数学建模地面搜索问题新解Word文档下载推荐.doc
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在其它场合也常有类似的搜索任务。
在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：
制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。
通常，每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。
队伍中还有一定数量的卫星电话。
GPS可以让搜索人员知道自己的方位。
步话机可以相互进行通讯。
卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。
下面是一个简化的搜索问题。
有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×
7200米，需要进行全境搜索。
假设：
出发点在区域中心；
搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；
每个人搜索时的可搜索半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；
不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。
每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。
搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。
每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。
现在有如下问题需要解决：
1．假定有一支20人一组的搜索队伍,拥有1台卫星电话。
请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。
按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少?
能否在48小时内完成搜索任务?
如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。
2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。
每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。
按照你的搜索方式,搜索完整个区域的时间是多少?
二问题的分析
分析题中数据，首先把20人列队，摆成一排，看成一个搜索带，因为每个人的可探测半径为20米，所以这个队伍的探测长度是800m，探测宽度是40m（图1），纵队行进搜索每秒可以探测面积，当20个人并排搜索的时候（）用的时间显然是最少的,所以有以下公式：
。
代入数据计算有：
所以：
这个问题的解的极限是46.67小时，不可能比这个时间再小了。
也就是说要在48小时内完成搜索，减少空走时间很重要。
另外一个就是拐弯问题了，我们要想办法使得拐弯对完成时间的影响尽量小，尽量减少搜索重复的区域。
而且我门所选择的路线尽量不要重复，这样选择出来的路线肯定是最好的、最优的。
问题二和问题一的实质是一样的，也是需要解决空走时间最小的问题，所以解决了问题一，第二个问题即可迎刃而解。
三问题的假设
1.步话机的通讯半径为1000米，当某人搜索到目标时，我们可以采取每个相邻人员之间通过步话机进行“接力式”信息传递的方法，达到及时向组长报告的目的；
2．每位搜索人员均能严格按照已规定的路线完成任务。
3.搜索人员在执行任务时所配有装备设施都完好；
4.搜索时不考虑环境等因素的影响；
5.救助人员救助时间等略去不计；
6.搜索人员与组长的通讯时间不算在搜索时间内；
7.搜索人员在执行任务过程中，吃饭、喝水、休息等时间略去不计；
四符号的说明
搜索时平均行进速度
不搜索时平均行进速度
t1
问题一中20个队员搜索前排开队形和搜索后集结的时间
t2
扫角时间
t3
一个队员搜索一个小正方形（40*40m）转向的最短时间
t4
20个队员搜索时外拐的时间
t5、t11
内拐时间
t6
问题一中1号队员搜索总时间
t7
问题二中20个队员搜索前排开队形的时间
t8
问题二中20个队员搜索后队形集结的时间
t9
问题二中20号队员到达最后一个800*800m小方格前搜索总时间
t10
10个队员搜索前排开队形和搜索后集结的时间
t12
10个队员外拐的时间
t13
10号队员到达最后一个800*800m小方格前搜索总时间
t14
问题二中20号队员到达集结点搜索总时间
t15
10号队员到达集结点搜索总时间
五、模型建立与求解
5.1问题1第一问模型一的建立与求解
由第一问的分析可得，建立数学搜索模型
以原点（中心点）0为出发点，以我们把搜索路径建立成为如图1所示的路径图，沿着图1搜索路线进行搜索，得出算法并建立数学模型。
图一
在搜索区域中，利用初等数学知识，列出时间算法，首先可以计算出20个队员搜索前排开队形和搜索后集结的时间均为t1=（800-20）/1.2*60min=11min
则扫角时间为：
由题一可知，需搜索的面积为11200米×
7200米=8064×
104平方米，一个队员的搜索半径为20米，若将上述矩形区域划分成40×
40的小正方形，共有50400个小正方形，20个队员，平均每个队员要搜索2520个小正方形。
直穿一个下正方形用时为40/0.6s
则一个队员搜索一个小正方形转向的最短时间为t3=40/0.6+t2=87.38s
外拐时间t4=39*40/0.6+t2=2620.71s
内拐时间t5=87.38s
1号队员：
内拐数19；
外拐数21。
直穿数为86。
20号队员：
内拐数21；
外拐数19。
则1号队员最后到达集结点。
1号搜索用时t6=86*800/0.6+19*t5+21*t4+2*t1=47.967h<
48h
则在48小时内20个队员可以完成搜索任务，无需加人。
我们有理由相信，我们这条路径因该是比较快的。
5.2问题2模型二的建立与求解
问题二中搜索队伍人数增加到50人，拥有三台卫星电话，需要分成三组来搜索。
我们将这50个人分成20人，20人，10人的三个组，因为三个组的人数不平均，为了使搜索整个区域耗时最短，那么首要解决的问题就是怎样将区域划分得合理，考虑到有两组的人数是相同的，因此，在划分区域的时候就考虑将这两个组划分为对称的区域，并且，20人组的区域要是10组的区域的2倍左右。
基于这些因素的考虑，我们对区域的划分如下图：
两边对称的区域分别是两个20人组的搜索区域，中间小方格区域就是10人组的搜索区域。
区域一和区域三是对称的，在行进路线上两区域相同。
则在制定行走路线时，依然要考虑的是尽量减少重复路线和空走路线。
根据这些因素，我们设计了如下图所示的行进路线：
中间三个圆圈分别为三个队的起点
由于两个20人组的区域和行走路线都是对称的，因此，我们之需要计算10人组的行进时间和一个20人组的行进时间，其中，这两个组中时间稍长的那个时间就是完成总任务的时间。
首先，计算20人组的搜索时间，算法和问题一中的算法一样。
20个队员搜索前排开队形的时间为t7=（800+400-20）/1.2s=983.33s
20个队员搜索后队形集结的时间为t8=t1=11min
由解答问题一可知
扫角时间为：
一个队员搜索一个小正方形转向的最短时间为t3=40/0.6+t2=87.38s
到达最后一个800*800m的小方格前
内拐数5；
外拐数2。
直穿数为43
内拐数2；
外拐数5。
20号搜索用时t9=43*800/0.6+2*t5+5*t4+t7=71594.973s=19.89h
因为完成总的搜索任务的总时间取决于时间最长的人时间，而通过计算，20号队员花费的时间最长（其他中间的人的时间在上面这两个时间内之间）。
所以，这20人组搜索完到达最后一个800*800m方格前用时为19.89h。
然后，计算10人组达最后一个800*800m方格前所耗费时间。
10个队员搜索前排开队形和搜索后集结的时间均为t10=（400-20）/1.2s=316.67s
扫角时间为t2
10个队员内拐一次的时间均为t11=t5=40/0.6+t2=87.38s
外拐时间t12=19*40/0.6+t2=1354.05s=0.376h
外拐数17。
直穿数为64
10号队员：
内拐数17；
则10号队员最后到达最后一个800*800m方格前。
10号搜索用时t13=64*400/0.6+17*t11+19*t12+t10=70195.746s=19.50h
对比10人组和20人组到达最后一个800*800m方格前的时间可知
20人组到达最后一个800*800m方格前的时间t9=19.89h大于10人组到达最后一个800*800m方格前的时间t13=19.05h。
则我们组方案设定让10人组搜索最后一个800*800m的小方格。
10人组搜索最后一个小方格：
1号内拐数为2，外拐数为2。
10号内拐数为2，外拐数为2。
则10人组最后搜索完区域二总用时为t14=t13+2*t11+2*t12+t10=20.38h
20人组在最后一个800*800m的小方格内不进搜索（也不扫角），因区域一和区域三对称，则20人组搜索完区域一和区域三的总用时相同。
20人组在搜索总用时t15=t19+（800+800）/1.2+t8=20.44h。
因为20人组完成任务的总时间为20.44小时，10人组完成任务的总时间为20.38小时。
因此，搜索完整个矩形区域耗费的总时间为20.44小时。
六、结果分析
在整个问题分析计算过程中，我们忽略了较多的影响因素。
在问题1的第二个小问中，采用了排除的方法依次进行检验，在检验中并没有很具体的路线图，而是计算最大可优化距离的方法来近似计算可行性，虽然属于近似计算，待由于计算中带入的是理论上最大可优化的时间，但实际中存在重复，所以实际中远远不可以达到那个不算重复的理论值，所以计算的结果可信度较高。
同时还由于忽略了环境因素、地理形式以及人为因素的影响，使所有的所搜几乎都是在理想状况中进行，因此就可能导致计算结果与现实存在较大的误差，此方法虽做不到完全准确，但是从我们所计算的结果来看，与题目所给的数据还时比较接近，因此上述方案仍具有可行性。
在问题2中，采用了人员分组进行活动，将50个人分别分在一、二、三3个不同的区域执行任务，由于三组之间1000米通讯有效范围的限制小，使得设计更加灵活，计算时我们采用最小面积加上重复面积的方法计算，先画出大致的路线图，再根据总时间相等列出方程对未知量加以约束，最后求出最优解来，这种方法大大减少了在设计具体路线上所花费的时间，而是根据具体的理论计算来算出路线图，因为此种方法有一定的理论依据，所以在计算中更为精确比起问题一来说更加可靠；
为了方便计算，在计算中我们设定区域一和区域二对称，这样设定，结果可能也会受到一定的影响，但是计算得出的结果还是具有一定的使用性。
七、模型评价与推广
7.1模型评价：
模型的优点：
1、此搜索方案以20人视为一个整体，给出了一个详细的行进计划和搜索流程图，通俗易懂，可操作性强，且整个搜索过程所需时间最少，同时也最大程度地减少了重复路径，提高了搜索人员间互动率，总搜索时间为47.967。
2、本模型在建立的过程中应用了多种方法来求最优的搜索时间，具有一定的推广性。
3、本模型在现实基础上建立与形成，具有实用性普和普遍适用性。
4、运用比较法来推出最优模型；
5、模型结构紧凑，简单明了，通俗易懂。
模型的缺点：
本模型并不是用软件求解出来的最优解法,对其解法的优越性,无法明确的证明出来。
7.2模型的推广
1．本题模型是初等数学知识，将定性问题进行定量分析，具有实际的应用价值，可直接应用到农业、矿业等各种部门；
2．该模型对多个评价目标进行评价，可推广到卫星搜索定位、雨水采集等评价
3．推广到人员定位、山地采点、勘测等。
八、参考文献
1王国艳、谢海艳、胡毛毛，高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文2008
2方向、安瑞涛、陈永新，高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文2008
3刘素蓉、刘杰能、王玲、罗飞飞，地面搜索模型的建立与分析科技信息2008年第31期
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