数值计算方法课后习题答案Word文档格式.doc
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若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？
若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？
[解]因为（六位有效数字），，所以
。
14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？
[解]精确解为。
当使用三位数运算时，得到，结果可靠。
15、已知三角形面积，其中c为弧度，，且测量a，b，c的误差分别为，证明面积的误差满足。
[解]因为，
所以。
第二章插值法（40-42）
1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令
，证明是n次多项式，它的根是，且。
[证明]由可得求证。
2、当时，，求的二次插值多项式。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
[解]若取，，
则，，则
从而。
若取，，，则，
，，则
4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。
[解]设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，，，近似线性插值多项式为，所以总误差为
，从而
5、设，求。
令，则
，从而极值点可能为
，又因为
显然，所以
6、设为互异节点，求证：
1）；
2）；
[解]1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。
2）设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。
7、设且，求证。
[解]见补充题3，其中取即得。
8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？
[解]由题意可知，设x使用节点，，进行二次插值，则插值余项为，
令，则，从而的极值点为，故，而
，要使其不超过，则有
，即。
9、若，求及。
10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正整数）。
[证明]对k使用数学归纳法可证。
11、证明。
[证明]。
12、证明。
[证明]因为
，故得证。
13、证明：
14、若有n个不同实根，证明
[证明]由题意可设，故
，再由差商的性质1和3可知：
，从而得证。
15、证明n阶均差有下列性质：
1）若，则；
2）若，则。
[证明]1）。
2）。
16、，求，。
[解]，。
17、证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。
[解]见P30与P33，误差限为。
18、XXXXXXXXXX．
19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
[解]设，则，再由，，可得：
解得。
从而
20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并证明当时，在上一致收敛到。
[解]令。
21、设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点中点处的与的值，并估计误差。
[解]由题意可知，，从而当时，
22、求在上的分段线性插值函数，并估计误差。
[解]设将划分为长度为h的小区间，则当，时，
从而误差为，
故。
23、求在上的分段埃尔米特插值，并估计误差。
24、给定数据表如下：
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条函数，并满足条件：
[解]由，，，，及（8.10）式可知，，，
，，
由（8.11）式可知，
1）矩阵形式为：
，解得
，从而。
2）此为自然边界条件，故
；
矩阵形式为：
，可以解得，从而。
25、若，是三次样条函数，证明
2）若，式中为插值节点，且
则。
[解]1）。
2）由题意可知，，所以
补充题：
1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，
余项为，
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有
3、设在内有二阶连续导数，求证：
[证]因为是以a，b为插值节点的的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：
4、设，求差商，，和。
[解]因为，，
，所以，，
，。
5、给定数据表：
1
2
4
6
7
求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
-3
由差商表可得4次牛顿插值多项式为：
，插值余项为
6、如下表给定函数：
3
11
18
27
试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。
[解]构造差分表：
5
9
由差分表可得插值多项式为：
第三章函数逼近与计算（80-82）
1、（a）利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式；
（b）对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。
[解]（a）令，则，从而伯恩斯坦多项式为
，其中。
（b）令，则，从而伯恩斯坦多项式为
2、求证：
（a）当时，；
（b）当时，。
[证明]（a）由及可知，
而，从而得证。
（b）当时，
3、在次数不超过6的多项式中，求在的最佳一致逼近多项式。
[解]由可知，，从而最小偏差为1，交错点为，此即为的切比雪夫交错点组，从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得。
4、假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式。
[解]令，，则在上具有最小偏差，从而为零次最佳逼近一次多项式。
5、选择常数a，使得达到极小，又问这个解是否唯一？
[解]因为是奇函数，所以，再由定理7可知，当时，即时，偏差最小。
6、求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
[解]由可得，从而最佳一次逼近多项式为
7、求在上的最佳一次逼近多项式。
8、如何选取r，使在上与零偏差最小？
r是否唯一？
[解]由，可知当与零偏差最小时，，从而。
另解：
由定理7可知，在上与零偏差最小的二次多项式为，从而。
9、设，在上求三次最佳逼近多项式。
[解]设所求三次多项式为，则由定理7可知
10、令，求、、、。
[解]由可知，令，则
11、试证是在上带权的正交多项式。
？
12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。
[解]由题意可知，插值节点为，
即，则可求得。
13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为，若有界，证明对任何，存在常数，使得
[证明]由题意可知，，从而取
，，则可得求证。
14、设在上，试将降低到3次多项式并估计误差。
[解]因为，，所以
误差为。
15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。
[解]因为，取前三项，得到
，误差为，又因为
，所以3次逼近多项式为
，此时误差为
16、是上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数。
[解]的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。
17、求a、b使为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。
[解]由，，，，
，可得
，解得。
18、，定义
（a）；
（b）。
问它们是否构成内积？
[解]（a）因为，但反之不成立，所以不构成内积。
（b）构成内积。
19、用许瓦兹不等式（4.5）估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。
因为，所以。
20、选择a，使下列积分取最小值：
[解]，从而。
当时，，当时，由，可得交点为，
若，则，
若，则
同理可知，当时，，当时，，从而当时，积分取得最小。
21、设，，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。
[解]由，，，可知，
，解得，即在上为。
由，，，
22、在上，求在上的最佳平方逼近。
[解]由，，
可知，，解得。
从而最佳平方逼近多项式为。
23、是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系
[证明]令，则
24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。
[解]若按照切比雪夫多项式展开，其中
若按照勒让德多项式展开，
，其中；
从而三次最佳逼近多项式为
25、把在上展成切比雪夫级数。
26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
[解]由。
又，
故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t（秒）
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s（米）
10
30
50
80
110
[解]设直线运动为二次多项式，则由
故直线运动为。
28-31略。
1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：
I
……
U
试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
，令，得到，这说明取平均值
在最小二乘意义下误差达到最小。
3、有函数如下表，要求用公式拟合所给数据，试确定拟合公式中的a和b。
-2
-1
-1.76
0.42
1.20
1.34
1.43
2.25
4.38
[解]取，，则
，而
故法方程为
4、在某个低温过程中，函数y依赖于温度的实验数据为
1.5
1.8
2.0
已知经验公式的形式为，是用最小二乘法求出a和b。
5、单原子波函数的形式为，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：
y
2.010
1.210
0.740
0.450
[解]对两边取对数得，令，，则拟合函数变为，所给数据转化为
0.6981
0.1906
-0.3011
-0.7985
取，，则
因而拟合函数为，原拟合函数为。
第四章数值积分与数值微分（107）
1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
[解]分别取代入得到：
，即，解得
又因为当时，；
当时，；
从而此求积公式最高具有3次代数精度。
，即，
解得，
3）；
解得与，
从而此求积公式最高具有2次代数精度。
4）。
，所以，又因为当时，，
当时，，所以此求积公式最高具有3次代数精度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
精确值为。
（略）
[解]（略），精确值为。
4）；
（略）。
3、直接验证柯特斯公式（2.4）具有5次代数精度。
[证明]显然节点为，分别取代入得到：
从而此求积公式最高具有5次代数精度。
4、用辛普森公式求积分并估计误差。
5、推导下列三种矩形求积公式：
[解]由微分中值定理有：
再由微分中值定理有：
由微分中值定理有：
6、证明梯形公式（2.9）与辛普森公式（2.11）当时收敛到积分。
[证明]由与
可得求证
7、用复化梯形公式求积分，问要将积分区间分成多少等分，才能保证误差不超过（设不计舍入误差）？
[解]由可知，令，则，从而。
8、用龙贝格方法计算积分，要求误差不超过。
[解]由及可得。
（参见95页）
9、卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，公里为地球半径，则，。
我国第一颗人造卫星近地点距离公里，远地点距离为2384公里，试求卫星轨道的周长。
[解]由，
可得
10、证明等式，试依据的值，用外推算法求的近似值。
[证明]因为，，
，由
可得，
11、用下列方法计算积分，并比较结果。
1）龙贝格方法；
（2）三点及五点高斯公式；
3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
12、用三点公式和五点公式求在和1.2处的导数值，并估计误差，的值由下表给出：
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0.2500
0.2268
0.2066
0.1890
0.1736
[解]由三点公式，
可知，
误差为；
，误差为
由五点公式可知
1、计算上的积分的两点求积公式
[解]求积公式的代数精度不超过，将求积公式和求积系数作为4个待定系数，依次取被积函数为代入求积公式，得到方程组：
，可以解得，从而求积公式为
2、直接验证梯形公式与中矩形公式具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。
[证明]
（1）依次将代入梯形公式中，得到：
从而梯形公式具有一次代数精度。
（2）依次将代入中矩形公式中，得到：
从而中矩形公式具有一次代数精度。
（3）依次将代入辛普生公式中，得到：
从而辛普生公式具有三次代数精度。
3、求近似求积公式的代数精度。
[解]依次将代入求积公式中，得到：
因此所给求积公式具有三次代数精度。
4、求三个不同的节点和常数C，使求积公式具有尽可能高的代数精度。
，即，解得，
此时求积公式为，具有3次代数精度。
令代入求积公式中，得到：
所以此求积公式的代数精度只有3次。
5、用三个节点（）的Gauss求积公式计算积分。
[解]三个节点的Gauss求积公式为
，所以
6、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式为Gauss型公式。
[解]要使数值积分公式为Gauss型公式，则其具有次代数精度。
依次将代入都应精确成立，故有，即，解得。
7、试确定常数A，B，C和，使得数值求积公式具有尽可能高的代数精度。
此时的代数精度是多少？
它是否是Gauss型公式？
[解]依次将代入求积公式，得到：
，即，解得，从而求积公式为，令代入得到：
，从而求积公式只具有3次代数精度，不是Gauss型公式。
第五章常微分方程数值解法（141-142）
1、就初值问题分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。
[解]由欧拉公式可知，即，从而
，又因为，，所以
再由，可知误差为
由改进的欧拉公式可知，
即，从而
2、用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长计算，并与准确解相比较。
[解]由改进的欧拉公式可知，又由，，，可得，从而
3、用改进的欧拉方法解，取步长计算，并与准确解相比较。
[解]由改进的欧拉公式可知
，又由，，，可得，从而
4、用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。
[解]由梯形公式可知，，从而，即，从而，又由可知，。
5、利用欧拉方法计算积分在点的近似值。
[解]令，则，从而令，利用欧拉方法得到：
，又由，得到：
6、取，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题：
[解]由四阶经典的龙格-库塔方法可知，，
又由可知，。
从而由可得：
精确解为。
7、证明对任意参数t，下列龙格-库塔公式是二阶的。
而，比较系数可知，所给龙格-库塔公式是二阶精度的。
8、证明下列两种龙格-库塔方法是三阶的：
[证明]在三阶龙格-库塔公式中，
（1）取，，，，，，。
即为所给方法，并且满足，因而具有三阶精度。
（2）取，，，，，，。
9、分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列问题：
，取计算，并与准确解
相比较。
[解]由可知，当使用二阶显式亚当姆斯方法时，
从而，
当使用二阶隐式亚当姆斯方法时，
故
10、证明解的下列差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。
，从而比较系数可得差分公式具有二阶精度，并且截断误差首项为。
11、导出具有下列形式的三阶方法：
所以，
从而若公式具有三阶精度，则必须有：
12、将下列方程化为一阶方程组：
[解]令，则，从而有，，再令，则初值问题为。
[精确解为]
[解]令，则，从而有，。
3）。
[解]令，，则，，从而有，初值为。
13、取，用差分法解边值问题。
[解]显然，令，及，代入得到：
，再由可知，
，解得。
14、对方程可建立差分公式，试用这一公式求解初值问题，验证计算解恒等于准确解。
[解]由差分格式可建立方程组。
15、取，用差分方法解边值问题。
[解]显然，，令及，代入得到：
又由可得，从而由得方程组为：
，可以解得。
第六章方程求根（163-164）
阅读材料：
一般的n次多项式方程称为n次代数方程。
对于3次、4次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太复杂。
至于5次以上的方程就没有现成的求解公式了。
代数方程可以说是最简单的非线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n次方程一般具有n个根。
一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数等超越函数，如，这样的方程叫做超越方程。
求解超越方程不仅没有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以判断。
超越方程与次代数方程一起统称为非线性方程，记作，其中是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它们的组合形式。
所谓方程求根，就是寻找一个，使得成立，这样的叫做方程的根（解），也叫做函数的零点。
若存在正整数m，使得，且，则称为的m重根。
当时，又称为单根，这时满足，。
对于一般的非线性方程，用直接方法得到它的精确解是很困难的，例如。
非线性方程的求解就是研究方程在给定初值的条件下，如何利用计算机运算得到方程真解的近似值x，使得对任意给定的精度，满足，此时称x关于是精确的。
对于具体的问题，首先要对函数加以初步的研究，判断出方程的根的个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。
如果选取得好，还可以把方程的根逐个分离，找出相应的有根区间。
二分法的特点是当有单根时具有收敛快的特点。
然而对方程有重根或复根的情况，二分法公式有时失效。
1、用二分法求方程的正根，要求误差。
[解]令，则，，所以有根区间为；
又因为，所以有根区间为；
，所以有根区间为；
取，
这时它与精确解的距离。
2、用比例求根法求在区间的一个根，直到近似根满足精度终止计算。
3、为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1），迭代公式
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