竞赛数列训练题Word下载.doc

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10.（2007年全国联赛）设，求证：

当正整数n≥2时，an+1<

an。

11.（2007年四川竞赛）已知正整数列满足条件：

对于任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体自然数组成的集合，其中为数列的前项和.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式.

竞赛数列专题训练

（1）参考答案

1.设．显然单调递减，则由的最大值，可得．

2.解：

设,则,得

或,解得或,

由,知它的个位数字是9,由,知它的个位数字也是9．

3.，

即2=，

由此得2．令，（），

有，故，所以．

4.解：

因为，故由已知条件知道：

1+q+q2为，其中m为正整数。

令，则

。

由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知

5.．解：

由已知得，且．所以，即{}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.

6.解：

由，推出。

因此有.

即有

7．由两边平方得，

又，两式相减，得

.

由求得，又由递推关系式易知数列是单调递增数列，所以，故，即，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，于是

，

所以.

8.易知：

（ⅰ）该数表共有100行；

（ⅱ）每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，

（ⅲ）为所求．

设第行的第一个数为，则

=……

故．

9.证明：

解：

,

不超过的最大整数为。

　　　　　　　　　答案为　

10.解：

证明：

由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有

，即an+1<

11.解：

（1）记，显然.对于，有

故，所以.（5分）

（2）由题意知，集合按上述规则，共产生个正整数；

而集合按上述规则产生的个正整数中，除这个正整数外，还有（），共个数.

所以，.（10分）

因为，所以，（15分）

又因为当时，

而也满足.所以，（）.（20分）

竞赛数列专题训练

（2）

1.（2010年江苏初赛）设数列满足（），求证：

2.（2010年湖北竞赛）已知数列中，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：

对一切，有．

3.设数列满足，，其中．

（1）证明：

对一切，有；

（2）证明：

．

4.设数列满足,.求证：

当时,.（其中表示不超过的最大整数）．

5.设为一个整数数列，并且满足：

，．若，求满足且的最小正整数n.

6．（2012年湖北竞赛）已知正项数列满足且，，求的通项公式．

7.（2012年全国联赛）已知数列{}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有．

（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列；

（2）是否存在满足条件的无穷数列{}，使得？

若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；

若不存在，说明理由．

竞赛数列专题训练

（2）参考答案

1.证明:

由题意知当时,,命题成立；

当时，由，得，∴，，

从而有.

2.解

（1）由已知，对有，

两边同除以n，得，

即，……………………4分

于是，，

即，

所以，．

又时也成立，故．……………………8分

（2）当，有

，………………12分

所以时，有

又时，

故对一切，有．……………………16分

3.证明

（1）在已知关系式中，令，可得；

令，可得

①

②

由①得，，，，

代入②，化简得．---------------------------------------7分

（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此．

于是．

因为，所以

对于任何正整数，由递推知．由知数列递减.

又对任意,

．即有,从而.于是，

当时，；

当时，由递减得.

故．所以，．

5.解：

当时，将原式变形为，令，则有，叠加可得，于是。

由，得，化简得。

由，得，将上述关于的结果代入得，于是质数且n是奇数，

所以满足条件的最小的n是501.

6.解：

解在已知等式两边同时除以，得，

所以． ------------------------------------------4分

令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.-------------------8分

所以,即.--------------------------12分

于是，当时,

，

因此,-------------------------------16分