思维特训十二 旋转与坐标Word格式.docx

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图12－4

A．（－4，2）B．（－2，4）C．（4，－2）D．（2，－4）

4．如图12－5，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）

图12－5

A．（1，1）B．（1，5）C．（1，2）D．（1，4）

5．2017·

南宁如图12－6，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°

，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转

2017次后，点P的坐标为．

图12－6

6．将边长为2的正方形OABC如图12－7①放置，O为原点．

（1）将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°

时，如图②，求点A的坐标；

（2）如图③，将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°

时，求点B的坐标．

图12－7

7．如图12－8，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO

绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，记旋转角为a.

（1）如图①，若a＝90°

，连接AA′，求AA′的长；

（2）如图②，若a＝120°

，求点O′的坐标．

图12－8

8．如图12－9，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°

得△A′B′C，已知点A的坐标为（a，

b），求点A′的坐标．

图12－9

类型二函数图象的旋转

9．已知：

一次函数y3＋3.

＝－4x

（1）设它的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，求点A，B的坐标；

（2）将直线AB绕原点O逆时针旋转90°

，求旋转后的直线所对应的函数解析式．

10．如图12－10，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋12交x轴，y轴于A，B两点，点C在线段AB上，且点C的纵坐标为6，点D在线段OC上，且点D的横坐标为2.

（1）求直线AD的解析式；

（2）直线OC绕点O逆时针旋转90°

，求出点D的对应点D′的坐标．

图12－10

11．如图12－11，抛物线C1是二次函数y＝x2－10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O，A1；

将C1绕点A1旋转180°

后得抛物线C2，交x轴于点A2；

再将抛物线C2绕点A2旋转180°

后得抛物线C3，交x轴于点A3；

如此反复进行下去……

（1）抛物线C3与x轴的交点A3的坐标是多少？

抛物线Cn与x轴的交点An的坐标是多少？

（2）若某段抛物线上有一点P（2018，a），试求a的值．

图12－11

3

12．如图12－12，抛物线l1：

y＝1（x－m）2＋n（m＞0）的顶点为A，与y轴交于点B，将

抛物线l1绕点O旋转180°

，得到抛物线l2，抛物线l2的顶点为C，与y轴交于点D，其中点A，B，C，D中的任意三点都不在同一直线上．

（1）若点A的坐标为（3，1），则抛物线l1的解析式为，抛物线l2的解析式为．

（2）在

（1）的条件下，抛物线l1的对称轴上是否存在一点P，使PC＋PD的值最小？

若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

1

（3）若抛物线l1：

y＝3（x－m）2＋n（m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是

正方形，求m，n的值．

图12－12

典题讲评与答案详析

1．B[解析]∵A（3，0），B（0，4），

∴AO＝3，BO＝4，

∴AB＝32＋42＝5，

∴AB＝AB′＝5，故OB′＝8，

∴点B′的坐标是（8，0）．

2．A[解析]如图，过点C′作C′D⊥x轴于点D.由题意得∠C′OD＝45°

，所以∠C′OD

＝∠OC′D，所以OD＝C′D.因为OC′＝OC＝OA＝2，且OC′2＝OD2＋C′D2，所以OD＝C′D

＝2，所以C′（2，2）．

3．B[解析]如图，在网格图中，可以利用OB是4×

2矩形的对角线，绕原点逆时针旋转90°

后，OB1是2×

4矩形的对角线，可找到点B1的位置，从而得到点B1的坐标为（－2，4）．

4．C[解析]如图，CC′和AA′的垂直平分线交于点P，则点P即为旋转中心，∴P点坐标为（1，2）．

5．（6053，2）[解析]第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次

P4（13，2），第五次P5（17，2），…，发现点P的位置4次一个循环．∵2017÷

4＝504……1，点P2017的纵坐标与点P1相同为2，横坐标为2017×

3＋2＝6053，

∴P2017（6053，2）．

6．解：

（1）如图①，过点A作x轴的垂线，垂足为D，则∠ADO＝90°

.

∵旋转角为60°

，

∴∠AOD＝90°

－60°

＝30°

∴AD

＝2AO

＝1，

∴DO＝AO2－AD2＝3，

∴A（－3，1）．

（2）如图②，连接BO，过B作BD⊥y轴于点D.

∵旋转角为75°

，∠AOB＝45°

∴∠BOD＝75°

－45°

∵∠A＝90°

，AB＝AO＝2，

∴BO＝22，

∴在Rt△BOD中，BD＝2，

∴OD＝6，

∴B（－2，6）．

7．解：

（1）∵点A（4，0），点B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3.

在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5.

根据题意，知△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转90°

得到的，由旋转的性质可得∠A′BA

＝90°

，A′B＝AB＝5，

∴AA′＝52.

（2）如图，根据题意，由旋转的性质可得∠O′BO＝120°

，O′B＝OB＝3，

∴∠O′BC＝60°

过点O′作O′C⊥y轴，垂足为C，则∠O′CB＝90°

∴∠BO′C＝30°

∴BC13

＝2O′B＝2，

∴OC＝OB＋BC9

＝2.

由勾股定理得O′C33O′的坐标为9．

＝2，∴点（2，2）

8．解：

过点A作AM⊥y轴于点M，过点A′作A′M′⊥y轴于点M′，如图．∵将△ABC

绕点C（0，－1）旋转180°

得△A′B′C，

∴AC＝A′C，

而∠AMC＝∠A′M′C，∠ACM＝∠A′CM′，

∴Rt△AMC≌Rt△A′M′C（AAS），

∴AM＝A′M′，CM＝CM′.

∵C（0，－1），点A的坐标为（a，b），

∴AM＝A′M′＝－a，CM＝CM′＝－1－b，

∴M′O＝－1－b－1＝－2－b，

∴点A′的坐标为（－a，－2－b）．

4x

9．解：

（1）∵一次函数y＝－3＋3的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，

∴当y＝0，有03＋3，解得x＝4，

∴A（4，0），

当x＝0时，有y＝3，

∴B（0，3）．

（2）点A（4，0）绕原点O逆时针旋转90°

得到的对应点为A1（0，4），点B（0，3）绕原点O

4

逆时针旋转90°

得到的对应点为B1（－3，0）．设旋转后的直线所对应的函数解析式为y＝kx

⎧4＝b，

⎧⎪k＝，

＋b（k≠0）．依题意有⎨

解得⎨3∴旋转后的直线所对应的函数解析式为y

＝3x＋4.

⎩0＝－3k＋b，

⎪⎩b＝4，

10．解：

（1）∵直线y＝－2x＋12交x轴，y轴于A，B两点，∴A（6，0），B（0，12）．

∵点C的纵坐标为6且在直线AB上，

∴点C的横坐标为3，∴C（3，6）．

设OC所在直线的解析式为y＝mx（m≠0），

∴6＝3m，∴m＝2，∴y＝2x.

∵点D的横坐标为2且在OC上，

∴点D的纵坐标为4，

∴D（2，4）．

设直线AD的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．

⎧6k＋b＝0，

把A（6，0），D（2，4）代入，得⎨

⎩2k＋b＝4，

⎧k＝－1，

解得⎨

⎩b＝6，

∴直线AD的解析式为y＝－x＋6.

（2）如图，过点D′作D′M⊥x轴于点M，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，由旋转知∠DOD′＝90°

，OD＝OD′，

∴∠MOD′＋∠DOF＝90°

∵∠DFO＝90°

∴∠ODF＋∠DOF＝90°

∴∠ODF＝∠MOD′，

∴△MOD′≌△FDO，

∴D′M＝OF＝2，OM＝DF＝4.又∵点D′在第二象限，

∴点D′的坐标为（－4，2）．

11．解：

（1）当y＝0时，x2－10x＝0，解得x1＝0，x2＝10，则A1（10，0），OA1＝10，

所以OA2＝2OA1＝20，OA3＝3OA1＝30.

同理可得OAn＝nOA1＝10n，

所以点A3的坐标为（30，0），点An的坐标为（10n，0）．

（2）因为2018＝201×

10＋18，

所以点P（2018，a）在抛物线C202上，

而抛物线C202与x轴的交点坐标为（2010，0），（2020，0），抛物线开口向下，所以抛物线C202的解析式为y＝－（x－2010）·

（x－2020），

把点P（2018，a）代入得a＝－8×

（－2）＝16，

即a的值为16.

12．解：

（1）y1－3）2＋1y1＋3）2－1

＝3（x＝－3（x

（2）存在．理由如下：

如图，作点D关于直线x＝3的对称点D′，则D′（6，－4），连接CD′交直线x＝3于点P，

点P即为所求．

设直线CD′的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

⎧－3k＋b＝－1，

⎧⎪k＝－，

将C（－3，－1）和D′（6，－4）分别代入y＝kx＋b，得⎨

解得⎨3

∴该直线的解析式为y

1－2.

⎩6k＋b＝－4，

⎪⎩b＝－2，

当x＝3时，y＝－3，

＝－3x

∴P（3，－3）．

（3）∵抛物线y1

－m）2＋n的顶点A落在x轴上，与y轴交于点B，∴A（m，0），B（0，

＝3（x

12

3m），则n＝0.

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，即m

＝3m2，

解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝3，

∴当四边形ABCD是正方形时，m＝3，n＝0.