一次函数典型应用题.docx

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一次函数典型应用题

中考中与不等式结合函数有关的经济类型题

近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。

例1已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。

已知做一套M型号的时装需要A种布料米，B种布料米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料米，B种布料米，可获利润50元。

若设生产N种型号的时装套数为，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为元。

（1）求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？

最大利润是多少？

解：

①由题意得：

＝

解得：

40≤≤44

∴与的函数关系式为：

，自变量的取值范围是：

40≤≤44

②∵在函数中，随的增大而增大

∴当＝44时，所获利润最大，最大利润是：

＝3820（元）

例2某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次元。

（1）写出每月电话费（元）与通话次数之间的函数关系式；

（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；

（3）如果某月的电话费是元，求该月通话的次数。

解；

（1）由题意得：

与之间的函数关系式为：

＝

（2）当＝50时，由于＜60，所以＝20（元）

当＝100时，由于＞60，所以＝＝（元）

（3）∵＝＞20

∴＞60

∴

解得：

＝120（次）

例3荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是万元，用一节B型货厢的运费是万元。

（1）设运输这批货物的总运费为（万元），用A型货厢的节数为（节），试写出与之间的函数关系式；

（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？

请你设计出来。

（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？

最少运费是多少万元？

解：

（1）由题意得：

＝

∴与之间的函数关系式为：

＝

（2）由题意得：

解得：

28≤≤30

∵是正整数

＝28或29或30

∴有三种运输方案：

①用A型货厢28节，B型货厢22节；②用A型货厢29节，B型货厢21节；③用A型货厢30节，B型货厢20节。

（3）在函数＝中

∵随的增大而减小

∴当＝30时，总运费最小，此时＝＝31（万元）

∴方案③的总运费最少，最少运费是31万元。

例4某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。

已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？

请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品获总利润为（元），生产A种产品件，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明

（1）中哪种生产方案获总利润最大？

最大利润是多少？

解；

（1）设需生产A种产品件，那么需生产B种产品件，由题意得：

解得：

30≤≤32

∵是正整数

∴＝30或31或32

∴有三种生产方案：

①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。

（2）由题意得；＝

∵随的增大而减小

∴当＝30时，有最大值，最大值为：

＝45000（元）

答：

与之间的函数关系式为：

＝，

（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

例5某地上年度电价为元，年用电量为1亿度。

本年计划将电价调至~元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（元）成反比例，又当＝时，＝。

（1）求与之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？

[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]

解：

（1）∵与反正比例

∴＝

把＝，＝代入上式得：

＝

∴与之间的函数关系式为：

（2）由题意得：

化简得：

即

＝，＝

∵＜＜0.75

∴＝不符题意，应舍去。

故＝

答：

电价调至元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。

例6为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：

每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费，设某户每月用水量为（立方米），应交水费为（元）

（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，与之间的函数关系式；

（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？

解：

（1）当0≤≤7时，＝

当＞7时，＝

（2）当＝7时，需付水费：

7×＝（元）

当＝10时，需付水费：

7×＋（10－7）＝（元）

设这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有户，则：

化简得：

解得：

答：

该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户。

例7辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。

按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。

（1）设用辆车装运A种苹果，用辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求与之间的函数关系式，并求的取值范围；

（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。

苹果品种

A

B

C

每辆汽车运载量（吨）

2

每吨苹果获利（百元）

6

8

5

解：

（1）由题意得：

化简得：

当＝0时，＝10

∴1＜＜10

答：

与之间的函数关系式为：

；自变量的取值范围是：

1＜＜10的整数。

（2）由题意得：

W＝

＝

＝

＝

∵W与之间的函数关系式为：

＝

∴W随的增大而减小

∴当＝2时，W有最大值，最大值为：

＝（百元）

当＝2时，＝16，＝2

答：

为了获得最大利润，应安排2辆车运输A种苹果，16辆车运输B种苹果，2辆车运输C种苹果。

同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？

小结：

次函数应用题例析

　　一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.

　　一、图象型

　　例1（2003年广西）在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：

当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升微克.每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：

（1）分别求出x≤1，x≥1时y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？

　　解析　本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两个一次函数图象的组合.

（1）当x≤1时，设y=k1x.将（1，5）代入，得k1=5.

　　　∴y=5x.

　　　当x＞1时，设y=k2x+b.以（1，5），（8，代入，得，

　　　∴

（2）以y=2代入y=5x，得；

　　　以y=2代入，得x2=7.

　　　.

　　　故这个有效时间为小时.

　　注：

题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.

　　二、预测型

　　例2（2002年辽宁省）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：

（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？

年份（x）

2000

2001

2002

…

入学儿童人数（y）

2520

2330

2140

　　解析　建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设（k＞0），在三点（2000，2520），（2001，2330），（2002，2140）中任选一点确定k值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数.

（1）设y=kx+b（k≠0），将（2000，2520）、（2001，2330）代入，得

　　故y=-190x+382520.

　　又因为y=-190x+382520过点（2002，2140），所以y=-190x+382520能较好地描述这一变化趋势.

　　所求函数关系式为y=-190x+382520.

（2）设x年时，入学儿童人数为1000人，由题意得-190x+382520=1000.解得x=2008.所以，从2008年起入学儿童人数不超过1000人.

　　注：

从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.

　　三、决策型

　　例3（2003年甘肃省）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.

　　方案一：

由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.

　　方案二：

工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付万元的处理费.

（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式（利润=总收入-总支出）；

（2）如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.

　　解析　先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.

（1）y1=　　　　=；

　　　y2=　　

（2）若y1＞y2，则＞，解得x＞400；

　　　若y1=y2，则=，解得x=400；

　　　若y1＜y2，则＜，解得x＜400.

　　　故当月生产量大于400件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大.

　　注：

在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作出的决策更合理.

　　四、最值型

　　例4（2003年江苏省扬州市）杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.

　　①买进每份元，卖出每份元；

　　②一个月（以30天计）内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份.

　　③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份元退回给报社.

（1）填表：

一个月内每天买进该种晚报的份数

100

150

当月利润（单位：

元）

（2）设每天从报社买进这种晚报x份（120≤x≤200）时，月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值.

　　解析　

（1）由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元；当一个月内每天买进150份时，有20天可以全部卖完，其余10天每天可卖出120份，剩下30份退回报社，计算得当月利润为390元.

（2）由题意知，当120≤x≤200时，全部卖出的20天可获利润：

　　20[元）；

　　其余10天每天卖出120份，剩下（x-120）份退回报社，10天可获利润：

　　10[　　=-x+240（元）.

　　∴月利润为

　　y=2x-x+240

　　=x+240（120≤x≤200）.

　　由一次函数的性质知，当x=200时，y有最大值，为y=200+240=440（元）.

　　注：

对于一次函数y=kx+b，当自变量x在某个范围内取值时，函数值y可取最大（或最小）值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.

　　五、学科结合型

　　例5（2002年南京市）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称音速）是气温x（℃）的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：

气温x（℃）

0

5

10

15

20

音速y（m/S）

331

334

337

340

343

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？

　　解析　

（1）设y=kx+b，任取表中的两对数，用待定系数法即可求得

（2）当x=22时，

　　×5=1671（m）.

　　故此人与燃放的烟花所在地约相距1671m.

　　注：

本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.