北师大四年级下册讲义 第八讲 认识方程.docx

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北师大四年级下册讲义第八讲认识方程

第8讲认识方程

（一）

知识点一

1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。

2、用字母表示有关图形的计算公式：

①长方形周长公式：

C=2（a＋b）。

②长方形面积公式：

S=ab。

③正方形周长公式：

C=4a。

④正方形面积公式：

S=a2。

3、用字母表示运算定律：

如果用a、b、c分别表示三个数，那么

①加法交换律a＋b=b＋a

②加法结合律（a＋b）＋c=a＋（b＋c）

③乘法交换律a×b=b×a

④乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）

⑤乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c（a—b）×c=a×c—b×c

⑥减法的运算性质a－b－c=a－（b＋c）

⑦除法的运算性质a÷b÷c=a÷（b×c）

4、在含有字母的式子中，字母和字母之间、字母和数字之间的乘号可以用“•”表示或省略不写，数字一般都写在字母前面。

数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。

如：

a×b=ab、5×a=5a、1×a=a、a×a=a2

5、区别a的平方和2乘a的区别。

2a=2×aa的平方=a×a

知识点二

1、方程的含义：

含有未知数的等式叫方程。

2、方程与等式的联系区别：

方程是等式，但等式却不都是方程。

3、等式性质一：

等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。

4、等式性质二：

等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立。

5、解方程的书写格式：

解方程前要先写一个“解”字和冒号；一步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐；表示未知数的字母一般都要放在等号的左侧。

6、使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。

求方程的解的过程叫作解方程。

7、能运用减法、除法各部分间的关系，求未知数是减数、除数的方程。

用字母表示数知识精讲：

例1.一本笔记本3元，a本笔记本________元。

例2.妈妈买了5千克苹果，共花去a元，平均每千克苹果________元。

例3.学校有足球24个，借出m个，又买来n个，学校现在有足球________个。

例4.a是大于1的自然数，与a相邻的两个数分别是________和________，这两个数的和是________。

例5.工地上有a吨水泥，每天用去5吨，用了b天后，还剩下________吨。

例6.李师傅每小时加工a个零件，加工了b小时，一共加工了________个零件。

例7.b＋b＋b＋b写成乘法算式可以简写成（ ）。

A. b＋4                                           B. b4                                           C. 4b

例8.一张桌子的价格是a元，一把椅子的价格是b元，买20套这样的桌椅应付（ ）元。

A. 20a＋20b                                  B. 20a＋b                                  C. 20＋a＋b

例9.四年级二班有女生a人，男生比女生多3人，

①四年级二班有男生________人？

②四年级二班一共有________人？

例10：

一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶了4小时，下午行驶了b千米，

用式子表示这辆汽车行驶的千米数。

例11.东苑小区有柳树x棵，杨树比柳树的2倍少18棵。

用含有字母的式子表示出杨树和柳树的总棵数。

参考答案

一、填空题

1.【答案】3a

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】字母a可以表示任何数，也可以用任意的字母或者形状来表示，为了方便，所以用字母表示，一本3元，a本，就是a个3是多少？

答案是3a，这儿注意，当数字与字母相乘时，按规定是先写数字再写字母，并且乘号省略不写。

【分析】用字母表示数有关的问题。

2.【答案】a÷5

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】5千克苹果花了a元，也就是求a元里有几个5，结果是a÷5元。

【分析】用字母表示数有关的问题。

3.【答案】24－m＋n

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】原来有24个，借出去m个，相当于减去m个，又买来n个，相当于加上n个，学校现在有的足球个数就是24－m＋n个。

【分析】用字母表示数有关的问题。

4.【答案】a＋1；a－1；2a

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】a是非0的自然数，与它相邻的数也就是比它小1的数以及比它多1的数，也就是a＋1，a－1，那么这两个数的和，相加即可，a＋1＋a－1＝2a，这儿注意，最后的结果应该是最简结果，不可以是a＋a。

【分析】用字母表示数有关的问题

5.【答案】a－5b

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】共有a吨水泥，每天用5吨，用了b天，也就相当于用了5b吨水泥，用总共有的减去用了的，就是剩下的水泥的数量，a－5b吨。

【分析】用字母表示数有关的问题

6.【答案】ab

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】根据题目中给出的条件，也就是求b个a是多少？

即ab个，这儿不用乘号，在字母与字母相乘时，省略乘号，在字母与数字相乘时，也省略乘号，并且数字在前，字母在后。

【分析】用字母表示数有关的问题

7.【答案】C

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】A选项是表示b与4的和相加，B选项不符合规定，在字母与数字相乘时，应该先写数字再写字母，数字在前字母在后。

所以只有C选项是正确的。

【分析】用字母表示数有关的问题

8.【答案】A

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】根据题目中所给出的条件，买20套桌椅，是指的20张桌子20把椅子，B选项是指20张桌子与一把椅子的价钱，C选项是指一张桌子和一把椅子的和又加了20，这个选项明显讲不通道理，所以只有A选项是正确的。

【分析】用字母表示数有关的问题

9.【答案】a+3；2a+3

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】求男生有多少人，男生比女生多3人，其中女生有a人，也就是比a多3的数即是a＋3，这是男生的人数，求出男生的人数，已知女生的人数是a，所以全班共有a＋a＋3,结果应该是最简结果，即是（2a＋3）人，做类似的题时切记写上单位。

【分析】用字母表示数有关的问题

10.【答案】

（1）已知汽车的速度和上午行驶的时间，速度乘时间等于路程，也就是上午行驶的路程即是4a千米，下午行驶的路程是已知，所以这辆车行驶的千米数即是求汽车行驶的路程，就是（4a＋b）千米

11.【答案】

（1）根据已知的条件，杨树的棵树也就是x的2倍少18，由此列出2x－18，这是杨树的数量，再加上柳树的x棵，即是杨树柳树的总棵树即：

3x－18棵

对应练习

一、填空题

1.学校买来x盒红粉笔，买来白粉笔的盒数是红粉笔盒数的12倍，学校一共买来________盒粉笔。

当x＝10时，学校一共买来________盒粉笔。

2.明明去商店买了1块橡皮3个笔记本，每块橡皮m元，每个笔记本n元，明明一共要付​________元。

3.如果用C表示周长，S表示面积，a表示边长，那么正方形的周长公式可以写作________，面积公式可以写作________。

4.拿a元买了单价为2元的西瓜4千克，应找回________元。

二、选择题

5.b＋b＋b＋b写成乘法算式可以简写成（ ）。

A. b＋4                                           B. b4                                           C. 4b

6.一张桌子的价格是a元，一把椅子的价格是b元，买20套这样的桌椅应付（ ）元。

A. 20a＋20b                                  B. 20a＋b                                  C. 20＋a＋b

7.当a＝5，b＝4时，的值是（ ）。

A. 12                                            

B. 57                                            

C. 23

8.红红比亮亮小，红红今年a岁，亮亮今年b岁，3年后红红比亮亮小（ ）岁。

A. 3                                    

B. b－a                                    

C. a－b                                    

D. b－a＋3

三、应用题

9.马西林场栽了梧桐树和雪松各x排，已知梧桐树每排12棵，雪松每排14棵。

栽梧桐树和雪松共多少棵？

10.小明记下了家里的生活开支情况，平均每月伙食费开支为a元，水电费开支为b元。

用含有字母的式子表示小明家上半年伙食费和电费一共多少元?

对应练习答案解析部分

一、填空题

1.【答案】13x；130

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】分析题目中所给的条件，已知红粉笔的盒数x，白粉笔是红粉笔的12倍，那么白粉笔的盒数即是12x，红粉笔与白粉笔共多少盒，即12x＋x＝13x盒，把x的值也就是10代入含字母的式子中，求出130盒。

【分析】用字母表示数有关的问题

2.【答案】m＋3n

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】买了一块橡皮，橡皮要付m元，3个笔记本，每个n元，也就是n个3，即3n元，总共要付，两个的和即是。

m＋3n元。

【分析】用字母表示数有关的问题

3.【答案】4a；a2

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】正方形的周长是边长与4的乘积，已知边长是a，所以周长即是4a，正方形的面积是边长与边长的乘积，边长用a表示，所以面积即是a乘a，两个a相乘，即是a2，这里要注意区分两个a相乘和两个a相加不同，前者是a2，后者是a加a.。

【分析】用字母表示数有关的问题

4.【答案】a－8

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】总共有a元钱，2元的西瓜4千克，即是2乘4得8元，也就是消费了8元，从a元里减去8元即是。

【分析】用字母表示数有关的问题

二、选择题

5.【答案】C

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】A选项是表示b与4的和相加，B选项不符合规定，在字母与数字相乘时，应该先写数字再写字母，数字在前字母在后。

所以只有C选项是正确的。

【分析】用字母表示数有关的问题

6.【答案】A

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】根据题目中所给出的条件，买20套桌椅，是指的20张桌子20把椅子，B选项是指20张桌子与一把椅子的价钱，C选项是指一张桌子和一把椅子的和又加了20，这个选项明显讲不通道理，所以只有A选项是正确的。

【分析】用字母表示数有关的问题

7.【答案】C

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】ab＋3表示a与b的积再加上3，所以，把相应的数带入这个用字母表示的式子即可。

结果应该是23。

【分析】用字母表示数有关的问题

8.【答案】B

【考点】含字母式子的化简求值

【解析】【解答】根据题目中给的条件，亮亮比红红大，大（b－a）岁，无论多少年后，亮亮永远比红红大（b－a）岁。

【分析】用字母表示数有关的问题

三、应用题

9.【答案】

（1）26x棵

10.【答案】

（1）一年有12个月，分上半年和下半年，各有6个月，根据已知条件得出上半年伙食费和电费为6（a＋b）元

等量关系知识精讲：

例1.下列等量关系哪个是不准确的（ ）

A. 数量×单价＝总价                  B. 效率×时间＝工作总量                  C. 速度×时间＝耗油量

例2.姚明（2米）的身高是我的两倍，设我的身高为x，下列等量关系式正确的是（）

A. 2x＝2                                      

B. x＝2                                      

C. 0.2x＝2

例3.甲施工队每天修路a米，乙施工队每天修路b米，需要修路的工程量为3000米。

甲施工队比乙施工队每天多修路20米，列出等量关系式为________。

例4..甲施工队每天修路a米，乙施工队每天修路b米，需要修路的工程量为3000米。

若两队一起施工，需要3天完成，列出等量关系式为________。

例5.甲施工队每天修路a千米，乙施工队每天修路b千米，需要修路的工程量为140千米。

若让甲施工队先修一天，后全由乙施工队负责，修3天可完成任务，列出等量关系式为________。

例6.甲施工队每天修路a米，乙施工队每天修路b米，需要修路的工程量为3000米。

若全程由甲施工队来完成，则需要5天，列出关系式为________。

例7.甲施工队每天修路a米，乙施工队每天修路b米，需要修路的工程量为3000米。

若由乙先施工2天，再由甲施工1天可完成，列出等量关系式为________。

例8.工厂中，贾师傅每天生产10个零件，李师傅每天生产20零件，现需要300个零件。

若全由贾师傅生产，a天后可以完成，列出等量关系式为________。

参考答案

1.【答案】C

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】AB项皆正确，C选项耗油量有总路程和单位路程耗油量决定

【分析】通过日常等式意义的理解可得出答案，本题考查的是等式的意义。

2.【答案】A

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据姚明（2米）的身高是我的两倍，可列出2x＝2。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

3.【答案】a－b＝20

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据甲施工队比乙施工队每天多修路20米，找到等量，可列出a－b＝20。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

4.【答案】3×（a＋b）＝3000

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据甲施工队和乙施工队3天修路总量为3000米，总任务也为3000米，找到等量，可列出3×（a＋b）＝3000。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

5.【答案】a＋3b＝140

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据甲施工队和乙施工队修路总量为140千米，总任务也为140千米，找到等量，可列出a＋3b＝140。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

6.【答案】5a＝3000

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据甲施工队5天修路总量为3000米，总任务也为3000米，找到等量，可列出5a＝140。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

7.【答案】2b＋a＝3000

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据甲施工队和乙施工队修路总量为3000米，总任务也为3000米，找到等量，可列出2b＋a＝3000。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

8.【答案】10a＝300

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据贾师傅a天的工作总量为300个零件，总任务也为300零件，找到等量，可列出10a＝300。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

对应练习

一、选择题

1.一个桃子和两个李子一样重，设桃子重为x，李子重为y，下列等量关系式不正确的是（     ）

A. x＝2y                                      B. x＝y＋y                                      C. 2x＝y

2.一包盐售价2元，现有10元，设可以买x包盐，下列关系式正确的是（）

A. x＝10－2                                  

B. 2x＝10                                  

C. 10＋2＝x

3.一辆车用速度70千米每小时的速度行驶了一小时，又用35千米每小时的速度行驶了x小时，总共行驶了140千米，下列等量关系式不正确的是（）

A. 140＝70x                           

B. 70＋35x＝140                           

C. 35x＝140－70

二、填空题

4.工厂中，贾师傅每天生产10个零件，李师傅每天生产20零件，现需要300个零件,若全由李师傅生产，b天后可以完成，列出等量关系式为________。

5.工厂中，贾师傅每天生产10个零件，李师傅每天生产20零件，现需要300个零件,若贾师傅和李师傅合作生产，x天可完成任务，列出等量关系式为________

6.工厂中，贾师傅每天生产10个零件，李师傅每天生产20零件，现需要300个零件,若贾师傅先生产5天，再由李师傅生产x天可完成任务，列出等量关系式为________。

7.已知皮划艇500米最好成绩是1.65分钟，其平均速度为x，请列出等量关系式________。

8.学校跑道是200米环形跑道，小明跑完5个圈共用了4分钟，他的平均速度为x，请列出等量关系式________。

9.小李30天一共跑了45000米，小张平均每天跑的距离比小李多200米，问小张30天一共跑了多少米，请列出等量关系式________。

10.小王买了6斤苹果，他给了老板50元，老板找回他26元，苹果的单价为x，请列出等量关系式________。

11.李先生买了6支铅笔和2个文具盒，共花了50元，已知铅笔和文具盒的单价之和为15元，文具盒的单价为x，请列出等量关系式________。

对应练习答案解析部分

一、选择题

1.【答案】C

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据一个桃子和两个李子一样重，可列出x＝2y或x＝y＋y，所以C错。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

2.【答案】B

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，一包盐售价2元，现有10元，设可以买x包盐，所以10元可以买2x包盐，可列出2x＝10。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

3.【答案】A

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据这辆车总行程为140千米，两种速度的行程也为140千米得到等量，可列出70＋35x＝140或35x＝140－70，所以A错。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

二、填空题

4.【答案】20b＝300

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据李师傅b天的工作总量为300个零件，总任务也为300零件，找到等量，可列出20b＝300。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

5.【答案】（10＋20）x＝300

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据贾师傅和李师傅x天的工作总量为300个零件，总任务也为300零件，找到等量，可列出（10＋20）x＝300。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

6.【答案】5×10＋20x＝300

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据贾师傅和李师傅的工作总量为300个零件，总任务也为300零件，找到等量，可列出5×10＋20x＝300。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

7.【答案】1.65x＝500

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据时间×速度＝路程，可列出1.65x＝500。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

8.【答案】4x＝5×200

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据时间×速度＝路程，可列出4x＝5×200。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

9.【答案】x－45000＝200×30

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据小张跑的路程比小李的总路程多的就是小张平均每天比小李多的距离和30天的乘积，可列出x－45000＝200×30。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

10.【答案】6x＝50－26

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据单价×数量＝总价，可列出6x＝50－26。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

11.【答案】2x＋6×（15－x）＝50

【考点】等式的认识及等量关系

【解析】【解答】等量关系式两边等量，根据单价×数量＝总价，可列出2x＋6×（15－x）＝50。

【分析】通过等量关系的选择与对等可得出答案，本题考查的是等量关系与方程。

方程知识精讲：

例1.下列各式中是方程的是（ ）

A. 3x＋6                          

B. 18＋14＝32                          

C. 4x＋6＜18                          

D. 5x＝0.2

例2.甲数是m，乙数比甲数多8，乙数是（ ）

A. m－8                                    

B. m×8                                    

C. 8m                                    

D. m＋8

例3.一个数的8倍加上6等于30，求这个数，列方程是（ ）

A. x8＋6＝30                      B. 8x＋6＝30                      C. 8x－6＝30                      D. x＝（30－6）

参考答案

1【答案】D

【考点】方程的认识及列简易方程

【解析】【解答】AC项连等式都不是，所以排除，B项不含未知数，所以也排除。

【分析】通过方程条件的考虑可得出答案，本题考查的是方程需要满足的条件。

2.【答案】D

【考点】用字母表示数

【解析