有界磁场问题分类点拨Word文件下载.doc
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O//
解析:
电子所受重力不计。
它在磁场中做匀速圆周运动,圆心为O″,半径为R。
圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ,电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动,如图2所示,连结OB,∵△OAO″≌△OBO″,又OA⊥O″A,故OB⊥O″B,由于原有BP⊥O″B,可见O、B、P在同一直线上,且∠O'OP=∠AO″B=θ,在直角三角形OO'P中,O'P=(L+r)tanθ,而,,所以求得R后就可以求出O'P了,电子经过磁场的时间可用t=来求得。
由得R=
,
例2、如图2,半径为的匀强磁场区域边界跟轴相切于坐标原点O,磁感强度,方向垂直纸面向里.在O处有一放射源S,可向纸面各个方向射出速度为的粒子.已知粒子质量,电量,试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道,求出粒子通过磁场空间的最大偏角.
解析:
设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为,由得
虽然粒子进入磁场的速度方向不确定,但粒子进场点是确定的,因此粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心,半径的圆周上,如图2中虚线.
由几何关系可知,速度偏转角总等于其轨道圆心角.在半径一定的条件下,为使粒子速度偏转角最大,即轨道圆心角最大,应使其所对弦最长.该弦是偏转轨道圆的弦,同时也是圆形磁场的弦.显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径.即粒子应从磁场圆直径的A端射出.
如图2,作出磁偏转角及对应轨道圆心,据几何关系得,得,即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为.
图3
二、带电粒子在半无界磁场中的运动
例3、(1999年高考试题)如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场.O是MN上的一点,从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向,已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P到O点的距离为L,不计重力和粒子间的相互作用.
(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径.
(2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.
(1)粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为R,则据牛顿第二定律可得:
解得
(2)如图3所示,以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆,分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道,圆心分别为O1和O2,在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向,它们之间的夹角为,由几何关系知
∠PO1Q1=∠PO2Q2=
从O点射入到相遇,粒子在1的路径为半个圆周加弧长等于R;
粒子在2的路径为半个圆周减弧长等于R.
粒子1的运动时间t1=T+
粒子2的运动时间t2=T-
两个粒子射入的时间间隔△t=t1-t2=2
由几何关系得Rcos==L,解得:
=2arccos
故△t=.arccos
图4
例4、如图4所示,在真空中坐标平面的区域内,有磁感强度的匀强磁场,方向与平面垂直,在轴上的点,有一放射源,在平面内向各个方向发射速率的带正电的粒子,粒子的质量为,电量为,求带电粒子能打到轴上的范围.
图15
带电粒子在磁场中运动时有,则.
如图15所示,当带电粒子打到轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时,A点既为粒子能打到轴上方的最高点.因,,则.
当带电粒子的圆轨迹正好与轴下方相切于B点时,B点既为粒子能打到轴下方的最低点,易得.
综上,带电粒子能打到轴上的范围为:
.
三、带电粒子在长方形磁场中的运动
图5
例5、如图5,长为间距为的水平两极板间,有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感强度为,两板不带电,现有质量为,电量为的带正电粒子(重力不计),从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入,欲使粒子不打在板上,求粒子速率应满足什么条件.
如图4,设粒子以速率运动时,粒子正好打在左极板边缘(图4中轨图4
迹1),则其圆轨迹半径为,又由得,则粒子入射速率小于时可不打在板上.
设粒子以速率运动时,粒子正好打在右极板边缘(图4中轨迹2),由图可得,则其圆轨迹半径为,又由得,则粒子入射速率大于时可不打在板上.
综上,要粒子不打在板上,其入射速率应满足:
或.
l
r1
V
+q
图6
例6、长为L的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图4所示,磁感强度为B,板间距离也为L,板不带电,现有质量为m,电量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是:
A.使粒子的速度V<
BqL/4m;
B.使粒子的速度V>
5BqL/4m;
C.使粒子的速度V>
BqL/m;
D.使粒子速度BqL/4m<
V<
5BqL/4m
解析:
由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周运动,很明显,圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出,而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出,现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2,由几何知识得:
粒子擦着板从右边穿出时,圆心在O点,有:
r12=L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4,
又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>
5BqL/4m时粒子能从右边穿出。
粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在O'点,有r2=L/4,又由r2=mV2/Bq=L/4得V2=BqL/4m
∴V2<
BqL/4m时粒子能从左边穿出。
综上可得正确答案是A、B。
图7
四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动
例7、在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为的匀强磁场,有一带正电,质量为的粒子从距A点的D点垂直AB方向进入磁场,如图5所示,若粒子能从AC间离开磁场,求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出.
如图6所示,设粒子速率为时,其圆轨迹正好与AC边相切于E点.
由图知,在中,,,由得,解得,则.
又由得,则要粒子能从AC间离开磁场,其速率应大于.
如图7所示,设粒子速率为时,其圆轨迹正好与BC边相切于F点,与AC相交于G点.易知A点即为粒子轨迹的圆心,则.
又由得,则要粒子能从AC间离开磁场,其速率应小于等于.
综上,要粒子能从AC间离开磁场,粒子速率应满足.
粒子从距A点的间射出.
五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动
图8
例8、如图11所示,A、B为水平放置的足够长的平行板,板间距离为,A板中央有一电子源P,在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子,Q为P点正上方B板上的一点,若垂直纸面加一匀强磁场,磁感应强度,已知电子的质量,电子电量,不计电子的重力和电子间相互作用力,且电子打到板上均被吸收,并转移到大地.求:
(1)沿PQ方向射出的电子击中A、B两板上的范围.
(2)若从P点发出的粒子能恰好击中Q点,则电子的发射方向(用图中角表示)与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围.
图12
如图12所示,沿PQ方向射出的电子最大轨迹半径由可得,代入数据解得.
该电子运动轨迹圆心在A板上H处,恰能击中B板M处.随着电子速度的减少,电子轨迹半径也逐渐减小.击中B板的电子与Q点最远处相切于N点,此时电子的轨迹半径为,并恰能落在A板上H处.所以电子能击中B板MN区域和A板PH区域.
图13
在MFH中,有,
,.
电子能击中B板Q点右侧与Q点相距的范围.电子能击中A板P点右侧与P点相距的范围.
(2)如图13所示,要使P点发出的电子能击中Q点,则有,.
图14
解得.
取最大速度时,有,;
取最小速度时有,.
所以电子速度与之间应满足,且,
E
d
图9
六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动
例9、如图9所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场.左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右,电场宽度为L;
中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里.一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动,穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后,又回到O点,然后重复上述运动过程.求:
(1)中间磁场区域的宽度d;
(2)带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.
(1)带电粒子在电场中加速,由动能定理,可得:
带电粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律,可得:
由以上两式,可得.
O3
O1
O2
图11
600
可见在两磁场区粒子运动半径相同,如图11所示,三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形,其边长为2R.所以中间磁场区域的宽度为
(2)在电场中
在中间磁场中运动时间
在右侧磁场中运动时间,
则粒子第一次回到O点的所用时间为
七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动
图10
例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应),通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。
如图5所示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。
设环状磁场的内半径为R1=0.5m,外半径R2=1.0m,磁场的磁感强度B=1.0T,若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×
C/㎏,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度.试计算
(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度.
(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度.
(1)要粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场,则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图6所示.
由图中知,解得
由得
图7
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度为.
(2)当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时,则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界,如图7所示.
由图中知
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
a
b
c
S
o
例11、如图8所示,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场,磁感强度的大小为B.在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场.一质量为m、带电量为+q的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发,初速为零。
如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少?
(不计重力,整个装置在真空中)
图9
如图9所示,带电粒子从S点出发,在两筒之间的电场作用下加速,沿径向穿过狭缝a而进入磁场区,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d,粒子就会在电场力作用下先减速,再反向加速,经d重新进入磁场区,然后粒子以同样方式经过c、b,再回到S点。
设粒子进入磁场区的速度大小为V,根据动能定理,有
设粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律,有
由前面分析可知,要回到S点,粒子从a到d必经过圆周,所以半径R必定等于筒的外半径r,即R=r.由以上各式解得;
有界磁场问题分类点拨(学生用)
(3)中间磁场区域的宽度d;
(4)带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.
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