人教课标版高中数学选修21《命题及其关系》教学设计文档格式.docx
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（2）若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．
3．下列四个命题中，真命题是（）
A．a＞b，c＞d⇒ac＞bdB．a＜b⇒a2＜b2
C．
⇒a＞bD．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d
【知识点】命题的真假．
【解题过程】A．当a、b为正数，c、d为负数时不成立；
B．当a、b中有一个为0时不成立；
C．当a、b为负数时不成立；
D．正确．
【思路点拨】不等式的基本性质，常用举反例的方法．
【答案】D．
4．命题“若a>
0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）”的条件p：
______________，结论q：
______________．它是________命题（填“真”或“假”）．
【解题过程】条件“a>
0”；
结论“二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）”．
显然为真命题．
【思路点拨】命题条件标志性词为“若”，结论标志性词为“则”．
【答案】a>
0；
二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）；
真．
（二）课堂设计
教学过程设计
2．问题探究
探究一分析语句，理解命题
●活动①归纳提炼概念
请同学们随意说一句完整的话，每个小组可以派一名同学说，如：
（1）我是中国人．
（2）我家住在北京．（3）你吃饭了吗？
（4）两条直线平行，内错角相等．（5）画一个45°
的角．（6）平角与周角一定不相等．
找出哪些是判断某一件事情的句子？
（抢答）
学生答：
（1），
（2），（4），（6）．
教师给出命题的概念，并举例．命题：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析（3），（5）为什么不是命题．教师分析以上命题中，紧抓两个关键点：
一是“陈述句”，二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．
【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．
●活动②概念辨析，巩固概念
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子，每组再选一个同学说．（不要让说过的再说）
如：
（1）对顶角相等．
（2）等角的余角相等．（3）一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线．（4）如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．（5）当a＞0时，|a|=a．（6）小于直角的角一定是锐角．
在学生举例的基础上，教师有意说出以下两个例子，并问这是不是命题．
（7）a＞0，b＞0，a+b=0．
（8）2与3的和是4．
有些学生可能给予否定，这时教师再与学生共同回忆命题的定义，加以肯定，先不要给出假命题的概念，而是从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
【设计意图】通过概念辨析，加深对集合内涵与外延的理解，突破重点．
●活动③分析命题的构成，改写命题的形式．
例如：
“两条直线平行，同位角相等．”这个命题由哪些部分构成的？
分析此命题的构成．前一部分是后一部分成立的条件，后一部分是在前一部分条件下所得的结论．已知事项为“题设”，由已知推出的事项为“结论”．
定义：
从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
请同学们将下列命题写成写成“若p，则q”的形式．
①对顶角相等．
②两条直线平行，内错角相等．
③等角的补角相等．
以上三个命题的改写由学生进行，对②要更改为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．”提示学生注意：
题设的条件要全面、准确．如果条件不止一个时，要一一列出．如：
两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，可改写为：
“如果两条直线相交，而且有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．”
【设计意图】加深学生对命题形式的理解．
探究二分析命题，理解真、假命题
请同学们分析两个命题的不同之处．
（1）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
（2）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
相同之处：
都是命题．为什么？
都是对a＞0，b＞0时，a+b的和的正负，做出判断，都有题设和结论．
不同之处：
（1）中的结论是正确的，
（2）中的结论是错误的．
教师及时指出：
同学们发现了命题的两种情况．结论是正确的或结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：
真命题和假命题．
真命题：
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题．
假命题：
如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题．
注意：
（1）真命题中的“一定成立”不能有一个例外；
（2）假命题中“结论不成立”是指“不能保证结论总是正确”；
（3）注意命题与假命题的区别，如：
“延长直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．（4）命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真假命题，强调真假命题的大前提，首先是命题．
【设计意图】让学生理解真假命题的概念．
●活动②运用概念，判断真假命题．
例1请判断以下命题的真假．
（1）若ab＞0，则a＞0，b＞0．
（2）两条直线相交，只有一个交点．
（3）如果n是整数，那么2n是偶数．
（4）如果两个角不是对顶角，那么它们不相等．
（5）直角是平角的一半．
（1）若ab＞0，则a<
0，b<
0也成立；
（4）不是对顶角的两个角也可能相等，如同位角等．
【思路点拨】举反例．
（1）（4）都是假命题，
（2）（3）（5）是真命题．
总结：
怎样辨别一个命题的真假．
（1）实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．
（2）数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
（3）要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
【设计意图】让学生运用真假命题的概念判断命题的真假，巩固概念．
●活动③巩固基础，检查反馈
例2在空间，下列命题正确的是（）
A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行
【知识点】点线面位置关系、命题．
【解题过程】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．
【思路点拨】通过点线面的知识和命题的概念判断．
同类训练下列四个命题中，真命题是（）
A．
，
B．
C.
D．
【知识点】不等式的性质、命题．
【解题过程】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【思路点拨】通过不等式的性质和命题的概念判断．
●活动④强化提升，灵活运用
例3命题“若a>
0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）”的条件p：
________，结论q：
_________.它是________命题（填“真”或“假”）．
【解题过程】a>
0时，设a＝1，把（0,0）代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域．∴命题为真命题．
【答案】a>
0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）真
同类训练把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
（1）当
时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
（2）平行于同一平面的两条直线平行．
【知识点】一元二次方程根的性质、点线面的位置关系、命题．
【解题过程】根据命题的形式改写命题，根据一元二次方程根的性质、点线面的位置关系判断．
（1）命题可改写为：
若
，则mx2－x＋1＝0无实根．
因为当
时，Δ＝1－4m<
0，所以是真命题．
（2）命题可改写为：
若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．
因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．
●活动④介绍一个不辨真伪的命题．
“每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和”．（即著名的哥德巴赫猜想）
我们可以举出很多数字，说明这个结论是正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离“1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真假还不能做最好的判定．
【设计意图】让学生了解数学文化，激发学生的学习兴趣．
3.课堂总结
知识梳理
1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．命题是由条件和结论两部分构成，均可写成“若p，则q”的形式．
3．如果命题的条件通过推理可以得到命题的结论，这样的命题称为真命题；
如果命题的条件通过推理不可以得到命题的结论，这样的命题称为假命题．
重难点归纳
1．命题与真、假命题的关系．
2．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．
3．命题中的题设条件，有两个或两个以上，写“如果”时应写全面．
4．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．
（三）课后作业
基础型自主突破
1．下列语句中命题的个数为（）
①{0}∈N；
②他长得很高；
③地球上的四大洋；
④5的平方是20.
A．0B．1
C．2D．3
【解题过程】①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．
【思路点拨】理解命题的概念．
【答案】C．
2．若a>
1，则函数f（x）＝ax是增函数（）
A．不是命题B．是真命题
C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关
【知识点】命题真假的判断，指数函数．
【解题过程】当a>
1时，指数函数f（x）＝ax是增函数，故“若a>
1，则函数f（x）＝ax是增函数”是真命题．
【思路点拨】指数函数的单调性．
【答案】B．
3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α
【知识点】命题真假的判断，空间中点线面的位置关系．
【解题过程】验证排除法：
A选项中缺少条件m与n相交；
B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；
C选项中缺少条件n⊄α.
【思路点拨】空间中点线面的位置关系．
4．给定下列命题：
①若k>
0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>
b>
0，c>
d>
0，则ac>
bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是（）
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
【知识点】命题真假的判断，不等式，一元二次方程，平面几何．
【解题过程】①中Δ＝4－4（－k）＝4＋4k>
0，所以①为真命题；
②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；
③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；
④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.
【思路点拨】常见命题真假的判断．
5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是（）
A．a·
b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·
b＝a·
c，则b＝c
【知识点】命题真假的判断，向量．
【解题过程】A选项中可能有a⊥b；
C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·
c说明a·
（b－c）＝0，则a⊥（b－c）．
【思路点拨】向量的运算性质．
6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是（ ）
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【知识点】命题的形式．
【解题过程】该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．
【思路点拨】命题的条件和结论．
能力型师生共研
7．给出下列四个命题：
①若a>
0，则
>
；
0，则a－
b－
③若a>
④若a>
0，b>
0，且2a＋b＝1，则
＋
的最小值为9.
其中正确命题的序号是________．（把你认为正确命题的序号都填上）
【知识点】命题真假的判断，不等式．
【解题过程】①在a>
0两端同乘以
可得
，故①错；
②由于
＝（a－b）
故②正确；
③由于
－
＝
<
0，即
故③错；
④由
·
（2a＋b）＝5＋
≥5＋2
＝9，当且仅当
，即a＝b＝
时取得等号，故④正确．
【思路点拨】不等式的性质和比较大小的方法．
【答案】②④．
8．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μc.
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是（）
A．1B．2
C．3D．4
【知识点】命题真假的判断，平面向量的基本定理．
【解题过程】对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；
由平面向量基本定理知②正确；
对③，取值法
无论
取何值，向量
都平行于
轴，而向量
的纵坐标一定为4，故找不到这样一个单位向量
使等式成立所以③错误；
④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b和c就不存在．可举反例：
λ＝μ＝1，b与c垂直，此时必须a的模为
才成立．
【思路点拨】熟悉平面向量基本定理的几何意义．
探究型多维突破
9．已知函数f（x）＝|x2－2ax＋b|（x∈R），给出下列命题：
①若a2－b≤0，则f（x）在区间[a，＋∞）上是增函数；
②若a2－b>
0，则f（x）在区间[a，＋∞）上是增函数；
③当x＝a时，f（x）有最小值b－a2；
④当a2－b≤0时，f（x）有最小值b－a2.其中正确命题的序号是________．
【知识点】命题真假的判断，函数的单调性和最值．
【解题过程】由题意知f（x）＝|x2－2ax＋b|＝|（x－a）2＋b－a2|.若a2－b≤0，则f（x）＝|（x－a）2＋b－a2|＝（x－a）2＋b－a2，可知f（x）在区间[a，＋∞）上是增函数，所以①正确，②错误；
只有在a2－b≤0的条件下，才可能在x＝a时，f（x）取最小值b－a2，所以③错误，④正确．
【思路点拨】函数单调性的判断和最值的求法．
【答案】①④．
10．已知命题p：
lg（x2－2x－2）≥0；
命题q：
0<
x<
4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
【知识点】真假命题，不等式．
【解题过程】由lg（x2－2x－2）≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0.
解得x≤－1或x≥3.
故命题p：
x≤－1或x≥3.
又命题q：
4，且命题p为真，命题q为假，
则
所以x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为（－∞，－1]∪[4，＋∞）．
【思路点拨】函数的定义域的判断和不等式的解法．
（－∞，－1]∪[4，＋∞）．
自助餐
11．“红豆生南国，春来发几枝？
愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是（）
A．红豆生南国B．春来发几枝
C．愿君多采撷D．此物最相思
【解题过程】“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；
“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
【思路点拨】命题的概念．
【答案】A．
12．下面是关于四棱柱的四个命题：
①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．
【知识点】命题真假的判断，空间几何体．
【解题过程】②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．
【思路点拨】棱柱的概念．
13．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是________．
【解题过程】∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．
【思路点拨】空间中直线与直线的位置关系．
【答案】0．
14．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②如果α∥β，c⊂α，则c∥β；
③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.
其中真命题个数是（）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解题过程】①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；
②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c⊂α，∴c与β无公共点，∴c∥β，故②正确；
由c∥γ，c⊂β，β∩γ＝m得c∥m，同理可得c∥n，∴m∥n，故③正确．
【思路点拨】点线面的位置关系．
15．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．
（1）末位是0的整数能被5整除；
（2）余弦函数是周期函数吗？
（3）求证：
当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．
【知识点】命题真假的判断．
【解题过程】由命题的概念可知只有
（1）是命题且为真命题．
（1）是命题，真命题．
（2）、（3）不是命题．
16．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
（1）对角线相等的四棱柱是长方体；
（2）整数的平方是非负整数；
（3）能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．
【解题过程】分清命题的条件和结论．
【思路点拨】命题的形式改写．
（1）可写为：
“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．
（2）“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．
（3）“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．
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