（摘自一本高中数学竞赛辅导书《金牌之路》，2000年出版。
）
案例2一个圆台形物体的上底面积是下底面积的1/4，如果该物体放置在桌面上，下底面与桌面接触，则物体对桌面的压强是200帕。
若把物体翻转过来，上底面朝下与桌面接触，问物体对桌面的压强是多少？
（案例2选自人教版2002年“九年义务制教育三年制初中教科书”《代数》第三册）
图4圆台形物体
案例1分析：
案例1是典型的应试教育的成果，将简单的函数作反复的迭加、复合，制造人为的困难和障碍。
80年以来，数学课程在应试教育的社会氛围之下又增加了大量的偏、难、怪、异的训练内容和练习题。
这样的题形不符合新课标的目标要求。
案例2分析我们认为实例B作为函数概念教学的内容，这是一个构思很好的实例，它好在以下三个方面：
1）函数概念存在于问题背景之中
题目条件中没有明显地给出函数关系，但是要求学生首先判断所要求的变量“桌面压强y”应是“接触面积x”的函数。
2）体积—质量—压强；代数—几何—物理
强调了不同学科知识的联系，这些联系是让学生在“做数学”的过程中所亲历和感受到的。
利用几何中求体积的知识，学生能够发现当物体的重量（此时的重量实际上是由体积决定的）不变时，“桌面压强y”与“接触面积x”成反比，因此y是x的反比例函数。
3）问题可以进一步扩展
本题可以进一步作扩充：
问“桌面压强y”作为“接触面积x”的函数，与物体的形状是否相关，也就是说如果物体并不是规则的圆台时，本题的结论是否还成立。
这样的问题可以进一步启发学生对函数的本质有更加深入的认识。
4）把案例1与案例2对比不难看到：
函数教学中两种理念、两种结果。
案例1中的函数都是一些人工制造出来的很不自然的函数，烦琐迭加使得形式非常困难，但是实质上没有丝毫的创造性，新课程摈弃这样“繁而不难、缺乏启发性”的练习题。
而案例2中的函数概念生动形象，与学生的实际生活有一定的关系，解题过程既要求一定的想象力，又要求对函数概念有正确的理解。
新课程要求这样贴近学生生活与知识面的学习内容。
函数教学的一个非常重要的方面是让学生体会函数能够作为反映现实世界客观规律的数学模型。
《高中数学课程标准》在函数的教学建议中要求：
“在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界的变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用”。
6．选择高中数学课程中的某一具体内容，以此内容完成一项探究性教学设计，并对你的教学设计进行简单的点评分析。
教学设计：
平方差公式“探究式”教学。
象整数的算术演算中存在某些“缩算法”一样，代数式的演算中同样存在“缩算法”，而这些“缩算法”依赖一些形式简便的乘法公式，这些乘法公式由来简单，但是灵活运用它们，可能会使复杂的代数式运算变得简单快捷。
通过直接的计算，同学们不难发现下面的等式：
根据全面所叙述的理由，我们把上面这些等式称为乘法公式。
如果要问：
是否除了上面这些公式之外另外还存在其它更多的乘法公式呢？
只要能够在实际中使用方便，我们并不排除还存在其它乘法公式的可能。
例如：
下面是一些应用举例（省略），其中既包括代数式乘法的应用，也包括数字乘法的应用。
例如：
98×102=10000-1=9999
数字乘法的应用说明“乘法公式的使用”的确与整数的缩算法有共同之处。
下面介绍一则有关“平方差公式”的故事：
美国北卡罗莱纳大学教授CarlPomerance是一位当代着名的计算数论家。
Pomerance回忆中学时代曾经参加一次普通的数学竞赛，其中有一道题是分解整数8051。
Pomerance没有采用常规的因数检验法，从小到大逐个验证，由2到
的素数，哪些能够整除8051。
其实这样做并不困难。
象所有爱动脑筋孩子一样，Pomerance力图寻找一个简便算法，更快捷地发现8051的因数，但是他没有能够在规定的时间之内完成任务，他失败了。
事实上，存在简捷的分解方法：
但是，失败并没有使这位未来的数论家放弃对问题的进一步思考。
事后Pomerance向自己提出下面一个非常有趣的问题。
Pomerance问题：
是否一个能够分解的整数必定是两个整数的平方差？
上面问题的答案是肯定的，也就是说，我们有下面的定理。
定理每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于1的整数之积。
案例评述：
在本案例中，我们既没有象现在大多数“新课程”中所采用的形式主义的“观察—发现、归纳—猜想”那样，列出事先设计好的一串代数等式或一串精心组织的数字等式，然后让学生“自主发现”，并在此长长的过程之后，再引出“乘法公式”。
我们的观点恰恰相反，我们认为“乘法公式”与普通的代数式乘法并无太多的差别，能否把一个特定的代数式乘法等式称为“乘法公式”，这仅仅根据它的具体“可应用性”。
我们承认，除了我们所列出的乘法公式之外，可能还存在其它方便应用的乘法公式，例如：
事实上，我们把上面的等式称为“欧拉恒等式”，欧拉恒等式还有更多、更复杂的形式。
这样，我们把学习“乘法公式”的重点不是放在概念来源以及公式本身的推导上，而是把学习重点放在公式的“可应用性”上。
本案例中的“自主探究”是以一位数学家真实的故事而引出的，故事之后，我们介绍了与“乘法公式”密切相关的“Pomerance问题”，并通过数学家Pomerance之口，导出了一个多少有些使人感到意外的数学结果（定理）。
我们认为，这样的结果对学生的启发性远远胜过案例4中所列的一串“数字运算等式”。
自主探究应当采用生动活泼、真正发人深思的形式，教师与教材编写者应该不断研究、不断改进教学的思想方法，创建富有个性特点的“发现法”教学方法。
7．以实际的教学案例分析说明高中数学新课程的教学观。
《普通高中数学课程标准（实验）》要求：
一方面保持我国重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。
另一方面，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。
例如，高中数学课程增加“算法”内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能。
同时，应删减烦琐的计算、人为的技巧化难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基”异化的倾向。
强调数学的本质，注意适度形式化。
数学课程教学中，需要学习严格的、形式化的逻辑推理方式。
但是数学教学，不仅限于形式化数学，学生还必须接触到生动活泼、灵活多变的数学思维过程。
要让学生追寻数学发展的历史足迹，体念数学的形成过程和数学中的思想方法。
教师应该把高度严格的学术形态的数学转化为学生乐于思考的、兴趣盎然的教学形态。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求：
“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教师应该激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”
结合自己所熟悉的实际的教学案例对新课标的上述教学理念和要求加以分析。
8．你能否发现欧拉多面体定理是三角形内角和定理的自然推广，详细说明这样的推广方法，并由此了解初等数学与高等数学之间并不存在绝对的界限。
欧拉多面体定理V+F=E+2.
多面体的欧拉（Euler）定理是一个很好的实例。
欧拉定理断言，简单（单连通）多面体的顶点数V、边数E与面数F满足关系V＋F=E＋2。
这个在中学立体几何中显得有些独特的定理最初是出于什么考虑而获得的呢？
平面几何中“三角形内角和为知”这个定理给我们留下的强烈印象是：
它不依赖于三角形的量度性质（形状和大小），可以把它看成三角形的一个特征性质。
与此相关的是凸n边形的内角和：
只与边数有关。
由此产生的一个自然类比的问题是：
多面体平面角的和是否也具有这种美妙的性质呢？
答案是肯定的。
解法如下：
采用两种不同方法计算（单连通）多面体的平面角总和。
方法1（立体法）：
设想把多面体压缩（投影）到它自身的一个面上，这种压缩可以改变多面体各条边的长度，但不改变多边体每个面的边数。
单连通多面体平面角的立体算法
设已知多面体的F个面分别是边数为S1，S2，…，SF的多边形，于是多面体平面角的和∑=（S1－2）π＋（S2－2）π＋…＋（SF－2）π=（S1＋S2＋…＋SF）π－2πF=2πE－2πF=2（R－F）π。
方法2（平面法）：
假定底面是一个r边形，则多面体投影在底面内部的V－r个顶点的平面角的和为2（V－r）π。
底面多边形内角和是（r－2）π，投影后所有面的内角总和为2（V—r）π＋2（r－2）π=2（V－2）π。
投影过程保持原多面体每一个面的内角和不变，因而总和不变，即∑=2（V—2）π。
于是2（E－F）π，V＋F=E＋2。
定理得证。
方法评述到现在为止我们仅仅求助于简单的多边形内角和的计算就证明了欧拉定理。
证明方法从形式上看是构造性的。
从这个意义上我们可以把欧拉定理看成三角形内角和定理的一个平行推广。
但是从多面体到其中一个平面的投影方法具有独特的启示性。
由于上面方法的启发性，可以把问题导向一个全新的角度。
欧拉定理实际上等价于下面的平面图问题。
如果把平面图中的每个因看作平面图的一个面，那么有下面的定理：
连通的平面图V—E＋F＝1。
上面这一想法最终将导致代数拓扑学中的单复形概念以及由此衍生出来的同调群理论。
多面体的欧拉定理最终将推广成为拓扑学中的极其重要的关于欧拉特征的Euler－Poincaré定理。
9．问：
三角形边长定理与勾股定理有什么关系？
从这样的关系中你了解到数学知识之间存在怎样的密切关系？
我们首先不难证明下面的定理：
定理设?
ABC三边长a>b≥c，则
（1）b+c>a（三角形两边之和大于第三边）；
（2）存在实数s>1使
；
（3）?
ABC是锐、直、钝角三角形当且仅当s>2、s=2、s<2（分别）。
证明
（2）因为b/a，c/a<1，故指数函数
是减函数，而
是增函数。
，但当s>
时
<1/2，
。
故存在实数s>1使
。
（3）若s>2，则
=
=
故
，于是cosA>0,A是锐角。
但A是?
ABC的最大角，因此ABC是锐角三角形。
同样地若s<2，则ABC是钝角三角形。
而s=2时当然ABC是直角三角形。
从上面的定理容易发现三角形边长定理与勾股定理之间的密切关系：
由定理看到存在实数s>1使
使得?
ABC是锐、直、钝角三角形当且仅当s>2、s=2、s<2（分别）。
这个定理将“三角形两边之和大于第三边”、“勾股定理”及“锐、直、钝角判定定理”统一起来。
由此可见表面上看起来难以联系在一起的两个数学问题之间居然存在如此密切的联系，现代数学中还有更加丰富的结果说明不同数学问题之间令人难以置信的关联，也是现代数学令人神往的地方。
10．从若干方面论述教师知识结构对于高中数学课程标准的适应性问题。
新课标对教师的知识结构提出了新的要求，系列3、4的选修课程涉及大量的以往高中数学课程中没有的知识。
对称与群，欧拉公式与必曲面分类，三等分角与数域扩充，初等数论与密码，球面几何，矩阵与变换，统筹法与图论，等等。
这些知识虽然都是大学数学专业能够覆盖的，但是如何在中学阶段、在中学生的知识背景和理解能力的条件之下实施课程教学，这是非常值得研究和探讨的问题。
越是复杂高深的知识在知识背景比较浅近的人群之内传播，对于教师本人在知识理解和讲授方法方面的要求越高。
从这个意义上说，对中学生讲授高等数学比在大学对数学专业的学生讲授高等数学，教师所面临的困难更大。
另外，新课程的教学法提倡启发式、探究式教学，这样的教学方式也对教师的知识和能力提出了更高的要求。
我们认为教学中的探究与真正的数学研究没有本质的区别，我们难以想象完全缺乏研究能力的教师能够启发学生进行探究性学习。
11．用教学实例说明直观几何在中学几何课程中的地位和作用。
几何的直观性是一个有目共睹的事实，由于几何的直观性，使得几何在数学中（即使在数学家正在研究的高深的数学中）具有非常重要的地位。
下面我们引用当代伟大的数学家MichaelAtiyah（1929—，英国皇家学会会员，法国科学院、美国科学院、瑞典科学院外籍院士，菲尔兹奖获得者）的话：
现代数学与传统数学的差别更多地是在方式上而不是在实质上。
本世纪的数学在很大程度上是在与实质上具有的几何困难作斗争，这些困难是由于研究高维问题而产生的。
集合直观仍然是领悟数学的最有效的渠道，应当在各级学校尽可能广泛地利用几何思想。
现在各国中学几何课程中都加入了直观几何的内容。
学生能够在直观几何课中遇到引人入胜的难题，例如，种种迷人的折纸与拼图游戏，观察和实验是直观几何的主要内容。
学生能够通过生动的、富有想象力的活动，发展自己的空间想象力；通过实实在在的动手操作，了解什么是几何变换；通过折叠、拼合建立关于对称的直观概念。
观察、实验、操作、想象等认知活动在直观几何中以形形色色、丰富多彩的方式表现出来。
几何图形是帮助我们进行数学想象的最有效的工具。
本来，数学中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的对象是难以思考的，直观的几何图形是我们最容易利用的数学形象。
因此，直观几何不但能够帮助初学者掌握基础知识，也能够帮助人们进行真正的数学研究与数学创造。
直观几何并不仅仅停留在直观操作的层面，经过教师的细心引导，直观几何中也可以包含丰富多彩的、严格的逻辑推理。
12．你能否理解代数中的模式直观，以实例说明。
模式直观是一种比图形直观更为广泛的直观思维途径。
模式直观并不是如许多人所想象的那样，“直观”离不开几何图形。
模式直观是一种在大多数场合不能利用几何图形并借助于视觉形象所产生的对于事物之间逻辑关系的一种直接的、形象的推断和理解。
有时模式直观表现为人们对复杂过程所发生的程序或秩序的理所当然的了解和理解。
在上面的证法2中我们把“从n个元素的集合中取m个元素的过程分解为两种绝然不同的取法程序，其中一种在所取的m个元素中不含固定元素a，另中一种在所取的m个元素中含固定元素a，这样合在一起就是从n个元素的集合中取m个元素的所有可能的情形”。
证法2的合理性建立在这种“程序分划”的模式直观之上。
一个非常典型的模式直观的实例是关于组合公式
（m，n?
2）的证明。
证法1：
证法2：
在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。
一定不取a，共有
种取法；一定取a，共有
种取法，加起来共
个取法。
容易看出证法1依赖于组合符号
的定义及烦琐的数字计算，是一种对发现公式本身丝毫无助的纯验证法。
而证法2直观形象，通过这种途径我们不但能够证明公式，而且这是一种发现公式的真正途径。
可是，令人不可思议的是，传统的教学观点甚至认为证法2不能算作逻辑证明，不少旧教材仅仅把证法1作为该公式的证明，而把证法2作为对公式的一种“直观理解”。
现在我们暂时不对这些有分歧的观点做出过多的判断和评论，关于证法2是否是真正的数学证明这个问题，读完下文之后读者一定能够自行判断。
13．试述数学文化的含义。
数学文化是指一个人通过某种特定的学习途径获得一定的数学知识之后，所表现出来的特有的行为准则、思想观念及对待事物的态度.数学文化是由数学的思想、知识、方法、技术、理论等所辐射出来的能与相关文化领域结合为一体的一个具有强大精神与物质功能的动态系统.
数学文化包括以下几个方面.
（1）知识成分:
包括数学理论知识、数学问题、数学语言等.
（2）能力因素:
包括数学应用能力、将问题通过适当途径而数学化的能力、逻辑论证能力、计算能力、问题解决能力、数学表达能力等.（3）数学观念:
包括数学思维方式、思想观点、情感态度、价值观念.
虽然数学文化的内容涵盖了一个人数学修养的各个方面，但是它更强调当一个人的数学知识与其它各个领域的知识能力相融合之后所表现出来的综合素质.
14．下面列举5个长期困扰中小学学生和教师的数学问题，请选择其中1-2个加以分析研究，讨论如何在数学课程中更加恰当地解决此类问题，以教师教学中的探究引导学生进行数学问题的探究与思考。
1）为什么+=而
?
2）为什么“负负得正”？
3）为什么……<1不正确？
4）算术运算中为什么“先做乘除而后做加减”？
5）虚数单位i=
还是i=
？
15．试列举两位在近代数学发展过程中发挥重要作用的数学家，并简述他们对人类数学发展的主要贡献。
●开启近代数学的两位最重要的代表人物是法国数学家笛卡儿（R.Descartes,1596—1650）与费马（P.deFermat,1601—1665）。
由笛卡儿与费马开创的解析几何采用坐标系与求解代数方程的方法解决几何问题，从此以后几何与代数能够结合在一起，使得欧几里德式的灵活应变的几何推理方法得到重大的改观，而且更加重要的是人们具备了研究“变量代数”的有效方法，为随之而来的微积分产生
创造了条件。
费马还是一位数学中的“问题大师”，费马解决了一系列数论问题，同时还提出了许多影响现代数学研究的重要猜想。
1637年由勾股定理而引发的着名“费马猜想”困惑了人类整整三个半世纪，直到1995年才由美籍英国数学家AndrewWiles解决。
●微积分理论的创立是近代数学最重大的成就之一，其标志性的着作是出版于1687年牛顿（IsaacNewton1642
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