北京高考数学试题与答案理科Word格式.doc

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（D）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（5）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则

（6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

表面积是

（8）某棵果树前年的总产量与之间的关系

如图所示．从目前记录的结果看，前年的

年平均产量最高，的值为

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）直线为参数与曲线为参数的交点个数为．

（10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则．

（11）在中，若，，，则．

（12）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、

两点，其中，点在轴上方．若直线的倾斜角为，则的面积为．

（13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为．

（14）已知，．若同时满足条件：

①，或；

②，．

则的取值范围是．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求的单调递增区间．

（16）（本小题共14分）

如图，在中，，，，、分别为、上的点，且//，，将沿折起到的位置，使，如图．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若是的中点，

求与平面所成角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面

与平面垂直？

说明理由．

（17）（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其

他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取

了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：

吨）：

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾

可回收物

其他垃圾

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为

，其中，600．当数据的方差最大时，写出

的值（结论不要求证明），并求此时的值．

（注：

…，其中为数据的平均数）

（18）（本小题共13分）

已知函数，．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．

（19）（本小题共14分）

已知曲线：

．

（Ⅰ）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；

（Ⅱ）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点．

求证：

三点共线．

（20）（本小题共13分）

设是由个实数组成的行列的数表，满足：

每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．

对于，记为的第行各数之和≤≤，为的第列各数之和≤≤．

记为，，…，，，，…，中的最小值．

（Ⅰ）对如下数表，求的值；

（Ⅱ）设数表形如

求的最大值；

（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的最大值．

2012高考北京数学真题答案及简析

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

C

A

二、填空题

9

10

11

12

13

14

1；

三、解答题

15．解：

（1）原函数的定义域为，最小正周期为．

（2）原函数的单调递增区间为，

16．解：

（1），

平面，

又平面，

又，

平面

（2）如图建系，则，，，

∴,

设平面法向量为

则∴∴

∴又∵∴

∴

∴与平面所成角的大小

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则，

则∴

假设平面与平面垂直

∴，，

∵

∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直

17．

（1）由题意可知：

（2）由题意可知：

（3）由题意可知：

，因此有当，，时，有．

18．解：

（1）由为公共切点可得：

，则，，

①

又，，

，即，代入①式可得：

（2），设

则，令，解得：

，；

，，

原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增

①若，即时，最大值为；

②若，即时，最大值为

③若时，即时，最大值为．

综上所述：

当时，最大值为；

当时，最大值为．

19．

（1）原曲线方程可化简得：

由题意可得：

，解得：

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：

，

由韦达定理得：

①，，②

设，，

方程为：

，则，

欲证三点共线，只需证，共线

即成立，化简得：

将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

20．

解：

（1）由题意可知，，，，

（2）先用反证法证明：

若

则，∴

同理可知，∴

由题目所有数和为

即

与题目条件矛盾

∴．

易知当时，存在

∴的最大值为1

（3）的最大值为.

首先构造满足的：

.

经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表，使得.

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则.另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）.因此

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾.因此的最大值为.

数学（理）（北京卷）第10页（共5页）