高中数学第16课时三角函数模型的简单应用练习新人教A版4解析文档格式.doc
《高中数学第16课时三角函数模型的简单应用练习新人教A版4解析文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第16课时三角函数模型的简单应用练习新人教A版4解析文档格式.doc(5页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
1.某人的血压满足函数式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60 B.70 C.80 D.90
答案:
C
解析:
由于ω=160π,故函数的周期T==,所以f==80,即每分钟心跳的次数为80.故选C.
2.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离Scm和时间ts的函数关系为S=8sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2πsB.πs
C.0.5sD.1s
D
因为ω=2π,所以T==1.
3.水平地面上发射的炮弹,初速度大小为v0,发射角为θ,重力加速度为g,则炮弹上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为( )
A.y=v0t
B.y=v0sinθt-gt2
C.y=v0sinθt
D.y=v0cosθt
B
竖直方向的分速度v0sinθ,由竖直上抛运动的位移公式y=v0sinθt-gt2,故选B.
4.单位圆上有两个动点M、N,同时从P(1,0)点出发,沿圆周转动,M点按逆时针方向转,速度为rad/s,N点按顺时针方向转,速度为rad/s,则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )
A.π,2πB.π,4π
C.2π,4πD.4π,8π
设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2,自出发至第三次相遇,经过t秒,则l1=t,l2=t.
∴t+t=6π,∴t=12,∴l1=2π,l2=4π.
5.如图为2015年某市某天中6h至14h的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>
0,ω>
0,<
φ<
π的半个周期的图象,则该天8h的温度大约为( )
A.16℃B.15℃
C.14℃D.13℃
由题意得A=×
(30-10)=10,b=×
(30+10)=20.∵2×
(14-6)=16,∴=16,∴ω=,∴y=10sin+20,将x=6,y=10代入得10sin+20=10,即sin=-1,由于<
π,可得φ=,∴y=10sin+20,x∈[6,14].当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13,即该天8h的温度大约为13℃,故选D.
6.一根长l厘米的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是:
s=3cos.已知g=980厘米/秒,要使小球摆动的周期是1秒,线的长度应当是( )
A.cmB.cm
C.cmD.cm
由周期T==2π=2π,所以小球的摆动周期T=2π.
由l=g2,代入π=3.14,g=980,T=1,得l=9802=cm.
二、填空题
7.电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I=3sin100πt+,则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______,______,______.
50 3
最小正周期T==;
频率f==50;
振幅A=3.
8.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B,的模型波动(x为月份).已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元.根据以上条件可确定f(x)的解析式为________.
f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)
由题意,可得A==2,B=7,
周期T==2×
(7-3)=8,∴ω=.
∴f(x)=2sin+7.
∵当x=3时,y=9,∴2sin+7=9.
即sin=1.
∵|φ|<
,∴φ=-.
∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).
9.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h,则h与θ间的函数关系式为______________________.
h=5.6+4.8sin
以O为原点建立坐标系,如右图,
则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,
故点B的坐标为
.
∴h=5.6+4.8sin.
三、解答题
10.交流电的电压E(单位:
V)随时间t(单位:
s)变化的关系式是E=
220sin,t∈[0,+∞).
(1)求开始时(t=0)的电压;
(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间;
(3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔.
解:
(1)当t=0时,E=220×
sin=110,即开始时的电压为110V.
(2)电压的最大值为220V.
当100πt+=时,t=,即电压首次达到最大值的时间为s.
(3)T==,即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为s.
11.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=Asin(ωt+φ)A>
0,|φ|<
(1)若I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中的t在任意一个s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值,那么正整数ω的最小值是多少?
(1)由图,可知A=300.
设t0=-,t1=,t2=.∵T=t2-t0=-=,∴ω==100π,∴I=300sin(100πt+φ).
将代入解析式,得-+φ=2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.
,∴φ=,∴I=300sin.
(2)由题意,知≤,∴ω≥200π,
∴正整数ω的最小值为629.
能力提升
12.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AB的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )
令所对的圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ.
又∵sin=,∴d=2sin=2sin.
∴d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.
13.节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=30km,BC=15km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO=x(弧度),排污管道的总长度为ykm.
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定O点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到0.01km).
分析:
(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度,即可得到所求函数关系式;
(2)记p=,则sinx+pcosx=2,求出p的范围,即可得出结论.
(1)由已知得y=2×
+15-15tanx,
即y=15+15×
(其中0≤x≤)
(2)记p=,则sinx+pcosx=2,则有≤1,
解得p≥或p≤-
由于y>
0,所以,当x=,即点O在CD中垂线上离点P距离为km处,y取得最小值15+15≈40.98km.
5