数值计算方法课后习题答案Word文档格式.doc
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若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?
[解]因为(六位有效数字),,所以
。
14、试用消元法解方程组,假定只有三位数计算,问结果是否可靠?
[解]精确解为。
当使用三位数运算时,得到,结果可靠。
15、已知三角形面积,其中c为弧度,,且测量a,b,c的误差分别为,证明面积的误差满足。
[解]因为,
所以。
第二章插值法(40-42)
1、根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
,证明是n次多项式,它的根是,且。
[证明]由可得求证。
2、当时,,求的二次插值多项式。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
[解]若取,,
则,,则
从而。
若取,,,则,
,,则
4、给出的函数表,步长,若函数具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界。
[解]设插值节点为,对应的值为,函数表值为,则由题意可知,,,近似线性插值多项式为,所以总误差为
,从而
5、设,求。
令,则
,从而极值点可能为
,又因为
显然,所以
6、设为互异节点,求证:
1);
2);
[解]1)因为左侧是的n阶拉格朗日多项式,所以求证成立。
2)设,则左侧是的n阶拉格朗日多项式,令,即得求证。
7、设且,求证。
[解]见补充题3,其中取即得。
8、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?
[解]由题意可知,设x使用节点,,进行二次插值,则插值余项为,
令,则,从而的极值点为,故,而
,要使其不超过,则有
,即。
9、若,求及。
10、如果是m次多项式,记,证明的k阶差分是次多项式,并且(l为正整数)。
[证明]对k使用数学归纳法可证。
11、证明。
[证明]。
12、证明。
[证明]因为
,故得证。
13、证明:
14、若有n个不同实根,证明
[证明]由题意可设,故
,再由差商的性质1和3可知:
,从而得证。
15、证明n阶均差有下列性质:
1)若,则;
2)若,则。
[证明]1)。
2)。
16、,求,。
[解],。
17、证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。
[解]见P30与P33,误差限为。
18、XXXXXXXXXX.
19、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。
[解]设,则,再由,,可得:
解得。
从而
20、设,把分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数,并证明当时,在上一致收敛到。
[解]令。
21、设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点中点处的与的值,并估计误差。
[解]由题意可知,,从而当时,
22、求在上的分段线性插值函数,并估计误差。
[解]设将划分为长度为h的小区间,则当,时,
从而误差为,
故。
23、求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差。
24、给定数据表如下:
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条函数,并满足条件:
[解]由,,,,及(8.10)式可知,,,
,,
由(8.11)式可知,
1)矩阵形式为:
,解得
,从而。
2)此为自然边界条件,故
;
矩阵形式为:
,可以解得,从而。
25、若,是三次样条函数,证明
2)若,式中为插值节点,且
则。
[解]1)。
2)由题意可知,,所以
补充题:
1、令,,写出的一次插值多项式,并估计插值余项。
[解]由,可知,
余项为,
2、设,试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理,有
3、设在内有二阶连续导数,求证:
[证]因为是以a,b为插值节点的的线性插值多项式,利用插值多项式的余项定理,得到:
4、设,求差商,,和。
[解]因为,,
,所以,,
,。
5、给定数据表:
1
2
4
6
7
求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。
[解]
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
-3
由差商表可得4次牛顿插值多项式为:
,插值余项为
6、如下表给定函数:
3
11
18
27
试计算出此列表函数的差分表,并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。
[解]构造差分表:
5
9
由差分表可得插值多项式为:
第三章函数逼近与计算(80-82)
1、(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式;
(b)对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。
[解](a)令,则,从而伯恩斯坦多项式为
,其中。
(b)令,则,从而伯恩斯坦多项式为
2、求证:
(a)当时,;
(b)当时,。
[证明](a)由及可知,
而,从而得证。
(b)当时,
3、在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式。
[解]由可知,,从而最小偏差为1,交错点为,此即为的切比雪夫交错点组,从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式,可得。
4、假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式。
[解]令,,则在上具有最小偏差,从而为零次最佳逼近一次多项式。
5、选择常数a,使得达到极小,又问这个解是否唯一?
[解]因为是奇函数,所以,再由定理7可知,当时,即时,偏差最小。
6、求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差。
[解]由可得,从而最佳一次逼近多项式为
7、求在上的最佳一次逼近多项式。
8、如何选取r,使在上与零偏差最小?
r是否唯一?
[解]由,可知当与零偏差最小时,,从而。
另解:
由定理7可知,在上与零偏差最小的二次多项式为,从而。
9、设,在上求三次最佳逼近多项式。
[解]设所求三次多项式为,则由定理7可知
10、令,求、、、。
[解]由可知,令,则
11、试证是在上带权的正交多项式。
?
12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。
[解]由题意可知,插值节点为,
即,则可求得。
13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数,使得
[证明]由题意可知,,从而取
,,则可得求证。
14、设在上,试将降低到3次多项式并估计误差。
[解]因为,,所以
误差为。
15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005。
[解]因为,取前三项,得到
,误差为,又因为
,所以3次逼近多项式为
,此时误差为
16、是上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数。
[解]的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的,再由切比雪夫多项式的性质4即得。
17、求a、b使为最小,并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。
[解]由,,,,
,可得
,解得。
18、,定义
(a);
(b)。
问它们是否构成内积?
[解](a)因为,但反之不成立,所以不构成内积。
(b)构成内积。
19、用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果。
因为,所以。
20、选择a,使下列积分取最小值:
[解],从而。
当时,,当时,由,可得交点为,
若,则,
若,则
同理可知,当时,,当时,,从而当时,积分取得最小。
21、设,,分别在上求一元素,使其为的最佳平方逼近,并比较其结果。
[解]由,,,可知,
,解得,即在上为。
由,,,
22、在上,求在上的最佳平方逼近。
[解]由,,
可知,,解得。
从而最佳平方逼近多项式为。
23、是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
[证明]令,则
24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差。
[解]若按照切比雪夫多项式展开,其中
若按照勒让德多项式展开,
,其中;
从而三次最佳逼近多项式为
25、把在上展成切比雪夫级数。
26、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据相拟合,并求均方误差。
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
[解]由。
又,
故法方程为,解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动,得出以下数据:
时间t(秒)
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(米)
10
30
50
80
110
[解]设直线运动为二次多项式,则由
故直线运动为。
28-31略。
1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表:
I
……
U
试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系:
应用最小二乘原理,求R使得达到最小。
对求导得到:
令,得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次,得到n个近似值,通常取平均值作为所求长度,请说明理由。
[解]令,求x使得达到最小。
,令,得到,这说明取平均值
在最小二乘意义下误差达到最小。
3、有函数如下表,要求用公式拟合所给数据,试确定拟合公式中的a和b。
-2
-1
-1.76
0.42
1.20
1.34
1.43
2.25
4.38
[解]取,,则
,而
故法方程为
4、在某个低温过程中,函数y依赖于温度的实验数据为
1.5
1.8
2.0
已知经验公式的形式为,是用最小二乘法求出a和b。
5、单原子波函数的形式为,试按照最小二乘法决定参数a和b,已知数据如下:
y
2.010
1.210
0.740
0.450
[解]对两边取对数得,令,,则拟合函数变为,所给数据转化为
0.6981
0.1906
-0.3011
-0.7985
取,,则
因而拟合函数为,原拟合函数为。
第四章数值积分与数值微分(107)
1、确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
[解]分别取代入得到:
,即,解得
又因为当时,;
当时,;
从而此求积公式最高具有3次代数精度。
,即,
解得,
3);
解得与,
从而此求积公式最高具有2次代数精度。
4)。
,所以,又因为当时,,
当时,,所以此求积公式最高具有3次代数精度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
精确值为。
(略)
[解](略),精确值为。
4);
(略)。
3、直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度。
[证明]显然节点为,分别取代入得到:
从而此求积公式最高具有5次代数精度。
4、用辛普森公式求积分并估计误差。
5、推导下列三种矩形求积公式:
[解]由微分中值定理有:
再由微分中值定理有:
由微分中值定理有:
6、证明梯形公式(2.9)与辛普森公式(2.11)当时收敛到积分。
[证明]由与
可得求证
7、用复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍入误差)?
[解]由可知,令,则,从而。
8、用龙贝格方法计算积分,要求误差不超过。
[解]由及可得。
(参见95页)
9、卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,公里为地球半径,则,。
我国第一颗人造卫星近地点距离公里,远地点距离为2384公里,试求卫星轨道的周长。
[解]由,
可得
10、证明等式,试依据的值,用外推算法求的近似值。
[证明]因为,,
,由
可得,
11、用下列方法计算积分,并比较结果。
1)龙贝格方法;
(2)三点及五点高斯公式;
3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。
12、用三点公式和五点公式求在和1.2处的导数值,并估计误差,的值由下表给出:
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0.2500
0.2268
0.2066
0.1890
0.1736
[解]由三点公式,
可知,
误差为;
,误差为
由五点公式可知
1、计算上的积分的两点求积公式
[解]求积公式的代数精度不超过,将求积公式和求积系数作为4个待定系数,依次取被积函数为代入求积公式,得到方程组:
,可以解得,从而求积公式为
2、直接验证梯形公式与中矩形公式具有一次代数精度,而辛普生公式具有三次代数精度。
[证明]
(1)依次将代入梯形公式中,得到:
从而梯形公式具有一次代数精度。
(2)依次将代入中矩形公式中,得到:
从而中矩形公式具有一次代数精度。
(3)依次将代入辛普生公式中,得到:
从而辛普生公式具有三次代数精度。
3、求近似求积公式的代数精度。
[解]依次将代入求积公式中,得到:
因此所给求积公式具有三次代数精度。
4、求三个不同的节点和常数C,使求积公式具有尽可能高的代数精度。
,即,解得,
此时求积公式为,具有3次代数精度。
令代入求积公式中,得到:
所以此求积公式的代数精度只有3次。
5、用三个节点()的Gauss求积公式计算积分。
[解]三个节点的Gauss求积公式为
,所以
6、试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式为Gauss型公式。
[解]要使数值积分公式为Gauss型公式,则其具有次代数精度。
依次将代入都应精确成立,故有,即,解得。
7、试确定常数A,B,C和,使得数值求积公式具有尽可能高的代数精度。
此时的代数精度是多少?
它是否是Gauss型公式?
[解]依次将代入求积公式,得到:
,即,解得,从而求积公式为,令代入得到:
,从而求积公式只具有3次代数精度,不是Gauss型公式。
第五章常微分方程数值解法(141-142)
1、就初值问题分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式,并与准确解相比较。
[解]由欧拉公式可知,即,从而
,又因为,,所以
再由,可知误差为
由改进的欧拉公式可知,
即,从而
2、用改进的欧拉方法求解初值问题,取步长计算,并与准确解相比较。
[解]由改进的欧拉公式可知,又由,,,可得,从而
3、用改进的欧拉方法解,取步长计算,并与准确解相比较。
[解]由改进的欧拉公式可知
,又由,,,可得,从而
4、用梯形方法解初值问题,证明其近似解为,并证明当时,它收敛于原初值问题的准确解。
[解]由梯形公式可知,,从而,即,从而,又由可知,。
5、利用欧拉方法计算积分在点的近似值。
[解]令,则,从而令,利用欧拉方法得到:
,又由,得到:
6、取,用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题:
[解]由四阶经典的龙格-库塔方法可知,,
又由可知,。
从而由可得:
精确解为。
7、证明对任意参数t,下列龙格-库塔公式是二阶的。
而,比较系数可知,所给龙格-库塔公式是二阶精度的。
8、证明下列两种龙格-库塔方法是三阶的:
[证明]在三阶龙格-库塔公式中,
(1)取,,,,,,。
即为所给方法,并且满足,因而具有三阶精度。
(2)取,,,,,,。
9、分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列问题:
,取计算,并与准确解
相比较。
[解]由可知,当使用二阶显式亚当姆斯方法时,
从而,
当使用二阶隐式亚当姆斯方法时,
故
10、证明解的下列差分公式是二阶的,并求出截断误差的首项。
,从而比较系数可得差分公式具有二阶精度,并且截断误差首项为。
11、导出具有下列形式的三阶方法:
所以,
从而若公式具有三阶精度,则必须有:
12、将下列方程化为一阶方程组:
[解]令,则,从而有,,再令,则初值问题为。
[精确解为]
[解]令,则,从而有,。
3)。
[解]令,,则,,从而有,初值为。
13、取,用差分法解边值问题。
[解]显然,令,及,代入得到:
,再由可知,
,解得。
14、对方程可建立差分公式,试用这一公式求解初值问题,验证计算解恒等于准确解。
[解]由差分格式可建立方程组。
15、取,用差分方法解边值问题。
[解]显然,,令及,代入得到:
又由可得,从而由得方程组为:
,可以解得。
第六章方程求根(163-164)
阅读材料:
一般的n次多项式方程称为n次代数方程。
对于3次、4次的方程,虽然也可以在数学手册上查到求解公式,但是太复杂。
至于5次以上的方程就没有现成的求解公式了。
代数方程可以说是最简单的非线性方程,因为虽然不能很好地算出它的根,但是总可以知道,n次方程一般具有n个根。
一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数等超越函数,如,这样的方程叫做超越方程。
求解超越方程不仅没有一般的公式,而且若只依据方程本身,那么连是否有根、有几个根,也都难以判断。
超越方程与次代数方程一起统称为非线性方程,记作,其中是一个单变量的初等函数,它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它们的组合形式。
所谓方程求根,就是寻找一个,使得成立,这样的叫做方程的根(解),也叫做函数的零点。
若存在正整数m,使得,且,则称为的m重根。
当时,又称为单根,这时满足,。
对于一般的非线性方程,用直接方法得到它的精确解是很困难的,例如。
非线性方程的求解就是研究方程在给定初值的条件下,如何利用计算机运算得到方程真解的近似值x,使得对任意给定的精度,满足,此时称x关于是精确的。
对于具体的问题,首先要对函数加以初步的研究,判断出方程的根的个数和大概位置,才能较好地选择有根区间。
如果选取得好,还可以把方程的根逐个分离,找出相应的有根区间。
二分法的特点是当有单根时具有收敛快的特点。
然而对方程有重根或复根的情况,二分法公式有时失效。
1、用二分法求方程的正根,要求误差。
[解]令,则,,所以有根区间为;
又因为,所以有根区间为;
,所以有根区间为;
取,
这时它与精确解的距离。
2、用比例求根法求在区间的一个根,直到近似根满足精度终止计算。
3、为求方程在附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
1),迭代公式