武汉软件工程职业学院信息学院软件技术高等数学B卷Word文件下载.docx
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2发散
发散，级数∑U
2收敛
非选择题部分
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.
2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
二、填空题:
本大题共10小题，每小题4分，共40分.
6.
极限lim（xsin2+1sinx）=.
x→∞xx
7.
若limxn=5，则lim2xn-1+3xn+7xn+1
=.
n→∞
n→∞4
8.设函数y=xey，则dy=
dx
⎧⎪x=lnt+t2
.
d2y
⎩
9.设参数方程⎨⎪y=2t3+3t，则dx2t=1=.
10.设函数y=2ln（1+x2），则其凹区间是.
11.
⎰-1xcosx+
1-x2dx=.
12.设f（x）=⎰xucos2udu，则df（x）=.
1dx
13.两个平面4x+5y+3z=-8与2x+2y+z=7的夹角为.
14.将f（x）=
3-x
展开成（x-2）的幂级数.
15.
12
以y=e2x（ccosx+c
sinx）为通解的二阶常系数线性微分方程为.
三、计算题：
本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60
分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.
ln（1+x2）-ln（1+sin2x）
16.求极限lim
x→0
xsin3x
17.
设y=
，试求该函数的间断点并说明其所属类型.
18.函数y=y（x）是由方程（y-1）ex+xexy=2ex所决定，求该函数的导数，并求出当x=0
时的导数值.
19.
⎰
计算不定积分1dx.
1+
50π
20.计算定积分-50π
1-sin2xdx.
21.求曲线y=1，直线y=x和x=2所围成图像的面积，以及此平面图形绕x轴旋转一周
x
形成的旋转体体积.
⎧x=2+t
22.求过点B（1,1,1），且与直线⎪y=2t+3垂直，又与平面2x-z=5平行的直线方程.
⎪z=3t+5
∞
23.判断级数∑
2nn!
nn
的敛散性.
四、综合题：
本大题共3小题，每小题10分，共30分.
24.
证明：
当x>
0，1>
arctanx-π恒成立.
x2
25.设函数f（x）二阶可导，且lim
f（x）=0，f（0）=0，f
（1）=0，试证明：
至少存在一
点ξ∈（0,1），使得f'
（ξ）=0.
26.
设函数f（x）,函数满足f（x）=ex+x（t-x）f（t）dt，求f（x）.
2020年浙江专升本《高等数学》考前10套密押预测卷（七）参考答案与解析
本大题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.【答案】
（C）
【知识点】函数的性质。
x→∞
【解析】A.判断有界性:
由题易得f（x）在R上连续，判断有界性只需要判断limf（x），
lime-sinx有界且大于0，∴limf（x）=∞⋅lime-sinx无界，故A错误。
B.判断单调性：
单调性利用一阶导数来判断，当
x<
0，
f（x）=x2esinx，
f'
（x）=2xesinx+x2esinxcosx。
当x=-2π，f'
（x）>
0，∴不单调，故B错误。
C.判断奇偶性:
直接代入奇偶性的定义f（-x）=（-x）2e--sinx=x2e-sinx=f（x），故为偶函
数，C正确。
D.判断周期性：
由函数表达式易得该函数不具备f（x）=f（x+T）的性质。
故D错误。
2.【答案】
（A）
【知识点】分段函数求导
⎧⎪ln（x-1）,x>
【解析】f（x）=lnx-1=⎨，
⎪⎩ln（1-x）,x<
⎧1⎧1
（x）=⎪x-1,x>
1=⎪x-1,x>
1=1（x≠1）故选A.
⎨1,x<
1⎨1,x<
1x-1
⎪-
⎩1-x
⎪
⎪⎩x-1
3.【答案】
【知识点】不定积分与微分。
【解析】已知⎰df（x）=⎰dg（x），那么f（x）+C1=g（x）+C2。
A：
对等式两边同时求微分可推得df（x）=dg（x），故A正确；
B：
对等式两边同时求导可得f'
（x）=g'
（x），故B正确；
C：
f（x）+C1=g（x）+C2无法推出f（x）=g（x），故C错误；
D：
d⎰f'
D正确。
4.【答案】
（B）
⇒d⎡⎣f（x）+C1⎤⎦=d⎡⎣g（x）+C2⎤⎦⇒df（x）=dg（x），故
【知识点】二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
【解析】f（x）=e-xcosx是f（x）=eλx⎡P（x）cosωx+P（x）sinωx⎤型
⎣ln⎦
设y*=xkeλx⎡R
（1）（x）cosωx+R
（2）（x）sinωx⎤
⎣mm⎦
λ=-1，ω=1特征方程为r2+2r+2=0，特征根为r1,r2=-1±
i，λ+iω是特征根，故
k=1。
P（x）=1，P（x）=0，l=n=0，m=max{l,n}=0，设R
（1）（x）=a，R
（2）（x）=b，
lnmm
y*=xe-xacosx+bsinx，故选B。
5.【答案】
【知识点】数项级数敛散性的判断。
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
【解析】lnç
1+⎪>
lnç
1+⎪，limlnç
1+⎪=0，故由莱布尼茨定理可得，
⎝n⎭⎝
n+1⎭
n→∞⎝⎭
∞∞
级数∑un=∑（-1）
⎛
lnç
1⎫
⎪收敛.由比较审敛法的极限形式可得：
⎝n⎭
⎛1⎫
⎡⎛1⎫⎤2
1+⎪
⎢lnç
1+⎪⎥
ln2ç
lim⎝n⎭=1⇒lim⎢⎝n⎭⎥=lim⎝n⎭=1.
n→∞1
n→∞⎢1⎥n→∞1
⎢⎥
⎣⎦
∞2∞1∞2
故∑un敛散性与∑n相同，故∑un
发散，选择C。
6.【答案】2
【知识点】求极限。
【解析】lim（xsin2+1sinx）=limxsin2+
limsinx
=limx
∙2+0=2
xx→∞x
x→∞x
注：
第二步拆成两项需要满足两项极限都存在才可拆。
7.【答案】15
【知识点】数列极限的定义。
【解析】limxn=5,limxn-1=5,limxn+1=5（n→∞三个量均可理解为∞），
lim2xn-1+3xn+7xn+1=lim10+15+35=15
4
ey
8.【答案】y
（1-xey）
【知识点】隐函数求导。
【解析】隐函数求导先对等式两边求导，再提取y'
。
y'
=ey+xy'
ey⇒（1-xey）y'
=ey；
y'
=
ey
（1-xey）。
9.【答案】1
【知识点】参数方程求导。
【解析】：
dy=6t2+3，dx=1+2t，
dt
dy=6t2+3=6t3+3t
dtt
12t4+12t2+3
dx1+2t
t
1+2t2，
=
t=1
（1+2t2）2
∙
=1
10.【答案】
（-1,1）
【知识点】求凹凸区间。
4x
4（1+x2）-8x2
-4x2+4
【解析】y'
，y'
2=2
，当x∈（-1,1），y'
>
0
1+x2
故函数的凹区间为x∈（-1,1）。
（1+x2）（1+x2）
π
【答案】
2
【知识点】求定积分（利用奇偶性）。
【解析】⎰1（xcosx+
1-x2）dx=⎰1xcosxdx+⎰1
1-x2dx
=⎰-1xcosxdx+
⎰-1
1-x2dx=0+2
1-x2dx=2⎛1arcsinx+1x
22
1-x2⎫=π
⎝⎭0
12.【答案】xcos2x
【知识点】积分上限函数求导。
【解析】df（x）=（⎰xucos2udu）'
=xcos2x
dx1
13.【答案】θ=arccos72
10
【知识点】两平面的夹角即为两平面法向量的夹角（小于90°
）。
=n1⋅n2
=8+10+3
=72
【解析】cosθ，θ=arccos。
n1⋅n216+25+9⋅4+4+11010
14.【答案f（x）=∑（x-2）n（1<
x<
3）
n=0
【知识点】将函数展开成幂级数。
【解析】将f（x）在x=2处展开，先凑x-2，f（x）=
1-（x-2）；
再根据形势代入公式，f（x）=∑（x-2）n（1<
15.【答案】y'
-4y'
+5y=0
【知识点】二阶常系数齐次线性微分方程求解。
【解析】逆向思维可推得特征根为共轭复根r1,2=2±
i，特征方程为r2-4r+5=0，
齐次方程为y'
16.
3
【解析】
ln
（2）
lim1+sinx
lim
ln（1+
x2-sin2x
1+sin2x）
........（1分）
xsinx
=lim
x2-sin2x1+sin2xx4
24
x→0（1+sin
x）x
=lim2x-2sinxcosx
........（2分）
4x3
=lim2x-sin2x
x→04x3
=lim2-2cos2x
........（5分）
x→012x2
=lim1-cos2x=1
........（7分）
x→06x23
17.【知识点】判断间断点类型。
当x=0时，lim
x→0-
f（x）=lim
=-1，lim
x→0+
f（x）=lim
=1。
左极限与右极限不相等，所以该点为跳跃间断点。
当x=1时，limf（x）=lim
=2，但是该点无定义，所以该点为可去间断点。
x→1
当x=-1，lim
x→-1
=∞，该点为无穷间断点。
（7分）
18.【答案】y'
（0）=-1
【解析】将x=0代回原式可推出y=3，（1分）
再对原函数等式两边同时求导，
y'
ex+（y-1）ex+exy+xexy（y+xy'
）=2ex，（3分）
=（3-y）ex-（xy+1）exy
ex+x2exy
将x=0，y=3代入表达式
19.【答案】2
-2ln（1+
x+1）+C
【知识点】定积分第二类换元法使用。
【解析】令
=t，x=t2-1，dx=2tdt
⎰1dx=⎰1⋅2tdt
1+1+t
=⎛2-2⎫dt=2t-2ln（1+t）+C
⎰ç
1+t⎪
⎝⎭
=2-2ln（1+
20.
【答案】200
【知识点】利用周期函数的性质计算定积分。
【解析】-50π
1-sin2xdx=50π
-50π
sin2x+cos2x-2sinxcosxdx
=50π|sinx-cosx|dx（周期函数定积分的性质）（2分）
-π
）|dx
=502⎰π|sin（x-π
........（4分）
-π4
=⎡π⎛π⎫
π⎛π⎫
-3π⎛
π⎫⎤
⎢⎰ç
4⎪
⎰-3πç
⎰-π
ç
4⎪⎥
⎣4⎝⎭
=200
4⎝⎭⎝⎭⎦
........（8分）
21.【答案】11π
6
【知识点】定积分的应用，结合图形，代入公式。
【解析】根据图像，可得出上半支函数表达式y（x）=x2，下半支函数表达式为
y（x）=1
2x
图像面积S=⎰
=3-ln2
⎝12
体积V
=π2x2dx-π2
1dx=π1
3+1）|2=11π
x⎰1
⎰1x2
（3xx16
22.【答案】
x-1=y-1=z-1
-27-4
【知识点】求直线方程。
由题可知，直线的方向向量S1=（1,2,3），平面的法向量为n=（2,0,-1）
所以所求直线的方向向量为S=S1⨯n=（-2,7,-4）
且该支线经过点（1，1，1）（5分）
故直线方程为x-1=y-1=z-1
23.【答案】级数收敛
【知识点】判断级数的敛散性。
【解析】根据级数类型判断应用比值审敛法。
limun+1
2n+1（n+1）!
nn
=2lim（n）
n=2lim（1-1）n
n→∞un
（n+1）n+12nn!
n→∞n+1
=2lim（1-1）
n
-（n+1）2
-（n+1）=<
1，故级数收敛。
（8分）
n+1e
24.【知识点】利用函数单调性求不等式。
（证明：
由题可知，要证1>
arctanx-π，即证1-arctanx+π大于0在（0,+∞）
恒成立
x2x2
令f（x）=1-arctanx+π,x∈（0,+∞）（.
2分）
则f'
（x）=-1
x2
-11+x2
<
0，即函数在定义域内单调递减（4分）
即x>
0,f（x）>
lim
f（x）,lim
f（x）=lim（1-arctanx+π=0
x→+∞
x→+∞x2
故1-arctanx+π大于0在（0,+∞）恒成立，
即当x>
arctanx-π恒成立。
（10分）
25.【知识点】罗尔中值定理解决方程问题。
【解析】证明：
因为函数f（x）二阶连续可导，且f（0）=0,f
（1）=0，
limf（x）=limf（x）-f（0）=f'
（0）=0
x→0x
x-0
根据罗尔定理，至少存在一点ξ1∈（0,1），使f'
（ξ1）=0
由于函数f（x）二阶连续可导，故f'
（x）在[0,ξ1]上连续；
（x）在（0,ξ1）上可导；
（ξ1）=0=f'
（0）；
由罗尔定理可得至少存在一点ξ∈（0,ξ1）⊂（0,1）,f'
（ξ）=0（10分）
26.【知识点】变限积分求导以及微分方程计算。
（1）f（x）=ex+x（t-x）f（t）dt
⎰⎰
f（x）=ex+xtf（t）dt-xxf（t）dt
00
对等式左右两边关于x求导得方程1
（x）=ex-xf（t）dt
再对方程1进行两边求导
（x）=ex-f（x）即f'
（x）+f（x）=ex
即求y'
+y=ex,y（0）=1,y'
（0）=1的二阶微分方程的特解先求其对应齐次的通解
r2+1=
0，r1,2=±
i，Y=C1cosx+C2sinx
........（6分）
其非齐次的特解：
y*=aex
将特解的一阶导二阶导计算带入y'
+y=ex，得到y*=1ex
即：
二阶的通解为y=Y+y*=Ccosx+
1x
C2sinx+2e
分别计算通解的一阶二阶导数，并将y（0）=1,y'
（0）=1带入二阶通解
得到C=C=1
122
故：
y=1cosx+1sinx+1ex
222
........（10分）
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