08物理竞赛讲义静电场Word格式.doc

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E外=k，其中r指考察点到球心的距离

如果球壳是有厚度的的（内径R1、外径R2），在壳体中（R1＜r＜R2）：

E=，其中ρ为电荷体密度。

这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。

⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：

E=

⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：

E=2πkσ

二、电势

1、电势：

把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即

U=

参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。

和场强一样，电势是属于场本身的物理量。

W则为电荷的电势能。

2、典型电场的电势

a、点电荷

以无穷远为参考点，U=k

b、均匀带电球壳

以无穷远为参考点，U外=k，U内=k

3、电势的叠加

由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。

很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。

4、电场力对电荷做功

WAB=q（UA－UB）=qUAB

三、静电场中的导体

静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽

1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——

a、导体内部的合场强为零；

表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。

b、导体是等势体，表面是等势面。

c、导体内部没有净电荷；

孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。

2、静电屏蔽

导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；

导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。

四、电容

1、电容器

孤立导体电容器→一般电容器

2、电容

a、定义式C=

b、决定式。

决定电容器电容的因素是：

导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容

⑴平行板电容器C==，其中ε为绝对介电常数（真空中ε0=，其它介质中ε=），εr则为相对介电常数，εr=。

⑵柱形电容器：

C=

⑶球形电容器：

3、电容器的连接

a、串联=+++…+

b、并联C=C1+C2+C3+…+Cn

4、电容器的能量

用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E，所以

E=q0U0=C=

电场的能量。

电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？

正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。

对平行板电容器E总=E2

认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能w=E2。

而且，这以结论适用于非匀强电场。

五、电介质的极化

1、电介质的极化

a、电介质分为两类：

无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H2、O2、N2和CO2），后者则反之（如气态的H2O、SO2和液态的水硝基笨）

b、电介质的极化：

当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示。

2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷：

在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；

反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。

事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。

b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。

而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。

宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：

前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。

第二讲重要模型与专题

一、场强和电场力

【物理情形1】试证明：

均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。

如图7-5所示，在球壳内取一点P，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为

ΔE1=k

ΔE2=k

为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ，显然

=ΔΩ=

所以ΔE1=k，ΔE2=k，即：

ΔE1=ΔE2，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。

同理，其它各个相对的面元ΔS3和ΔS4、ΔS5和ΔS6…激发的合场强均为零。

原命题得证。

【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS，它在球心O点激发的场强大小为

ΔE=k，方向由P指向O点。

无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？

这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ=Σ=0，最后的ΣE=ΣEz，所以先求

ΔEz=ΔEcosθ=k，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为ΔS′

所以ΣEz=ΣΔS′

而ΣΔS′=πR2

【答案】E=kπσ，方向垂直边界线所在的平面。

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE=ΣEx…

〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，=a，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。

【模型分析】这里涉及两个知识的应用：

一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。

将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P，设=r1，=r2，则大球激发的场强为

E1=k=kρπr1，方向由O指向P

“小球”激发的场强为

E2=k=kρπr2，方向由P指向O′

E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。

又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OPO′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。

【答案】恒为kρπa，方向均沿O→O′，空腔里的电场是匀强电场。

〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？

〖解说〗上面解法的按部就班应用…

〖答〗πkρq〔−〕。

二、电势、电量与电场力的功

【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，=r，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP。

【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。

先在圆环上取一个元段ΔL，它在P点形成的电势

ΔU=k

环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。

【答案】UP=

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q，则UP的结论为多少？

如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？

〖答〗UP=；

结论不会改变。

〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q，试问：

（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？

球内（包括表面）各点电势为多少？

（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？

〖解说〗

（1）球心电势的求解从略；

球内任一点的求解参看图7-5

ΔU1=k=k·

=kσΔΩ

ΔU2=kσΔΩ

它们代数叠加成ΔU=ΔU1+ΔU2=kσΔΩ

而r1+r2=2Rcosα

所以ΔU=2RkσΔΩ

所有面元形成电势的叠加ΣU=2RkσΣΔΩ

注意：

一个完整球面的ΣΔΩ=4π（单位：

球面度sr），但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π，所以——

ΣU=4πRkσ=k

（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；

球内任一点的电势求解可以从

（1）问的求解过程得到结论的反证。

〖答〗

（1）球心、球内任一点的电势均为k；

（2）球心电势仍为k，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。

【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。

【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。

球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。

根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q，外壁的电荷量为+Q+q，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…

【答案】Uo=k－k+k。

〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。

试求：

（1）A球壳的感应电荷量；

（2）外球壳的电势。

〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。

此外，我们还要用到一个重要的常识：

接地导体（A壳）的电势为零。

但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有

UO=k+k+k=0

QB应指B球壳上的净电荷量，故QB=0

所以QA=－q

☆学员讨论：

A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？

（答：

不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！

）

基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——

UB=k+k

〖答〗

（1）QA=－q；

（2）UB=k（1－）。

【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。

点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB。

试问：

若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？

【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。

若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。

所以这里介绍另一种求电势的方法。

每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。

这就意味着：

①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；

②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；

③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。

所以，取走ab前3U1=UA

2U2+U1=UB

取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以

UA′=2U1

UB′=U1+U2

【答案】UA′=UA；

UB′=UA+UB。

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1、U2、U3和U4，则盒子中心点O的电势U等于多少？

〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——

我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：

先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。

在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1+U2+U3+U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为

U′=U1+U2+U3+U4

最后回到原来的单层盒子，中心电势必为U=U′

〖答〗U=（U1+U2+U3+U4）。

刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？

不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。

〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。

P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。

〖解说〗这又是一个填补法的应用。

将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。

从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。

而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：

①带电量为2q的完整球面；

②带电量为－q的半球面。

考查P点，UP=k+U半球面

其中U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即U半球面=－UQ

以上的两个关系已经足以解题了。

〖答〗UQ=k－UP。

【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。

A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。

（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功？

（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？

【模型分析】电势叠加和关系WAB=q（UA－UB）=qUAB的基本应用。

UO=k+k=0

UD=k+k=－

U∞=0

再用功与电势的关系即可。

【答案】

（1）；

（2）。

【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2，质量分别为m1和m2，被固定在相距L的两点。

（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？

（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？

（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？

【解说】第

（1）问甚间；

第

（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；

第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：

势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。

在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。

【答】

（1）k；

（2）Ek1=k，Ek2=k；

（3）k。

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1、q2和q3，两两相距为r12、r23和r31，则这个点电荷系统的静电势能是多少？

〖解〗略。

〖答〗k（++）。

〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m、电量均为q，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。

现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。

〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。

而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。

设2球的速度为v，1球和3球的速度为v′，则

动量关系mv+2mv′=0

能量关系3k=2k+k+mv2+2m

解以上两式即可的v值。

〖答〗v=q。

三、电场中的导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1，B板带尽电量+Q2，且Q2＜Q1，试求：

（1）两板内外表面的电量分别是多少；

（2）空间各处的场强；

（3）两板间的电势差。

【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；

这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。

为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ1、σ2、σ3和σ4，显然

（σ1+σ2）S=Q1

（σ3+σ4）S=Q2

A板内部空间场强为零，有2πk（σ1−σ2−σ3−σ4）=0

A板内部空间场强为零，有2πk（σ1+σ2+σ3−σ4）=0

解以上四式易得σ1=σ4=

σ2=−σ3=

有了四个面的电荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如EⅡ=2πk（σ1+σ2−σ3−σ4）=2πk〕。

最后，UAB=EⅡd

（1）A板外侧电量、A板内侧电量，B板内侧电量−、B板外侧电量；

（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；

（3）A、B两板的电势差为2πkd，A板电势高。

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？

为零。

〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：

）？

如果在板间充满相对介电常数为εr的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：

不会）？

是否会影响三个空间的场强（答：

只会影响Ⅱ空间的场强）？

〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？

〔答：

可以；

以A为对象，外侧受力·

（方向相左），内侧受力·

（方向向右），它们合成即可，结论为F=Q1Q2，排斥力。

〕

【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器，极板面积为S，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和−Q的电量后，试求：

（1）板上自由电荷的分布；

（2）两板之间的场强；

（3）介质表面的极化电荷。

【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。

设真空部分电量为Q1，介质部分电量为Q2，显然有

Q1+Q2=Q

两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有

U1=U2即=，即=

解以上两式即可得Q1和Q2。

场强可以根据E=关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。

上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？

从公式的角度看，E=2πkσ（单面平板），当k、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。

从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2，所以

E2=4πk（σ−σ′）=4πk（−）

请注意：

①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；

②E=4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

（1）真空部分的电量为Q，介质部分的电量为Q；

（2）整个空间的场强均为；

（3）Q。

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为εr的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

〖答〗Q′=Q。

四、电容器的相关计算

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：

（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？

（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？

【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。

第

（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：

令级数为1，于是

+=解C′即可。

第

（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程

+=

（1）C；

（2）C。

【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知C1=C2=C3=C9=1μF，C4=C5=C6=C7=2μF，C8=C10=3μF，试求A、B之间的等效电容。

【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——

Δ→Y型：

Ca=

Cb=

Cc=

Y→Δ型：

C1=

C2=

C3=

有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——

【答】约2.23μF。

【物理情形2】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1=3.0V，ε2=4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao、Ubo和Uco各为多少。

【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。

电量关系：

++=0

电势关系：

ε1=Uao+Uob=Uao−