2016年山东省高考数学试卷-(理科)Word文档格式.doc

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13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E：

﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　　　　　　．

14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　　　　　．

15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　　　　　　．

三、解答题,：

本大题共6小题，共75分.

16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．

（Ⅰ）证明：

a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

18．（12分）（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；

如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；

如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；

每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：

x2=2y的焦点F是C的一个顶点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：

点M在定直线上；

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

参考答案与试题解析

【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有

【专题】计算题；

规律型；

转化思想；

数系的扩充和复数．

【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．

【解答】解：

复数z满足2z+=3﹣2i，

设z=a+bi，

可得：

2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．

解得a=1，b=﹣2．

z=1﹣2i．

故选：

B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

【考点】并集及其运算．菁优网版权所有

集合思想；

数学模型法；

集合．

【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．

∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），

B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），

∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．

C．

【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有

图表型；

概率与统计．

【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．

自习时间不少于22.5小时的频率为：

（0.16+0.08+0.04）×

2.5=0.7，

故自习时间不少于22.5小时的频率为：

0.7×

200=140，

D

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有

对应思想；

数形结合法；

不等式．

【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．

由约束条件作出可行域如图，

∵A（0，﹣3），C（0，2），

∴|OA|＞|OC|，

联立，解得B（3，﹣1）．

∵，

∴x2+y2的最大值是10．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

空间位置关系与距离；

立体几何．

【分析】由已知中的三视图可得：

该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．

由已知中的三视图可得：

该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．

故R=，故半球的体积为：

=π，

棱锥的底面面积为：

1，高为1，

故棱锥的体积V=，

故组合体的体积为：

+π，

C

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有

【专题】探究型；

简易逻辑．

【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．

当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，

当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，

故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，

A

【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；

三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有

转化法；

三角函数的图像与性质．

【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．

数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），

∴T=π，

B

【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．

【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有

平面向量及应用．

【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．

∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），

∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，

解得：

t=﹣4，

【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．

【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有

【专题】综合题；

综合法；

函数的性质及应用．

【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f

（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．

∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），

∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．

∴f（6）=f

（1），

∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），

∴f

（1）=﹣f（﹣1），

∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，

∴f（﹣1）=﹣2，

∴f

（1）=﹣f（﹣1）=2，

∴f（6）=2．

D．

【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】转化思想；

函数的性质及应用；

导数的概念及应用．

【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；

当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；

当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；

当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　3　．

【考点】程序框图．菁优网版权所有

操作型；

算法和程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．

第一次执行循环体后：

a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；

第二次执行循环体后：

a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；

第三次执行循环体后：

a=6，b=3，满足条件a＜b，

故输出的i值为：

3，

故答案为：

3

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．

12．（5分）（2016•山东）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=　﹣2　．

【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有

【专题】二项式定理．

【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5﹣r，化简可得求的x5的系数．

（ax2+）5的展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，

令10﹣=5，解得r=2．

∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80

∴a3=﹣80，

得a=﹣2．

【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　．

【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有

【专题】方程思想；

分析法；

圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±

，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．

令x=c，代入双曲线的方程可得y=±

b=±

，

由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），

由2|AB|=3|BC|，可得

2•=3•2c，即为2b2=3ac，

由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，

解得e=2（负的舍去）．

2．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．

14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　．

【考点】几何概型．菁优网版权所有

【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．

圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．

圆心到直线y=kx的距离为，

要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．

∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．

．

【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．

15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　．

【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有

【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．

当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m2＜m（m＞0），

即m2＞3m（m＞0），

解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

（3，+∞）．

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．

正弦定理；

余弦定理．菁优网版权所有

证明题；

解三角形．

【分析】

（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；

（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．

由得：

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC

（1）；

根据正弦定理，；

∴，带入

（1）得：

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；

又a，b＞0；

∴；

∴由余弦定理，=；

∴cosC的最小值为．

【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．

【考点】二面角的平面角及求法；

直线与平面平行的判定．菁优网版权所有

【专题】证明题；

向量法；

空间角．

（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．

（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

【解答】证明：

（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，

∵G、H为EC、FB的中点，

∴GQ，QH∥，

又∵EFBO，∴GQBO，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．

解：

（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，

又∵OO′⊥面ABC，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），

=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），

由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），

设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，

则，即，

取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），

∴cos＜，＞===﹣．

∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，

∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

【考点】数列的求和；

数列递推式．菁优网版权所有

等差数列与等比数列．

（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．

（Ⅰ）Sn=3n2+8n，

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，

n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；

∵an=bn+bn+1，

∴an﹣1=bn﹣1+bn，

∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a1=b1+b2，

∴11=2b1+3，

∴b1=4，

∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；

（Ⅱ）cn===6（n+1）•2n，

∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，

∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n