集合创新型、综合型试题80例Word格式文档下载.doc

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y

（第5题）

O3（0，2），O4（2，2）．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称（A，B）为一个“有序集合对”（当A≠B时，（A，B）和（B，A）为不同的有序集合对），那么M中“有序集合对”（A，B）的个数是

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

9.设集合,若都是M的含有两个元素的子集，且满足：

对任意的，都有：

，表示两个数中的较小者），则的最大值为（B　　）

A、10 B、11 C、12 D、13

10.函数的定义域为R，且定义如下：

（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为（B）

A． B． C． D．

11.若，且，则称A是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 （A）

A． B． C． D．

12.设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（C）

（A）自然数集（B）整数集（C）有理数集（D）无理数集

13.集合，则运算可能是（B）

A．加法减法乘法B加法乘法

C．加法减法除法D．乘法除法

14.对于复数a,b,c,d,若集合具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于（B）

A.1B.-1C.0D.i

15.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*（b*a）=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是（A）

A.（a*b）*a=aB.［a*（b*a）］*（a*b）=a

C.b*（b*b）=bD.（a*b）*［b*（a*b）］=b

16.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是（A．）

A．中至少有一个关于乘法是封闭的

B．中至多有一个关于乘法是封闭的

C．中有且只有一个关于乘法是封闭的

D．中每一个关于乘法都是封闭的

17.设集合，定义集合，已知,则的子集为（D）

A. B. C. D.

18.设集合I={1，2，3}，AI,若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集，则A={1，2}的配集有（D）个

A，1B，2C，3D，4

19.设A、B是非空集合，定义A×

B={且}，己知

A={}，B={}，则A×

B等于（A）

A．（2，+∞）B．[0，1]∪[2，+∞）C．[0，1）∪（2，+∞）

D．[0．1]∪（2，+∞）

20.已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，.设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（A）

A． B． C． D．

21.函数其中p、M为实数集R的两个非空子集，又规定.给出下列四个判断：

①若P∩M=φ，则，②若P∩M≠φ，则.

③若，则.④若，则.其中正确判断有：

（B）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22.设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，XY＝（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（XY）Z＝（B）

（A）（X∪Y）∩Z（B）（X∩Y）∪Z（C）（X∪Y）∩Z（D）（X∩Y）∪Z

23.设非空集合满足：

当，给出如下三个命题：

①若；

②若③若；

其中正确的命题的个数为（D）

A．0个B．1个C．2个D．3个

24.记集合，，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2011个数是（B）

A．　　　　B．

C．　　　　D．

25.设集合，，

则的子集的个数是（C）

（A）．4（B）．3（C）．2（D）．1

26.是正方体，点为正方体对角线的交点，过点的任一平面，正方体的八个顶点到平面的距离作为集合的元素，则集合中的元素个数最多为 （B）

A．3个B．4个C．5个D．6个

27.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为D

（A）（B）（C）（D）

28.设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（B）

A．4B．6C．8D．10

29.设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称M为锥.现有下列平面向量的集合:

上述为锥的集合的个数是B

A．1B．2C．3D．4

30.设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合表示的平面区域是（D）

A．三角形区域 B．四边形区域 C．五边形区域 D．六边形区域

二、填空题

31.设集合，函数若当时，B，则的取值范围是　　▲　　．

32.已知集合，若非空集合满足：

中各元素都加4后构成的一个子集，中各元素都减4后也构成的一个子集，则=____________

33.已知集合，当为4022时，集合的元素个数

为．

34.若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：

①、；

②对于的任意子集、，当且时，有；

③对于的任意子集、，当且时，有；

则称是集合的一个“—集合类”.

例如：

是集合的一个“—集合类”。

已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为10.

35.已知全集={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合，则满足的集合A的个数是.（用数字作答）56

36.设集合，对任意，运算“具有如下性质：

（1）；

（2）；

（3）

给出下列命题：

①

②若1A,则（11）1=0;

③若，且，则a=0;

④若a、b、，且，则a=c.

其中正确命题的序号是________（把你认为正确的命题的序号都填上）.

①③④

37.对任意两个集合M、N，定义：

，，，

，则.

答案[－3,0）∪（3,＋∞）

38.对任意两个正整数m，n定义运算：

当m，n都是正偶数或都是正奇时数mn=m+n，

当m，n有一个是正偶数，有一个是正奇时数mn=mn，则M={（m,n）|mn=36,m,n为正整数}中的元素个数为▲.

答案：

35

39.设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

答案符合题意的集合是：

共6个.

40.非空集合G关于运算满足：

（1）对任意，都有;

（2）存在，便得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.

现给出下列集合和运算：

①，为整数的加法.

②为整数的乘法.

③，为平面向量的加法.

④，为多项式的加法.

⑤，为复数的乘法.

其中G关于运算为“融洽集”的是.（写出所有“融洽集”的序号）.

[解题思路]准确理解题意，从“新运算”的定义入手，逐一检验.

[解答]对于①，两个非负整数的和仍是非负整数，即满足

（1）；

对于一切非负整数，取，故满足

（2）∴①是“融洽集”.对于②满足

（1），而不满足

（2），故②不是“融洽集”，对于③，满足

（1），取.即满足

（2），故③是“融洽集”，对于④，不满足

（1），如则，故④不是“融洽集”.对于⑤不满足

（1），如，，则，故⑤不是“融洽集”.故填①③.

41.对于集合N={1，2，3，…，n}及其它的每个非空子集，定义一个“交替和”如下：

按照递减的次序重新排我该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，当集合N中的n=1时，它的闪替和S1=1；

当集合N中的n=2时，集合N={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2-1）=4.请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=____.

.点拔：

对于任一个不含元素n的子集A，加入一个元素n后成集B，则集合A与集合B“交替和”的和为n.这种构造的集合A集合与集合B是一一对应的，各有2n-1个，切每一对集合的“交替和”的和为n，故非空子集的“交集和”的总和Sn=n·

2n-

42.若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则

（1）是E的第____个子集；

（2）E的第211个子集是_______

（1）5.

（2）E的第211个子集是_______

43.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、

（除数），则称是一个数域，例如有理数集就是数域，有下列命题：

①数域必含有这两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集，则数集必为数域；

④数域必为无限集；

则其中正确命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上①④

44.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。

下列命题：

①集合S＝{a＋bi|为整数，为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.

其中真命题是（写出所有真命题的序号）①②

45.对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必

定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个

点集的图形如右（阴影区域及其边界）：

其中为凸集

的是

（2）（3）（写出所有凸集相应图形的序号）。

46.若点集，，则点集

所表示的区域的面积为___________

47.将集合的元素分成不相交的三个子集：

，其中，＜＜＜，且，则集合为：

＿＿＿＿＿＿.

48.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为.

解析：

22010．令f（x）=（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x2011）,问题中要求的答案为f（x）的展开式中，x

奇次项的系数和．故所求的答案为（f

（1）－f（－1））=22010.

49.在集合中，末位数字为的元素个数为．

．

解：

将集合中的每个数都截去其末位数字，都会得到集合中的数，而中形如的数，皆可看成由中的元素后面添加数字而得到；

故中形如的元素个数，等于的元素个数，即个．

50.设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为185．

51.设数集，而两两之和构成集合，则集合．

或．

设，由于集中有个元，即知两两的和互不相同，

因，且，只有两种情况：

．，则，由

，得，进而得，；

．，则，于是

，得，进而得，．60.已知集合，若非空集合满足：

52.已知集合，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和（例如，A={2,3,8}，则可求得和为（-1）2×

2+（-1）3×

3+（-1）8×

8=7）,对的所有非空子集，这些和的总和为.

因为S={2，3，…，9}，对于每个k（k=2,3,…,9），在总和中出现27次，故总和为

53.已知两个集合A=，B=，若A∩B≠，则整数a的值为.

由题意知，方程组

有整数解（x，y），x>

0.显然a≠0，y<

0，从而a<

0.消去y，可得

即3a2-2a≤9，由于a是负整数，所以a只能等于－1.

当a=-1时，，所以a=-1

54.对于非空实数集，记．设非空实数集合，若时，则．现给出以下命题：

①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；

②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；

③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；

④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，

其中正确的命题是1、4．（写出所有正确命题的序号）

55.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：

①属于，属于；

②中任意多个元素的并集属于；

③中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合：

④．

其中是集合上的拓扑的集合的序号是．

【解析】②④．

①不是拓扑，因为，，但；

②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；

③不是拓扑，因为全集；

④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．

56.在平面直角坐标系中，点集，，则

⑴点集所表示的区域的面积为_____；

⑵点集所表示的区域的面积为．

【解析】；

；

点集就是整个单位圆；

点集所表示的区域是如图所示的直角三角形，其中，．

⑴点集是将点集中的所有点横坐标加纵坐标加得到的，即都进行了一个向量的平移，所以整体上集合也按照向量进行了平移，得到的点集还是一个半径为的圆，圆心在，所以面积依旧是；

⑵点集实际上可以写成：

，其中看成是按照向量的平移得到的点集．

而得到的是以为圆心半径为的圆，所以就是所有圆心在里半径为的圆的并；

如图所示：

当半径为的圆在边界上滑动时，分别得到矩形，矩形，矩形；

在顶点滚动时，得到三个扇形；

所以最终就是图示阴影部分．不难求得面积

【点评】解决本题的关键在于发现实质是的平移，是的全体平移的并．如果只从集合的描述性表示入手的话是很抽象的．本题可以推广到一般情形：

如果是两个闭图形，则都是的全体平移的并．

57.已知集合,,使得集合A中所有整数的元素和为28,则a的范围是__________.

58.设A和B是从集合M={a,b,c,d}的子集中选出的2个不同的非空真子集，且A和B满足，那么共有________中不同的选法。

36.

59.已知集合,有下列命题

①若　则；

②若则；

③若则的图象关于原点对称；

④若则对于任意不等的实数，总有成立.

其中所有正确命题的序号是②③

三、解答题

60.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合.已知，.

（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；

（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；

（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？

（Ⅰ），，.

（Ⅱ）根据题意可知：

对于集合，①若且，则；

②若且，则.

所以要使的值最小，2，4，8一定属于集合；

1，6，10，16是否属于不影响的值；

集合不能含有之外的元素.

所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，取到最小值4.

（Ⅲ）因为，

所以.

由定义可知：

.

所以对任意元素，，

.

所以.所以.

由知：

所以.所以，即.

因为，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为.

61.若集合，其中，且。

如果，且中的所有元素之和为403.

（1）求；

（2）求集合。

（1）由可知必为某两个正整数的平方，而，故必有

（2）由

（1）知，而

于是又必有于是

中的所有元素之和为403

因为

，逐一检验：

当时：

由

当时，必须有，这与矛盾

综上所述

62.已知集合A的元素全为实数，且满足：

若a∈A，则∈A.

（1）若a=2,求出A中其他所有元素.

（2）0是不是集合A中的元素？

请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.

（3）根据

（1）

（2），你能得出什么结论？

请证明你的猜想（给出一条即可）.

（1）由2∈A,得=-3∈A.又由-3∈A，得∈A.

再由-∈A，得∈A.而∈A时，=2∈A.

故A中元素为2，-3，-，.

（2）0不是A的元素.若0∈A，则=1∈A，而当1∈A时，不存在，故0不是A的元素.取a=3,可得A={3,-2,-}.

（3）猜想：

①A中没有元素-1，0，1；

②A中有4个元素，且每两个互为负倒数.

证明：

①由上题，0、1A，若0∈A，则由=0,得a=-1.

而当=-1时，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.

②设a1∈A,则a1∈Aa2=∈Aa3==-∈Aa4==∈Aa5==a1∈A.

又由集合元素的互异性知，A中最多只有4个元素：

a1,a2,a3,a4,且a1a3=-1,a2a4=-1,显然a1≠a3,a2≠a4.若a1=a2,即a1=，得a12+1=0,此方程无解；

同理，若a1=a4,即a1=,此方程也无实数解.故a1≠a2,a1≠a4.∴A中有4个元素.

63.己知集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f（f（x））},其中f（x）=x2+ax+b（a,b∈R），

（1）AB

（2）若A只含有一个元素，则A=B.

（1）

（2）设A={c}，即二次方程f（x）-x=0有惟一解c，即c为f（x）-x=0的重根.

∴f（x）-x=（x-c）2即f（x）=（x-c）2+x,于是f（f（x））=（f（x）-c）2+f（x）,

f（f（x））-x=（f（x）-c）2+f（x）-x=[（x-c）2+x-c]2+（x-c）2=0

∴

故f（f（x））=x也只有惟一解x=c，即B={c}.所以A=B

64.已知集合是满足下列性质的函数的全体：

在定义域内存在，使得成立．

（Ⅰ）函数是否属于集合？

说明理由；

（Ⅱ）设函数，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：

函数.

（1）若，则在定义域内存在，使得化简得，

∵方程无解，∴．

（2），有解且

法一：

利用值域得

法二：

利用方程有解得

（3）

∵函数图象与函数的图象交于点，

则，所以其中，

∴，即

65.设a，b为常数，：

把平面上任意一点

（a，b）映射为函数

（1）证明：

不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：

当，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.

解:

（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，

即对一切实数x均成立.

特别令x=0，得a=c；

令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数.

（2）当时，可得常数a0，b0，使

=

由于为常数，设是常数.

从而.

（3）设，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），则M1的原象是

消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆.

66.设集合由满足下列两个条件的数列构成：

②存在实数，使（为正整数）.

⑴在只有项的有限数列，中，其中；

试判断数列，是否为集合的元素；

⑵设是各项为正的等比数列，是其前项和，，，

证明数列；

并写出的取值范围；

⑶设数列，且对满足条件的的最小值，都有（）．

求证：

数列单调递增．

⑴对于数列，取，显然不满足集合的条件①，

故不是集合中的元素，

对于数列，当时，

不仅有，，，而且有，

显然满足集合的条件①②，

故是集合中的元素．

⑵∵是各项为正数的等比数列，是其前项和，