整理版中考数学专题4几何模型之隐圆问题含答案Word文档格式.docx

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6•如图5.在四边形ABCD中，・4B=/C=XZX若ZBAC=259,ZCAD=759•则ZBDC=_

ZDBC=•

7•定球射门.不考虑其他因素,仅考虑射点到球门肿的张介犬小时.张角越大，射门越好•如图6的正方形网格中，点A9B・C9D9E均在格点上，球员帝球沿CQ方向进攻，最好的射点在（）

B.点D或点E

C•线段DE（异于毘点）上一点D•线段CD（异于端点）上一点

如GE7.己知。

的査径，PQ是©

0的弦，PQ与不平行.R是PQ的中点.作PSI

AB,QTLAB,垂足分别为S、T（SHE,芥且ZS2?

r=60・，则孕的值磚于_・

9.如图&

若PA=PB・ZAPB=2Z*CB,AC与PB交于点D,且PB=4・PD=3,则AD•DC=

10・左平页直角坐标系中.己知点H（4,OXB（一6,0〉■点C是y箱上的一个动点.当ZBCA=

43。

时，点C的坐标为.

11,如图9,RtaBC中，ZC=90°

XC=3,BC=4,点D在血边上，点E是BC边上一点（不

与点以C重合），且DA=DE,则3的取值范匡是・

12•如图10,在平面直角坐标系的第一象很内有一魚B,坐标为⑵w）•过点〃作AB±

yfe9BC

丄x辭，垂足分别为儿C,若点P在线段肋上滑动（点P可以与点/、〃重合），发现使得Z0PC

=45-的位置有两个，则加的取直范圈为•

13.左锐坤△肋C中9AB=49BC=5fZACB=45Qf将△肋C绕点B按逆时针方甸贡转得到△A0C.（1〉如图11-1,当点C：

在线段C4的延长线上时，求ZCC凶的度数；

（2〉如图1卜2,连接心“CC\•若△如l的面积为4,求△（?

〃?

：

的面枳富

（3〉如图1卜3,点E为线段肋中点，点P是线段AC1.的动点，在3C绕点3技逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P：

求线段£

P：

长度的最犬值与最小值.

14•如刃，抛物线歹=一；

分一：

工十3与x帕交于人B两点（点4在点B的左侧〉，与y轻交于点

（1）求点A.B的坐标；

（2）若直线/过点E（4,0）,M为直线/上的动点，当以*、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线/的解析式.

15.5QS,直线j=-|x+3与x轴、〉•轴分别交于B、4两点，点P是线段OB上的一动点，若能

在斜边肋上找到一点G使ZOCP=90・,设点P的坐标为g0）,求加的取值范囲・

例1•【解^ab=ac=ad9

・B,C,Z）在以.4为21心,AB为半径的圆上,:

•乙CAD=2厶CBD.厶BAC=2/BDC、

•:

ZCBD=2ZBDC,ZBAC=449,•••ZCAD=2ZB&

C=8丁.

故答案为：

88-•

例2【解答】解：

如图所示：

由题亘根克直角三角形斜边上的中线尊于斜边的一半，得出P到刃点距凄始终为1.

则木棒EF的中点P左运动过程中的轨迹为分别以乂，B,C,D为回心，15!

为半径的弧，故所围成的图形的面积为：

矩形面积-4个型形面积=6-4x驾;

「=0一才（心）.

6-穴・

例3・【解苔】解：

连按CO9A/O,

VZCPO=ZCW=90,,

AC,MO9P9四点共Eh且CO为直径（E为圆心九

连按PM则PM为0E的一条弦，当为直経时PM最大.所以PM=CO=4时PJ/最大.即PJ=4・

例4【解答】解：

（1）以肋为访，在第一象頃内作尊边三角形肋C,以点C为圆心，SC为半径作0G交y抽于点Pi.

在优弧APiB上任取一点P,如GE1,则ZAPB=丄Z-4CS=lx609=30*•

•••便Z加=30・的点P有无歎个.畝答案为，无数.

（2）①当点P在〉*的正半粕上时，过点C作QG丄A3,垂足为G如031.

•••点4（L0）,点B（5,0）,.*.04=1,OB=5.

.AB=4.

•••点C为国1心.CGIAB.:

.AG=BG=^AB=2.

.OG=OA^AG=3.

ABC是等边三角形…・MC=BC=肋=4.

cg=VaC2-AG2=V42-22=2a^-

・••点C的坐标为<

3,2苗）.

过点C作CD一y轴，垂足为D.连按CP壮如391.

•••点C的坐标为（3,2V3）i:

・CD=3.OD=2>

/3.

VPbP：

0C与）轴的交点，:

・ZAPiB=ZAP：

B=30・.

•••CP尸CA=A,CD=39ADP2=J42.32=V7.

由smZ如违得：

当血

•••点C为圆心，CQ丄PiPh:

.PiD=PiD=^/7.

・p、（o,2V3•西.Pi（0,2V3W7）.

②当点P在y轴的负半轴上时，

同渥可得：

P3（0,・2^3•听〉•Pa（0,-2VW7）.

综上所述：

满足条件的点P的坐标有：

（0,2^3•衙人（0,2、/5十听入（0,・2>

/3・听〉.（0,•2岳听〉.

（3）当过点X.〃的0E与p紬相切于点P时，ZAPB最大.理由：

可证：

/APB=ZAEH,当Z加最大时，ZAEH最犬.

屡小即M最小时.厶最大•所以当图与［艳相切时，Z加最大・

①当点P在〉•轴的正半轴上时.

连按E4,作EH丄x轻，垂足为H.如图2・

V0£

与j；

轴相切于点P,:

・PE丄OP・

EH丄肋.OP丄OH,：

•ZEPO=ZPOH=ZEHO=9y.•••囚边形OPEH是矩形.:

・OP=EH,PE=OH=3・:

.EA=3.VZEHA=909,AH=2・瓦4=3.

A£

//=VeA2-AH2=V32-22=^5

AOP=V5:

・P（0,V5）.

②当点p在〉•紿的负半轴上时，同淫可得:

P（0,-V5）.

渥由，①若点P在〉•結的正半轴上.

左）轴的正半轴上任取一点"

（不与点P重合〉，连按A纽沏，交OE于点N.连按NA,如區2所示.

VZANB是MMV的外角，•••^ANB>

ZA\{B.

•厶APB=ZANB,:

•厶APB>

厶ASiB・

②若点P在〉•轴的负半轴上，

间理可证得：

ZAPB>

ZAXfB・

塚上所述：

当点P在J轴上移动时.厶APB有绘大值，此时点P的坐标为（0,V5）和（0,-V5）.

【巩固训练】答案

1•解:

v£

F-2■点G为EF的中点…・DG“,

•・・G是以D为圆心.以1为半径的21弧上的点，

作虫关于BC的对称点4,连按AD9交BC于P,交以D为E1心.

1为半径的圆于G,此时PAtPG的值最小，最小值为才G的长IAB■29AD-39AA9■4■ArD■59

.MG■才D-DG・5-】・4：

/.PA*PG的最小值为4：

故答案为4.

2•解：

如国所示点〃在以E为圆心以为半径的图上运动，当B\E关线时时.此时FD的值*小.

根据折直的性质，SEBF釜4EBE・•.Eff丄BfF,

・EB'

=EB,

•••E是M边的中点，肋=4,

.AE=EB"

=29

•••AD=6,

.DE=j6=，=2顶，

・・.BR=2顶-2.

3•解：

C在以4为E1心，以2为半径作K1周上，只有当0C与314相切（即到C点）时，ABOC绘小・

AC^290A^3f由勾股定理得：

0C-V5,

7ZBOA=XACO=90°

••Z50C+厶OC-90SZC.4O+厶OC・90S

・・ABOC=AOAC,

tanZBOC=tanZ.OAC

ocVs

AC2

随着C的移动，"

OC越来越大，

•••c在第一象限，:

・C不到汇轴爲即级C—.ta^OC耳,故答案为,

2•

4•解,如图所示,当PE//AB.

左RtlABC中，vZC-90°

FC・6,BC・8・

由期折的性质可知：

PF・FC・2,Z.FPE-ZC-906.•:

PEHAB■

/.ZPDB-90°

由垂线段最短可知此时"

有最小值.又•••朋为定值，

PD有最小值.

又•••厶ZACB^^ADF9:

.MFD5MBC.

•••PD・DF-FP・32・2・L2・

5•解，以川为圆心，/1B长为半包作HI,延长BA交64于F,连按DF.

•••FB是0/的直径，・・・"

DB=9Q°

■二BD=dBF、-DF'

=屈・

6.【解答】解：

法一：

9：

AB=AC=AD9

.zadb=^abd9zacb=zabc9zadc=zacd,

•••ZA4C=25・,ZCAD=159,

・ZACB=C180*-25*）「2=77.5*,ZDAB=ZDAC+ZCAB=\g,

ZADC=ZACD=（180s•75°

）4-2=52.5*,

AZADB=C180*・100，）十2=40*,

・ZBDC=ZADC・/ADB=525。

・40°

=12.5’,

ZDCB=ZDCA+ZACB=525・+77.5*=130"

AZZ>

3C=1803・ZDCB・ZBDC=\8L-130s-12.5°

=37.59••••"

DC=\25・,ZDBC=3"

・.

7.【解答】解：

连^BCfACfBD,AD,AEfBEf

己知儿B.DE四点共圆，同弧所对的圆亶角相等，m^ZADB=ZAEB9然后KI同孤对应的“31内危“大于13周理「圆外角“小于01周角，因而射门点在皿上时介最九射门点在D点右上方或点E左下方时角度则会更小.

故选，C.

8•【解签】锌，连结OP,OQ9OR,如05,

TA是P0的中点■:

・OR丄P0

•：

OP=OQ,•••ZPOR=ZQQR,

TPS丄肋.・・・ZPSO=ZPRO=9Q・,

•••点P、S.6R四点在以OP为直径的a±

・ZPSR=ZPOR,

同理可得ZQTR=ZQOR,:

•乙PSR=ZQTR.:

.ZRST=ZRTS9而ZSRT=609,

.HRST为等边三角形.•••ZRST=60・•ZRTS=6099

・ZRPO=ZRSO=6W,ZRQO=ZRTO=6W，:

・M）PQ为等边三箱形，

・PQ=OP.:

.AB=2PQ9•••匹=丄・故答案为丄.

AB22

9•解析：

本超主更考査三点共01判定和相交弦定理.

由刃=PB,"

PB=2乙ACB,可知，A,B,C三点芜固，E）心为P半径为PB・由梅交弦定理可知*AD・DC=（PB・PD）（PB-PD）=7

10•【解答】解，设线段B4的中点为E

T点戏（4.0人B—6.0）,:

.AB=1Q.E（・1.0）.

（1）如答图1所示，过点E在第二象刀作EP丄04且刃=丄43=5,则易知“PBd为垂素直

角三角形・Z朋4=90°

PA=PB=5>

/2；

以点P为引心，PA（或P5）长为半径作G）P,与y牠的正半璀文于点C,

VZBCA为。

P的E1局走，•••ZBC4=丄Z8刃=45・,即则点C即为所求・

过点P作PF丄丁雜于点F,^OF=PE=5,PF=1,

在RtAPFC中，PF=1,PC=&

\/2,由勾股定瑾得：

CF=7pc2TpP=7»

.OC=OF+CF=5+7=12,

•••点C坐标为（0,12）：

C2）如答B32所示，在第3至踐可以參觅

（1）作同样探作，同理求得）扮负半轴上的虑O坐标为（0,・12）.

综上所述，点C坐标为（0,12）或（0,・12）.

故答案为*（0.12〉或（6・12〉.

11•【解答】7RIA4BC中，NC=90・,AC=3,BC=4,

A^=^ac2+bc2=5,以Z）为El心,AD的长为半径甄0D

①如图1,当OD与万Ctfl切时，DE丄BC时，

设AD=x9则DE=AD=x9BD=AB・AD=5•心

ZBED=ZC=9Q・,ZB是公共角，

•••△BDEs△朋°

•••型史匕^—~9解險x=-^i

ABAC538

②如图2.当OD与0C相交时.若文点为B或C,贝UD=

s丄A41=4.••S^CBCX=—-:

（3）①如图1,过点〃作3D丄XC,D为垂足,:

WBC为锐矩三角形…••点D在线段AC±

9在RtASCD申.5D=5CXsin45t=

当卩在AC1.运动.3P与/C垂直的时候.AABC绕点B媒捷，使点P的对圧点P】在线段肋上时.EPi聂小,最小值为：

EPi=BP「BE=BD・BE=

②当P在XC上运动至点C,HABC绕点B贯转，便点P的灯应点Pi在线段AB的延上銭上时.EPl最大,最大值为*EP产BC・BE=2+5=1.

14.［解答】韬

（1）令y=0,即上孑上3=0,

解得口=・4,x2=2,

•"

、3点的坐标为/!

-4,OXB（2,0）.

（2）抛物线y=丄/』x+3的对称粧是直线k=・——=・1,

842X（峙）

即D点的横坐标杲•1,

S土cb="

^45・QC=9,

在Rtd4OC中，^C=^0A2f0C2=^42+32=5,设"

C刀中AC^l上的高为儿则有—C讪=9,解得*=垒・

如答罔1,在坐标平面内作直线平行于2C,且到AC的距蔑=力=¥

，这样的直线有2条，分别是h和h，则直线与对称轴x=・1的两个交点即为所求的点D・

设h交》紬于E,过C作CF丄h于尸，贝iJCF=/i=丄3,

・CE=—^-X=9

••s_sinZCEF*sinZXA"

一兀

设直线/<

c的解析式为y=Eb,将/（・4,0）,C<

0,3）坐标代入,

rk^

k_4,

•••直线AC解析式为y=丄"

直线h可以看做直线AC^下平移CE也度单位个长度单位）而形成的.

•••直经A的解祈式为＞=丄"

3-2=壬・1.

4242

则Di的纵坐标为2x（.1）・色=2-2.）.

4244

间孔直^AC向上平移刍个长厦址位得到匕可求得D（・1.空〉

综上所述•D点坐标为*Dj（-1>

J-）,D2（・1.互〉.

（3〉如答图2,以/方为直径作O氏05心为E过£

点作0F的切线，这样的切线有2条.连接FM过M作kN丄x轴于点N.

0）,B（2,0）,

.F（-1,0）,0F半径FM=FB=3・又TE（4,0）,

・FE=5,

在RtAMEF中，述=餉刁孑=4,sinZ.WF^=l,cosNMFE=』・55

在Rt△用MV中，A£

V=N£

F・sinZME=3x2=I^

^=^-cosZ.WF5=3xA=2,则av=l,

555

•••M点坐标为（±

歿）

直线/过M（土丄Z）.E（4,0）,

设直线/的解折式为y=kx±

b,则有

一4,

b=3

所以直线/的解析式为y=令+3

詼Z乎,和卜2

4k+b=0

同岂可以求得另一条切线的解析式为・3・4

综上所述，直线/的解析式为少=鸟+3或＞・=丄—3・

15.方法提示】令y=O求出点B的坐标■过点C作CD丄x箱于D.设点C的横坐标为a.

则ODn,PD=m-a,求出AOCD和MPD相似，刘用相似三角形对应边成比例列式表示岀m.然右求出m的最小值：

再根据点P在线段OB上判断出OC丄AB时.点P、B盍合，m圮大•然方即可写tBm的取值范團・

m的取值范围是3SmS4・

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