：

学生口述+笔记记录。

STEP5:

课后练习

一．选择题（共5小题）

1．如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是（　　）

A．6B．5C．4D．3

【分析】可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB，CD相交于P，因此AP•PB=CP•PD，代入已知数值计算即可．

由相交弦定理得AP•PB=CP•PD，

∵AP=6，BP=2，CP=4，

∴PD=AP•PB÷

CP=6×

2÷

4=3．

【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．

2．⊙O的两条弦AB与CD相交于点P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，则CD=（　　）

A．12cmB．6cmC．8cmD．7cm

【分析】根据相交弦定理进行计算．

PA•PB=PC•PD，

∴DP===6cm，CD=PC+PD=2+6=8cm．故选C．

【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．

3．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（　　）

A．9B．8C．7D．6

【分析】根据相交弦定理得出AP×

BP=CP×

DP，求出CP，求出CD即可．

AP×

DP，

∵PA=4，PB=6，PD=2，

∴CP=12，

∴DC=12+2=14，

∵CD是⊙O直径，

∴⊙O半径是7．

【点评】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出AP×

DP．

4．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（　　）

【分析】连接OB，OC，易证：

△BOC是等边三角形，且阴影部分的面积=△BOC的面积，据此即可求解．

连接OB，OC，

∵AB是圆的切线，

∴∠ABO=90°

在直角△ABO中，OB=1，OA=2，

∴∠OAB=30°

，∠AOB=60°

∵OA∥BC，

∴∠COB=∠AOB=60°

，且S阴影部分=S△BOC，

∴△BOC是等边三角形，边长是1，

∴S阴影部分=S△BOC=×

1×

【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明△BOC是等边三角形是解题的关键．

5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°

，则∠P为（　　）

A．120°

B．60°

C．30°

D．45°

【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°

，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°

，根据四边形内角和可求得∠P=180°

﹣∠AOB=60°

连接OA，BO；

∵∠AOB=2∠E=120°

∴∠OAP=∠OBP=90°

∴∠P=180°

【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．

二．解答题（共3小题）

6．如图，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB=8，=，求PC的长．

【分析】延长CP交⊙O于D．由垂径定理可知CP=DP，由AB=8，=，得到AP=AB=2，PB=AB=6．再根据相交弦定理得出PC•PD=AP•PB，代入数值计算即可求解．

如图，延长CP交⊙O于D．

∵CP⊥OP，