平面几何练习题文档格式.docx

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（2）若△的面积为，四边形的面

积为，求的值．

O

F

５．已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是的平分线交AE于点F，交AB于D点.

（1）求的度数；

（2）若AB=AC，求AC:

BC

.

６．自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B,C两点．

求证:

∠MCP=∠MPB．

7．如图，是⊙的直径，AB是⊙O于点M、N，直线交的延长线于点C，，，求的长和⊙的半径.

8．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作

CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.

（1）求证：

DC是⊙O的切线；

（2）求证：

AM·

MB=DF·

DA.

M

9．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点.

（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；

（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.

10．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM，

垂足为P.

（Ⅰ）证明：

OM·

OP=OA2；

（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：

∠OKM=90°

11．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.

AB∥CD.

12．已知ABC中，AB=AC,D是ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。

（1）求证：

AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。

13．如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。

（I）证明：

B,D,H,E四点共圆：

（II）证明：

平分。

14．已知:

如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E．求证：

（1）△ABC≌△DCB

（2）DE·

DC＝AE·

BD．

15．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°

，

AP＝，则CP＝（　　）

　A.B．2C．2－1D．2＋1

16．已知AB是圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么CD∶AB等于∠BPD的（　　）

A．正弦B．余弦C．正切D．余切

17．如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC

于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边

形BFED的面积等于（　　）

A．2B．3

C．4D．5

18．AD、AE和BC分别切⊙O于D、E、F，如果AD＝20，

则△ABC的周长为（　　）

A．20　　　　B．30C．40　　　　D．35

5．如图所示，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P，已知∠DPB

＝60°

，D是弧BC的中点，则tan∠ADC＝________.

19．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，

BD＝8，则圆O的半径长为________．

20．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°

BC为半圆的切线，且BC＝4，则点O到

AC的距离OD＝________.

平面几何选讲练习题答案

１．

（1）证明：

连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，

又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。

∴AD∥EC（4分）

（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①

∵AD∥EC，∴②，

由①②可得，或（舍去）∴DE=9+x+y=16，

∵AD是⊙O2的切线，

∴AD2=DBDE=9×

16，

∴AD=12。

（6分）

2．证法一：

∵，∴，

又是⊙Ｏ的直径，∴，

又∵（弦切角等于同弧对圆周角）………4分

∴　△∽△…………………………………5分

∴，又∵∴…………………………7分

∴…………………………………………………9分

即BA•DC=GC•AD………………………………………10分

证法二：

∵与⊙Ｏ相切于

∴

又于，

∴△∽△…………………………3分

∵………………………………………①…5分

∵，∴为的中点

又∵为直径的中点，

∴，………………………7分

∴∴BA•DC=GC•AD……………………………10分

3．证明：

设AB=AC=3a，则AE=BD=a，CF=

（1）

又∠C公共，故△BAC∽△EFC，由∠BAC=90°

∴∠EFC=90°

，∴EF⊥BC…………4分

（2）由

（1）得

…………6分

∴∠DAE=∠BFE=90°

∴△ADE∽△FBE， …………8分

∴∠ADE=∠EBC。

…………10分

４．证明：

（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，-------------------------2分

∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：

FC=DG：

FC，

又∵D是AC的中点，则DG：

FC=1：

2，

则BF：

2；

----------------------------------------------4分

（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，

则由

（1）知BF：

BC=1：

3，

又由BE：

BD=1：

2可知：

=1：

2，其中、

分别为△BEF和△BDC的高，则，

则=1：

5．-----------------------8分

５．AC为圆O的切线,∴

又知,DC是的平分线,

∴∴

即又因为BE为圆O的直径,∴

∴

（2）,,∴∽∴

又AB=AC,∴,

∴在RT⊿ABE中,……10分

６．证明：

∵与圆相切于，

∴，………………2分

∵为中点，∴，………………3分

∴，∴．………5分

∵，………………6分

∴△∽△，………………8分

∴．………………10分

7．证明：

是⊙的直径，是⊙的切线，直线是⊙的割线，

，.

…4分

，，.

⊙的半径为………………………………………8分

8．解：

（I）连结OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，

∴∠OAC=∠FAC，∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分

∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线.…………5分

（Ⅱ）连结BC，在Rt△ACB中，

CM⊥AB，∴CM2=AM·

MB.又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF·

易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM·

DA…………10分

19．（Ⅰ）证明：

连结OP，OM.

因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.

于是∠OPA＋∠OMA=180°

，由圆心O在的内部，

可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆…6分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM.

由（Ⅰ）得OP⊥AP.

由圆心O在的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°

所以∠OAM＋∠APM=90°

.……10分

10．（Ⅰ）证明：

因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM

又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，

（Ⅱ）证明：

因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，

同（Ⅰ），有OB2=ON·

OK，又OB=OA，

所以OP·

OM=ON·

OK，即

又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°

11．证明：

由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。

再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。

因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。

12．解：

（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点

∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB,

故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150,∠ACB=750,∴∠OCH=600.

设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。

13．解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°

所以∠BAC+∠BCA=120°

因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°

故∠AHC=120°

.

于是∠EHD=∠AHC=120°

因为∠EBD+∠EHD=180°

，所以B,D,H,E四点共圆.

（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°

由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°

又∠AHE=∠EBD=60°

，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°

所以CE平分∠DEF.A

14．证明：

（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC＝DB

∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

（2）∵△ABC≌△BCD，

∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB

∴△ADE∽△CBD∴DE:

BD＝AE:

CD，∴DE·

15.解析：

如图，连结OP，∴OP⊥PA，又∠APB＝30°

∴∠POB＝60°

∴在Rt△OPA中，OP＝1，易知，PB＝OP＝1，在Rt

△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°

，可求PC＝.

答案：

16.解析：

如图，易知，△CPD∽△APB，

∴＝.连结BD，则△PDB为Rt△，∴cos∠BPD＝，

∴＝cos∠BPD.答案：

17.解析：

因为AD∥EF，DE∥FC，所以△ADE∽△EFC.

因为S△ADE∶S△EFC＝1∶4，所以AE∶EC＝1∶2，

所以AE∶AC＝1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9，

所以S四边形BFED＝4.

18.解析：

∵AD、AE、BC分别为圆O的切线，∴AE＝AD＝20，BF＝BD，CF＝CE，

∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BF＋CF＝（AB＋BD）＋（AC＋CE）＝40.

19．答案：

20．答案：

5

11