傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系Word文件下载.docx
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已知傅里叶变换是拉氏变换的特例，如何用例子进一步说明他们的关系，如何运用它们解决积分与微分方程和电路问题。
（三）解决问题：
傅里叶变换与拉普拉斯变换两种变换的性质有许多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似，另外，由于傅氏变换的积分区间为（-，），拉氏变换的积分区间为，），两者又会在不同的领域中有着各自的应用。
下面通过一些具体的例子来对两种变换的应用做一些研究：
3.1两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用
例1求解积分方程
g（t）h（t）f（）g（t）d
其中h（t）,f（t）都是已知的函数，且g（t）、h（t）和f（t）的傅里叶变换都存在。
分析：
该积分方程中的积分区间是,，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。
积分项内是函数f（t）与g（t）的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷积性质便可以很方便的求解该问题。
解：
设F[g（t）]G（w）,F[f（t）]F（ω）,F[h（t）]H（ω）由卷积定义可知f（）g（t）df（t）g（t）。
因此对原积分方程两边取傅里叶变换，可得
G（ω）H（ω）F（ω）G（ω）
因此有
由傅里叶逆变换求得原积分方程的解为
1iωt
g（t）G（ω）eiωtdω
2
同样，应用拉普拉斯变换的卷积性质也可以用来求解积分方程。
例2求积分方程y（t）t20y（t）sintd的解分析：
该积分方程中的积分区间是0,t，考虑到拉氏变换卷积性质中函数的积分区间是0,t[13]，故对原方程两边取拉普拉斯变换，应用相应的卷积性质便可求出该积分方程的解。
21
设L[y（t）]Y（s），则有，L[t2]23，L[sint]21。
对原方ss1程两边取拉普拉斯变换，由卷积定理得
Y（s）32Y（s）
ss1
整理得
22
Y（s）2325
ss
取其逆变换可得
此即原积分方程的解。
例3求解线性方程组[14]
xxyet
y3x2y2et
x（0）y（0）1分析：
利用傅氏变换与拉氏变换性质中的微分性质，可以将微分方程转换为像函数的代数方程，使得问题得以解决。
但是用傅里叶变换求解问题时，要求所出现的函数必须在（,）内满足绝对可积（f（t））这个条件。
但是本题中的et、x、y都不满足这个条件，故不能用傅氏变换进行求解。
我们采用拉氏变换对该方程组进行求解。
设L[x（t）]X（s）,L[y（t）]Y（s），对方程组进行拉氏变换得到
1
sX（s）1X（s）Y（s）
s111sY（s）13X（s）2Y（s）2s1
解得
X（s）Y（s），
s1
拉氏逆变换L1[1]et，故
t
x（t）et
y（t）et
即为原方程组的解。
3.2两种积分变换在电路理论中的应用
例4如图所示的RL电路中，uetV，R1，L1H，求开关S闭合后回路中的电流i（t）。
由基尔霍夫电压定律[17]可得回路方程为
Ldi（t）Ri（t）u（t）
dt
代入数值，化简为
i（t）i（t）et
该方程是一阶非齐次线性微分方程，用高等数学的知识进行求解的话，要先求出与之对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解。
求解步骤比较繁琐，这里我们先采用傅里叶变换法进行求解。
设F[i（t）]I（），由傅氏变换的微分性质可得F[i（t）]iI（）又F[u（t）]1（在t0时电压为0）[18]，代入上述方程中得
1i
<
iI（）I（）
11
I（）（
21i1i对上式取傅氏逆变换得
1tt
I（）（etet）
2此即电路中的电流。
该方程也可以用拉氏变换法进行求解。
设
L[i（t）]I（s），由拉氏变换的微分性质可得
L[i（t）]sI（s）（t0时电流i（t）0）。
对化简后的方程两边去拉氏变换，得到
再对上式取拉氏逆变换，得到电路中的电流为i（t）1（etet）
可以看出用傅氏变换与拉氏变换两种方法求解的结果是完全相同的。
《信号与系统》、《电路分析》等课程中常常会碰到各种信号的问题，一般来说傅里叶变换法适用于对连续时间系统的分析，这种方法也被称为频域分析法；
而拉普拉斯变换法被称为系统的复频域分析[19]，这种方法的适用范围更加广泛，以致于在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨论。
下面我们再举两个用拉氏变换法解决电路问题的例子：
例5如图所示，电路为完全耦合互感电路，互感量
ML1L21H，电阻R1R21,电压E1V，开关S闭合前i1（0）i2（0）0。
求开关闭合后电路中的电流i1（t）和i2（t）。
图2
由基尔霍夫电压定律可列出电路的微分方程如下：
di1（t）di2（t）
L11M2R1i1（t）E
1dtdt11di2（t）di1（t）
L22M1R2i2（t）0
2dtdt22
代入数据，得
di1（t）di2（t）
dtdt
di2（t）di1（t）
i1（t）1
i2（t）0
此方程组为二元一阶微分方程组，采用高等数学的知识很难
得出结果来，这里采用拉氏变换法求解。
令L[i1（t）]I1（s），L[i2（t）]I2（s），对上述微分方程组两边取拉氏变换，考虑到初始条件i1（0）i2（0）0，可得
sI1（s）sI2（s）I1（s）1
s
sI2（s）sI1（s）I2（s）0
I1（s）s111
1s（2s1）s2
I2（s）
1s（）
2s12s
（1）
对其取拉氏逆变换，得到电路中的电流为
11（12t）
i1（t）L1[I1（s）]11e2
i（t）L1[I（s）]12e（12t）
i2（t）L1[I2（s）]12e2
推广应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构力学等领域都有着广泛的应用，例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，是问题得以解决。
在工程学上拉普拉斯的重大意义在于将一个信号从时域上转换为复频域上来表示，在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
总结
通过半个多月的搜集资料，我对复变函数有了一个较全面地了解，对于复变函数在实际生活中的应用也知道了不少，尤其是拉普拉斯变换与傅里叶变换的应用，它解决了一些我们日常生活中不能解决的问题，为物理、数学和一些工程技术的发展起到了促进作用，复变函数还有许多知识需要我们去仔细探索与研究，通过写这篇论文，我感觉收获很多，不仅是知识方面的提高，而且也教会了我如何去靠自己解决问题，锻炼了我自主学习的能力，相信在以后在写作方面一定有了提高。
致谢
这篇论文的写成，光靠我一个人的努力是不够的，在学习复变函数的过程中，秦老师耐心教导我们，每节课都认认真真的对待，对于我们不理解的问题都会耐心的讲解，这令我们每一个学生都非常感动和倾佩，感谢有这样一个兢兢业业的老师陪我们走了半个学期，他教给我们的不光是知识，而且是一种对待事物的
态度；
另外感谢的就是一直陪在我身边的同学们，我在写论文中遇到好多问题，比如说公式上的书写，知识上的不理解，他们都耐心的帮我去解决，我真的庆幸有这么一帮朋友，他们真的帮了我很多，也让我成长了很多。
我以后一定会好好努力的。
参考文献
＜＜复变函数＞＞
＜＜电路＞＞第五版
＜＜高等数学＞＞
＜＜积分变换＞＞第五版＜＜傅里叶变换＞＞冷建华＜＜拉普拉斯变换＞＞徐娟
西安高等出版社
原著：
邱光源
同济大学数学系，高等教育出版社高等教育出版社徐娟.拉普拉斯＜清华大学出版社黑龙江科技信息
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