野兔生长问题.docx
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野兔生长问题
东华理工大学
数学建模一周论文
论文题目：
野兔生长问题
姓名1：
陈志华学号：
09312101
姓名2：
刘坚学号：
09312108
姓名3：
龚顺良学号：
09312210
专业：
自动化
班级：
093121
（2）
指导教师：
乐励华
2011年12月28日
目录
目录………………………………………………………1
摘要………………………………………………………2
关键字及问题重述………………………………………3
模型假设…………………………………………………3
分析与建立模型…………………………………………4
模型的求解………………………………………………7
模型求解的结论…………………………………………14
模型的误差分析…………………………………………15
模型的改进………………………………………………18
附录………………………………………………………19
设计小结…………………………………………………20
参考资料…………………………………………………20
摘要
从表格中的九年中野兔生长的数据，分析九年中年的野兔生长的情况以及生长规律。
得出第十年的野兔的数量。
分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。
在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。
因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
关键字：
Logistic模型生态学MATLAB程序
问题重述
野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。
第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。
我们探讨了其中的因素：
（1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。
（1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。
（2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。
（3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。
。
（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟
模型假设
上述，野兔生长问题，我们假设
（1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。
（2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
（3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。
（4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；那它是可以用Logistic模型来模拟的。
分析与建立模型
生物模型，我们首先考虑的是logistic模型，但是我们这里有些地方是出现了下降的形式，所以我们必须把这个反常的现象拟合。
然而，导致野兔减少的因素很多，我们必须将得到的数据分阶段处理。
事实上，早在18世纪末，马尔萨斯（ThomasMalthus,1766—1834）就发表了著作《人口原理》，从此激发了人们研究人口增长趋势的兴趣。
马尔萨斯在他的这本书里提出了人口按指数增长的模型，并断言人口数量最终将超出食物所能提供的容纳能力。
虽然马尔萨斯模型的假设忽略了人口增长中的一些重要因素，但是这个模型作为以后改进模型的基础是很有价值的。
从这个意义上说，我们去探索野生动物的生长规律，正如同探索人类自身的种群数量，即人口增长规律一样，显得很有价值。
（1）我们得到的数据是某地区野兔的数量在连续十年中的统计结果，如下表：
时间：
年数量：
十万
T=0
T=1
T=2
T=3
T=4
T=5
T=6
T=7
T=8
T=9
1
2.31969
4.50853
6.90568
6.00512
5.56495
5.32807
7.56101
8.9392
9.5817
第一单调增区间
T=0
T=1
T=2
T=3
1
2.31969
4.50853
6.90568
第一单调减区间
T=3
T=4
T=5
T=6
6.90568
6.00512
5.56495
5.32807
第二单调增区间
T=6
T=7
T=8
T=9
5.32807
7.56101
8.9392
9.5817
我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。
（2）问题分析
时间（年）
T=0
T=1
T=2
T=3
T=4
T=5
T=6
T=7
T=8
T=9
数量（十万）
1
2.31969
4.50853
6.90568
6.00512
5.56495
5.32807
7.56101
8.9392
9.5817
增长量（十万）
/
1.31969
2.18883
2.39715
-0.90056
-0.44017
-0.23688
2.23294
1.37819
0.64250
增长百分比
/
131.97%
94.36%
53.17%
-13.04%
-7.33%
-4.26%
41.91%
18.23%
7.19%
在这些表格中有一个量必须说明，就是百分比：
增长百分比=（增长量）/（上一年的野兔数量）
我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为b，类似的兔
子死亡率的百分比为c。
换句话，新的兔子数P（t+Δt）是原有兔子数P（t）加上在Δt时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即
P（t+Δt）=P（t）+bP（t）Δt-cP（t）Δt或者：
式（2-1）
这样我们把问题化归到如何确定k。
一旦k被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。
我们考虑（式2-1）中度量增长率的比例因子k是兔子数的函数而不是常数。
（否则当k是常数时我们知道兔子数将成指数增长，这是令人难以置信、不切实际的。
）考虑到在一定区域内，兔子的生存空间是有限的，食物是有限的，且存在种间竞争与种内竞争，结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值，是有限的。
我们假设这个饱和值是M，则合理的猜测是随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值M时，比率k逐渐减小。
关于k的一个简单情形是线性的子模型
k=r（M-P）,r>0
其中r是常数，代入（式2-1）得到
dt（t≤t≤t）
DX
⎪=a（M-b）P
（式2-2）
P（t0）=p0（式2-2）
aM（t-t）
求解这个微分方程我们得到：
（式2-3）
arM（t-t）
M-X+Xe
XMe
X（t）=
这个模型最早是由丹麦生物数学家Pierre-FrancoisVerhulst（1804--1849）提出的，称为logistic增长模型。
在下面的模型求解部分，我们将大量使用该函数来模拟野兔生长状态。
当然（式2-3）的得出依赖着假设k是一个简单的线性子模型，我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。
模型的求解
对于logistic连续模型，设微分方程为
，
（1）
其中参数a，b需要通过拟合得到。
的解为
.
（2）
设已知连续三年的数据
，其中
，则由
（2）得方程组
（3）
这三个方程中有三个未知量
可以解出a,b如下:
将（3）中第一式代入第二、三式消去x0，得
（4）
消去a后得b满足的方程
（5）
解得
.（6）
代入（4）的第一式得a满足的方程
（3）
求参数a,b的MATLAB程序
function[a,b,q]=hare（p,T）
%输入单调的连续三年数量p和时间间隔T（本题T=1）,输出参数a,b和下一年的数量q
a=log（p（3）*（p
（2）-p
（1））/（p
（1）*（p（3）-p
（2））））;
b=（p
（2）^2-p（3）*p
（1））/（p（3）*p
（2）+p
（1）*p
（2）-2*p
（1）*p（3））/p
（2）;
q=1/（b+（1/p（3）-b））*exp（-a*T））;
在第一个上升阶段,对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值
0.999996295432800.09999899065418
1.000001896730560.10000006995945
在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值
0.499999514703010.20000005321601
0.499983964746560.20000085565547
在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值
1.000005087174110.10000005796845
1.000009756401800.10000014562299
当取a,b为最后一组数据时，t=10时由
（2）得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1时，预测数为9.84194（十万）.
结论是：
在T=0到T=3之间增长规律为logistic模型：
.
在T=3到T=6之间增长规律有异常情况,但仍为logistic模型；：
.
在T=6到T=9之间增长规律恢复为logistic模型：
.
在T=10时,在正常情况下,野兔数量为9.84194（或9.84193）（十万）只。
（1）M估计为10（十万）时，ln（p/（M-p））=Mrt+C的函数曲线
时间（年）图5-1
如图5-1所示，图形分为两段，第一段（第0年到第3年）和第二段（第6年到第9年）确实近似于直线。
并且得到：
两条的直线斜率都为m=1，r=0.1
图（5-2）
（2）M=9.9（十万），ln=rMt+C图形：
M估计值为9.9（十万）时，ln（p/（M-p））=Mrt+C的函数曲线
函数曲线在0-3年的分支，参数为C1
时间（年）图5-3
斜率m=1.007，r=0.10172（第0年到第3年）；
斜率m=1.0812，r=0.10921（第6年到第9年）
（3）M=10.1（十万），
M估计值为10.1（十万）时，ln（p/（M-p））=Mrt+C的函数曲线
函数曲线在6-9年的分支,参数为C2
斜率m=0.99326，r=0.0983；
斜率m=0.93706，r=0.09278。
接下来我们让M分别取这三个值时，利用式（2-2）估计出的不同年份的野兔数量和实际统计数据之间的偏差情况。
用（式2-2）对各年份野兔数量作出计算及比较
1）M=10（十万）时：
在从第0年到第3年就可以变为：
野兔种群饱和值为10（十万）的对比曲线
0-4年logistic函数曲线（第零年为初值）
图5-4
2）M=9.9（十万）时，
用类似于
（1）的方法，我们得到表格：
时间
（年）
统计得到的兔子数
量（十万）
通过函数计算得到的兔子数量
（十万）
百分误差
0
1.00000
1.00000
0.00000%
1
2.31969
2.32870
0.38800%
2
4.50853
4.52522
0.37000%
3
6.90568
6.90426
-0.02100%
4
6.00512
8.54547
42.30300%
5
5.56495
9.35811
68.16200%
6
5.32807
5.32807
0.00000%
7
7.56101
7.66817
1.41700%
8
8.93920
9.01047
0.79700%
9
9.58170
9.57924
-0.02600%
10
9.78882
表5-2
从表格中可以看出：
第十年的野兔数量为978882只。
同样，作出此时的对比图形：
野兔的种群饱和值为9.9（十万）的曲线对比
3）M=10.1（十万），用类似于
（1）的方法，得到的表格：
时间
（年）
统计得到的兔子数
量（十万）
通过函数计算得到的兔子数量
（十万）
百分误差
0
1.00000
1.00000
0.00000%
1
2.31969
2.31103
-0.37300%
2
4.50853
4.49235
-0.33900%
3
6.90568
6.90685
0.01700%
4
6.00512
8.62344
43.60100%
5
5.56495
9.49769
70.67000%
6
5.32807
5.32807
0.00000%
7
7.56101
7.47658
-1.11700%
8
8.93920
8.87936
-0.67000%
9
9.58170
9.58384
0.02200%
10
9.89129
式5-2
从表格中看出：
此时，第十年的野兔数量为989129只
这个时候的对比图形：
图（5-5）
从表格中可以得出第10年的野兔数量为9.89129（十万）
图（5-6）
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