沪教版高三C专题(二轮复习-研究新曲线题型3星)Word文档格式.doc
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（3）如图：
直线与两个“相似椭圆”和
分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。
（不必证明）
解：
（1）椭圆与相似。
因为椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，
而椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，
且相似比为
（2）椭圆的方程为：
设，点，中点为，
则，所以，则
因为中点在直线上，所以有，，
即直线的方程为：
，
由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，
即方程有两个不同的实数解，
所以，即
（3）作法1：
过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和
即为所求相似三角形，且相似比为。
作法2：
过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则
和即为所求相似三角形，且相似比为。
【评述：
此题向平面几何借鉴，给了相似的概念，第二问涉及了“对称”，第三问发散思维，难度不大。
】
例2.（★★★）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作
“果圆”，其中，，．
如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
y
O
.
x
（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：
是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是
落在某个椭圆上？
若存在，求出所有可能的值；
若不存在，说明理由．
（1）
M
于是所求“果圆”方程为
（2）由题意，得即
得．
又
（3）设“果圆”的方程为
记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的
交点是，与半椭圆的交点是．
的中点满足得．
，．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点
是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
此题考查一个新定义，把常规的两个椭圆合并，其实考查的还是椭圆的相关知识，只要概念清晰。
第三问，稍有难度，要先搞定在完整椭圆中的“平行弦”情况，再考虑现在与传统有什么区别，
即可迎刃而解了。
在这里，就是解决此类题目的技巧之一，新旧概念定义比较做法】
例3.（★★★★）已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点，若动点满足，动点的轨迹的方程为.
（1）试用表示点、点的坐标；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）以下给出曲线的五个方面的性质，请你选择其中的
三个方面进行研究，并说明理由.（若你研究的方面多于三个，
我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）（共8分）
①对称性；
（2分）
②顶点坐标（定义：
曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；
③图形范围；
④渐近线；
（3分）
⑤对方程，当时，函数的单调性.（3分）
（1），得或，即点.
，得，即点.
（2），则点的参数方程为（为参数）,
消去参数，得.
（3）①关于轴对称；
将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线C关于轴对称.
②曲线的顶点为；
在方程中，令，得.则曲线C的顶点坐标为.
③图像范围：
；
，得.
④直线是曲线的渐近线；
，当时，.则直线是曲线的渐近线.
⑤当时函数在上单调递增；
.设，
则.
则，即，所以当时函数在上单调递增.
此题考查了新曲线研究，第一问第二问都很常规，第三问选分做题，分值不同，自由组合。
在这里，是一种崭新的考法，建议学生不管如何选择，都依次做下来，这样前几个虽然简单，
但是其实会对后面几个有帮助作用的】
例4.（★★★★）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点
到线段的距离，记作.
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；
若选择了多于一种的情形，
则按照序号较小的解答计分.
①，，，.
②，，，.
③，，，.
（1）设是线段上任一点，
则.
∴当时，.
（2）不妨设、为线段的两个端点，
则为线段、线段、半圆、
半圆所围成的区域.
这是因为对，则；
而对，则；
对，则.
于是所表示的图形面积为.
（3）①选择，，，，.（12分）
②选择，，，，
③选择，，，，
此题考查了新定义，其实难度并不大。
第三问选分做题，很新颖。
首先，此题是“定义了点到
线段的距离“，在这里可以引导学生，这个概念是“从点到直线的距离”引申出来的，那具体
区别究竟在哪里？
要让学生明白，主要就是搞懂第二问，原来是把平面分成四个部分来考虑的，
左右就是点到点的距离，中间上下都是点到线段的距离，这样让学生了解本质了。
其次，在学生
做第三问时，无论不管如何选择，也建议学生可以依次做下来，有助于强化理解本质，会对最后
那个有帮助作用的】
巩固练习
1.（★★★）平面内一动点到两定点的距离之积等于，
（1）求动点的轨迹方程，用形式表示
（2）类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹的性质，请直接写出答案
（3）求周长的取值范围
解:
（1）,列式：
化简
（2）性质：
对称性：
关于原点对称；
关于轴对称；
顶点：
，；
的范围：
（3）
此题考查了新曲线研究，难度不大。
但是最大难点，在于学生对教材不熟悉，不知道第二问
该从哪几个方面入手，这就类似于：
“函数基本性质究竟是哪几个？
”。
其实，这就要求学生
要回归教材】
2.（★★★）给定椭圆：
，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．
（1）若椭圆过点，且焦距为，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，
那么请你画出动点轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆的两个焦点分别是，
椭圆上一动点满足．设点是椭圆的“伴随圆”上的动点，过点，作直线使得与椭圆都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点．
研究：
线段的长度是否为定值，并证明你的结论．
（1）由题意得：
，则；
又由焦距为，所以焦距为
故所求的“伴随圆”的方程为
（2）由于椭圆的“伴随圆”与直线
有且只有一个交点，
则圆心到直线的距离等于半径，即
故动点轨迹方程为
即动点的轨迹是：
以原点为圆心半径为的圆上八分之一弧（除去两端点）如图
（3）由题意得：
得，半焦距，则，椭圆的方程为
“伴随圆”的方程为
①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个交点，则其方程为或
当方程为时，此时与“伴随圆”交于点
此时经过点（或），且与椭圆只有一个公点的直线（或），
即为（或）显然直线垂直；
同理可证方程为时，
直线垂直，所以
②当都有斜率时，设点，其中。
设经过点与椭圆
只有一共点的直线为，则消去，
得，即
经过化简得到：
因为，所以有
设的斜率分为，因为与椭圆都有只有一个交点，
所以满足方程。
所以，即垂直．
综合①、②知：
因为经过点，又分别交其“伴随圆”于点，且垂直，
所以线段为“伴随圆”的直径，所以
此题考查了新定义研究，曲线生成，难度不大。
第二问容易多画，范围问题要注意。
第三问其实
很常规，但是计算量较大，这也是解析几何的命题特点】
3.（★★★）现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）。
在这样的城市中，
我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。
在直角坐标平面内，我们定义两点间的“直角距离”为：
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的
“格点”的坐标。
（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，
并在直角坐标系内作出该动点的轨迹。
（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，基保选择条件①，满分3分；
条件②满分4分；
条件③，满分6分）
①；
②；
③；
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指
横、纵坐标均为整数的点）。
①到两点“直角距离”相等；
②到两点“直角距离”和最小。
绝对值方程，分类讨论，描点法即可】
回顾总结5min.
通过本专题的学习，你对研究新曲线题型了解了多少？
有没有发现这些题目在命题特点上和解法上有没有什么共性？
涉及到了哪些知识点？
又要注意些什么？
常见题型：
（1）研究新曲线方程。
这类题，也有两种不同的类型。
一个是根据定义性质，或者方程，画出图像，
就是成功；
另一个就是根据方程，或者图像，代数运算，得到性质。
（2）新定义概念、法则、运算等。
这类定义，往往是原有定义推广变化出来的，所以一定要对原有定义很熟悉，找出两者的真正区别，掌握新定义的本质，即可迎刃而解了。
（3）生成类型。
这类题，是由已知曲线生成新曲线，难度不大，还是属于常规考法。
（4）新颖考法。
近年的创新，例如选分做题，自由组合做题等。
还是要抓住本质，建议从简单的做起。
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