高中数学第16课时三角函数模型的简单应用练习新人教A版4解析文档格式.doc

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1．某人的血压满足函数式f（t）＝24sin（160πt）＋110，其中f（t）为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为（　　）

A．60　　　B．70　　　C．80　　　D．90

答案：

C

解析：

由于ω＝160π，故函数的周期T＝＝，所以f＝＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.

2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离Scm和时间ts的函数关系为S＝8sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（　　）

A．2πsB．πs

C．0.5sD．1s

D

因为ω＝2π，所以T＝＝1.

3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v0，发射角为θ，重力加速度为g，则炮弹上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为（　　）

A．y＝v0t

B．y＝v0sinθt－gt2

C．y＝v0sinθt

D．y＝v0cosθt

B

竖直方向的分速度v0sinθ，由竖直上抛运动的位移公式y＝v0sinθt－gt2，故选B.

4．单位圆上有两个动点M、N，同时从P（1,0）点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为rad/s，N点按顺时针方向转，速度为rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为（　　）

A．π，2πB．π，4π

C．2π，4πD．4π，8π

设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝t，l2＝t.

∴t＋t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.

5．如图为2015年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋bA>

0，ω>

0，<

φ<

π的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（　　）

A．16℃B．15℃

C．14℃D．13℃

由题意得A＝×

（30－10）＝10，b＝×

（30＋10）＝20.∵2×

（14－6）＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于<

π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选D.

6．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（厘米）和时间t（秒）的函数关系是：

s＝3cos.已知g＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是（　　）

A.cmB.cm

C.cmD.cm

由周期T＝＝2π＝2π，所以小球的摆动周期T＝2π.

由l＝g2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得l＝9802＝cm.

二、填空题

7．电流I（mA）随时间t（s）变化的函数关系是I＝3sin100πt＋，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.

　50　3

最小正周期T＝＝；

频率f＝＝50；

振幅A＝3.

8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B，的模型波动（x为月份）．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f（x）的解析式为________．

f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）

由题意，可得A＝＝2，B＝7，

周期T＝＝2×

（7－3）＝8，∴ω＝.

∴f（x）＝2sin＋7.

∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9.

即sin＝1.

∵|φ|<

，∴φ＝－.

∴f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）．

9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h，则h与θ间的函数关系式为______________________．

h＝5.6＋4.8sin

以O为原点建立坐标系，如右图，

则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，

故点B的坐标为

.

∴h＝5.6＋4.8sin.

三、解答题

10．交流电的电压E（单位：

V）随时间t（单位：

s）变化的关系式是E＝

220sin，t∈[0，＋∞）．

（1）求开始时（t＝0）的电压；

（2）求电压的最大值和首次达到最大值的时间；

（3）求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．

解：

（1）当t＝0时，E＝220×

sin＝110，即开始时的电压为110V.

（2）电压的最大值为220V.

当100πt＋＝时，t＝，即电压首次达到最大值的时间为s.

（3）T＝＝，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为s.

11．电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是I＝Asin（ωt＋φ）A>

0，|φ|<

（1）若I＝Asin（ωt＋φ）在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin（ωt＋φ）的解析式；

（2）为了使I＝Asin（ωt＋φ）中的t在任意一个s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？

（1）由图，可知A＝300.

设t0＝－，t1＝，t2＝.∵T＝t2－t0＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝300sin（100πt＋φ）．

将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，

∴φ＝＋2kπ，k∈Z.

，∴φ＝，∴I＝300sin.

（2）由题意，知≤，∴ω≥200π，

∴正整数ω的最小值为629.

　　能力提升

12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AB的长为d，则函数d＝f（l）的图象大致是（　　）

令所对的圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ.

又∵sin＝，∴d＝2sin＝2sin.

∴d＝f（l）＝2sin（0≤l≤2π），它的图象为C.

13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm.

（1）将y表示为x的函数；

（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．

分析：

（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；

（2）记p＝，则sinx＋pcosx＝2，求出p的范围，即可得出结论．

（1）由已知得y＝2×

＋15－15tanx，

即y＝15＋15×

（其中0≤x≤）

（2）记p＝，则sinx＋pcosx＝2，则有≤1，

解得p≥或p≤－

由于y>

0，所以，当x＝，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值15＋15≈40.98km.

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