一种单连杆机械臂柔性关节的滑模变结构控制Word格式.docx

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ANKai，WANGFeifei

（ShandongAerospaceElectro⁃technologyInstitute，Yantai264003，China）

Abstract：

Trackingcontrolproblemofasingleconnecting⁃rodmechanicalarmwithflexiblejointbasedonslidingmodevariablestructurecontrolisstudied.Theflexibilityofthejointisincarnatedbytwolinearspringsinatendon⁃likefashion.ThemathematicalmodelofthetrackingcontrolisformulatedwithLagrangeequations.Thetechniqueofslidingmodevariablestructurecontrolisintroduced.ThemethodstochoosethecoefficientsofHurwitzpolynomialanddesigntheslidingmodecontrolleraregiven.TheeffectoftherootsoftheHurwitzpolynomialonthetrackingresultisdiscussedinthispaper.Thecontrollerexpressionisintroducedintothemathematicalmodelforthetrackingcontroltoobtainasetofnonlineardifferentialequationsofstatusvariable.TheidealcontroloutputeffectwasgotbysimulationwithMatlab.

Keywords：

singleconnecting⁃rodmechanicalarm；

flexiblejoint；

optimalslidingmodetrackingcontrol；

multipleobjectiveprogramming

0引言

由于柔性机械臂具有惯量低、能耗低、模态频率低、质量轻、工作效率高和载荷质量比大等特点，已广泛应用于航空航天、精密加工、坐标测量等领域。

然而，柔性机械臂极易产生弹性振动，末端难以精确定位使其控制器的设计面临重大挑战，特别是在路径生成和跟踪的情形。

通常此类非线性系统控制器的设计方法是首先通过反馈线性化将机械臂动力学方程化为线性方程[1⁃5]，然后利用线性系统的技术设计控制器。

但对于柔性机械臂，由于反馈线性化方法在控制器设计过程中不能充分获取非线性系统的动力学特性，因此跟踪误差难以消除。

为了设计控制器使机械臂末端精确到达指定位置或跟踪预定的路径，许多研究者引进了微分几何的方法用于对柔性关节的控制。

Yim[6]，OhandLee[7]提出一种基于Backstepping设计的自适应输出反馈控制器，以解决柔性关节参数不确定问题。

Moberg等[8]针对三关节机械臂模型，研究了反馈线性化方法的离散时间实现，对不确定模型的快速跟踪问题进行了仿真。

Lin等[9]以及Spong[10]等人还将反馈线性化和积分流型技术引入非线性系统的控制中。

Tomei[11]和Yeon[12]等人分别利用简单的PD控制和稳健的H∞控制实现了柔性关节的稳健控制。

上述控制方法的一个共同的特点是控制器一经确定，在控制过程中不能根据非线性系统的输出进行适时调整，也不能充分获取非线性系统的动力学特性，因此必然产生跟踪误差。

滑模变结构控制作为一种非线性控制方法，与常规控制方法的根本区别在于控制的不连续性。

它利用一种特殊的滑模控制方式，强迫系统的状态变量沿着人为规定的状态空间的滑动超平面滑到期望点。

当系统状态穿越滑动超平面时，反馈控制的结构将发生变化，迫使系统状态变量回到该滑动超平面。

因此滑模变结构控制对非线性系统的动力学特性和外在环境扰动等因素具有一定的适应能力，对系统中存在的不确定性具有极强的鲁棒性。

滑模变结构控制系统的动态过程由到达阶段和滑动模态运动阶段构成，只要在到达阶段保证系统状态能趋近并进入滑动模态，就可以保证滑动模态运动阶段的稳定性。

机械臂的关节柔性是影响机械臂动态精确度和稳定性的重要因素。

虽然在控制器设计中考虑关节的柔性因素能改善系统的综合性能指标，但同时也因为受柔性因素影响控制器设计变得更加复杂。

本文针对一种单连杆机械臂柔性关节模型，引入滑模变结构控制方法，以增强控制器对关节柔性导致的系统不确定性及外部扰动的自适应性，保证控制系统的全局渐近稳定性。

1单连杆柔性关节机械臂模型

单连杆柔性关节机械臂模型如图1所示[13]。

单连杆机械臂通过两个仿腱线性弹簧固连在电机上，以产生关节的柔性。

电机固定在机械臂的基座上，基座平面与水平面平行。

[θ]表示电机的角位移或连杆偏离竖直方向的角度，[α]表示柔性关节产生的偏差角度，[θ+α]表示连杆的实际角度。

图1单连杆柔性关节机械臂模型

由Euler⁃Lagrange方程，柔性关节机械臂的能量方程为：

[L=K-V]

式中：

[K=Kh+Kl，V=Vg+Vs]

[Kh=12Jhθ2]是轮毂动能；

[Kl=12Jl（θ+α）2]是载荷动能；

[Vg=mghcos（θ+α）]是重力势能；

[Vs=12Ksα2]是两个弹簧的弹性势能。

其中[Jh]和[Jl]分别为电机和连杆的转动惯量，[m]是连杆质量，[h]是连杆质心到关节的距离。

[Ks]和[g]分别为弹簧刚度和重力加速度常数。

因此Lagrange函数为：

[L=12Jhθ2+12Jl（θ+α）2-mghcos（θ+α）-12Ksα2]

因此：

[ddt（∂L∂α）=d[Jl（θ+α）]dt=Jl（θ+α）]

[∂L∂α=mghsin（θ+α）-Ksα]

[ddt（∂L∂θ）=Jhθ+Jl（θ+α）·

∂L∂θ=mghsin（θ+α）]

代入运动方程：

[ddt（∂L∂α）-∂L∂α=0ddt（∂L∂θ）-∂L∂θ=τ]

（1）

式中，电机的扭矩[τ]是由加在电枢两端的电压[u]产生的，它们之间的关系为：

[τ=KmKgRmu-Km2Kg2Rmθ]

由式

（1）的前一个方程得：

[Jl（θ+α）=mghsin（θ+α）-Ksα]

（2）

由式

（1）的后一个方程得：

[Jhθ+Jl（θ+α）-mghsin（θ+α）=τ]（3）

式

（2）和式（3）联立得：

[α=-θ-KsJlα+mghJlsin（θ+α）]

[Jhθ-Ksα=τ]

选择状态变量[θθααT=x1x2x3x4T]，以[y=h（X）=x1+x3]标识机械臂末端的位置，并令：

[X=x1x2x3x4T]

[g（X）=0KmKgRmJh0-KmKgRmJhT]

[f（X，t）=x2KsJhx3-Km2Kg2RmJhx2x4-KsJhx3+Km2Kg2RmJhx2-KsJlx3+mghJlsin（x1+x3）]

则机械臂的运动方程可表示为：

[X=f（X，t）+g（X）uy=h（X）=x1+x3]

2滑模变结构控制

以[yd]表示理想输出，则跟踪误差为[e=yd-y]，定义滑模函数为：

[s（t）=c1e+c2e+c3e+e]

式中[c1]，[c2]，[c3]是使多项式[λ3+c3λ2+c2λ+c1]为Hurwitz多项式的参数。

选择Lyapunov函数[V=12s2]，则[V=ss]，而：

[s（t）=c1e+c2e+c3e+e（4）=c1e+c2e+c3e+y（4）d-y（4）]

而：

[y=x1+x3=x2+x4y=x2+x4=-KsJlx3+mghJlsin（x1+x3）y=-KsJlx3+mghJl（x1+x3）cos（x1+x3）=-KsJlx4+mghJl（x2+x4）cos（x1+x3）y（4）=-KsJlx4+mghJl（x2+x4）cos（x1+x3）-mghJl（x2+x4）2sin（x1+x3）=-KsJl-KsJhx3+Km2Kg2RmJhx2-KsJlx3+mghJlsin（x1+x3）-KmKgRmJhu+mghJl-KsJlx3+mghJlsin（x1+x3）cos（x1+x3）-mghJl（x2+x4）2sin（x1+x3）=KsJlx3-mghJlsin（x1+x3）KsJl-mghJlcos（x1+x3）-mghJl（x2+x4）2sin（x1+x3）+KsJlJhKsx3-Km2Kg2Rmx2+KsJlKmKgRmJhu=H（X）+Du]

其中：

[H（X）=KsJlx3-mghJlsin（x1+x3）KsJl-mghJlcos（x1+x3）-mghJl（x2+x4）2sin（x1+x3）+KsJlJhKsx3-Km2Kg2Rmx2D=KsJlKmKgRmJh]

[s（t）=c1e+c2e+c3e+y（4）d-H（X）-Du]

令：

[u（t）=1Dc1e+c2e+c3e+y（4）d-H（X）+ηsgn（s）]

其中[η>

0]，则：

[s（t）=c1e+c2e+c3e+y（4）d-H（X）-c1e+c2e+c3e+y（4）d-H（X）+ηsgn（s）=-ηsgn（s）]

于是：

[V=s-ηsgn（s）=-ηs

因此滑动模态[s（t）=0]是Lyapunov稳定的。

3滑动模态控制参数的选择

滑动模态[s（t）=0]的Lyapunov稳定性意味着：

[c1e+c2e+c3e+e→0]（4）

但这并不意味着[e→0]。

由于：

[c1e+c2e+c3e+e=0]（5）

的特征方程为：

[λ3+c3λ2+c2λ+c1=0]（6）

根据高阶线性微分方程理论，微分式（5）的解可表示为[eλ1t]，[eλ2t]，[eλ3t]，其中[λ1]，[λ2]，[λ3]是式（6）的根。

因此只要[λ1]，[λ2]，[λ3]的实部均为负数，式（4）就意味着[e→0]。

为简单起见可以选择式（6）的根均为负数，甚至全部为重根。

比如[λ=-λ0]（[λ0>

0]）是式（6）的3重根，则式（6）可表示为：

[λ03+3λ02λ+3λ0λ2+λ3=0]

如下的仿真中，图2是以[s（t）=e+3e+3e+e]作为滑动模态得到的输出和理想输出，特征方程的三重根为[λ=-1]；

图3是以[s（t）=8e+12e+6e+e]作为滑动模态得到的输出和理想输出，特征方程的三重根为[λ=-2]；

图4是以[s（t）=27e+27e+9e+e]作为滑动模态得到的输出和理想输出，特征方程的三重根为[λ=-3]。

图2轨迹跟踪（[s（t）=e+3e+3e+e]）

对比这三幅图可以发现，随着特征根绝对值的增大，输出逼近理想输出的速度逐步提高，逼近过程中的最大偏差也在逐步缩小。

需要指出的是尽管式（6）的根[-λ0]的绝对值越大，与此对应的式（5）中的[e]收敛于0的速度越快，而且如下的仿真结果也说明了这一点，但选择另外的[η>

0]进行的仿真说明，增大特征式（6）的根[-λ0]的绝对值，非线性系统的输出[y]收敛于理想输出[yd]的速度不一定加快，逼近过程中的最大偏差也不一定会缩小。

图3轨迹跟踪[s（t）=8e+12e+6e+e]

图4轨迹跟踪[s（t）=27e+27e+9e+e]

在如下的仿真中[η=27]，而且通过另外的仿真可以看出，在[s（t）]一定时，从[η=0.4]开始直到[η=27]输出[y]收敛于理想输出[yd]的速度逐步加快，逼近过程中的最大偏差也逐步缩小。

尽管不能得出式（6）的根以及[η]与收敛逼近过程中的最大偏差的普遍结论，但上述事实至少可以说明：

不能一概通过增大特征根绝对值的方法改善逼近效果；

特征根以及[η]的选择既与输出逼近理想输出的速度有关，也与输出逼近理想输出的最大偏差有关，特征根以及[η]应视实际问题的侧重点作出选择。

4仿真

为计算方便，假定所有参数为1，理想输出为：

[yd=sinA]

[H（X）=x3-gsin（x1+x3）1-gcos（x1+x3）-g（x2+x4）2sin（x1+x3）+x3-x2；

]

[D=1；

y=x1+x3；

y=x2+x4；

[y=x2+x4=-x3+gsin（x1+x3）；

[y=-x4+g（x2+x4）cos（x1+x3）；

[yd=sinAt；

yd=AcosAt；

yd=-A2sinAt；

[yd=-A3cosAt；

y（4）d=A4sinAt；

e=sinAt-x1+x3；

[e=AcosAt-x2-x4；

e=-A2sinAt+x3-gsin（x1+x3）；

[e=-A3cosAt+x4-g（x2+x4）cos（x1+x3）；

[s（t）=c1e+c2e+c3e+e；

[u（t）=c1e+c2e+c3e+y（4）d-H（X）+ηsgn（s）；

[g（X）=010-1T]

于是在滑模控制之下系统的状态方程为：

[X=x2x3-x2+ux4x2-2x3+gsin（x1+x3）-u]（7）

令[A=0.1]，按照特征方程

[c1+c2λ+c3λ2+λ3=0]

的3个重根为[-1]，[-2]和[-3]分别取

[s（t）=e+3e+3e+e]

[s（t）=8e+12e+6e+e]

[s（t）=27e+27e+9e+e]

构造滑动模态，利用Matlab解微分方程组（7），输出和理想输出依次如图2～图4所示。

图5是选择[s（t）=27e+27e+9e+e]时得到的微分方程组（7）的解。

图5状态变量[s（t）=27e+27e+9e+e]

5结语

由于特征方程为：

[λ3+c3λ2+c2λ+c1=0]

的根全部为负数是[p3+c3p2+c2p+c1]为Hurwitz多项式的充分条件，因此多项式：

[（λ+λ1）（λ+λ2）（λ+λ3）=λ3+（λ1λ2+λ2λ3+λ1λ3）λ2+（λ1+λ2+λ3）λ+λ1λ2λ3]

是Hurwitz多项式。

其中[λ1]，[λ2]，[λ3]是任意的三个正数。

因此Hurwitz多项式的选择具有相当大的任意性，可以通过[λ1]，[λ2]，[λ3]的选择获得更好的控制效果，比如收敛速度更快以及[maxte（t）]更小。

利用随机搜索法[14]对参数[λ1]，[λ2]，[λ3]进行随机搜索显然可找到更好的解，但运算量特别大。

其实，控制器设计过程中，[η>

0]的选择也与控制效果密切相关。

[η]过大可以缩短过度时间，使收敛速度加快，但同时也容易导致“过调”，使[maxte（t）]增大[15]。

将这样的最优滑模跟踪控制问题转化成一个多目标规划问题，从而直接求出4个待定参数[λ1]，[λ2]，[λ3]和[η]的值，甚至将微分方程组中变量的个数由4推广到自然数[n]，直接求出[η]和[（λ+λ1）（λ+λ2）…（λ+λn-1）=λn-1+（i=1n-1λi）λn-2+…+][k=1n-1λk]中[λ1，λ2，…，λn-1]的值是一个需要进一步研究的问题。

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