《数学奥林匹克专题讲座》第15讲 离散最值问题Word文档下载推荐.docx

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为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷

2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。

所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。

　　例3红星小学的礼堂里共有座位24排，每排有30个座位，全校650个同学坐到礼堂里开会，至少有多少排座位上坐的学生人数同样多？

从极端情形考虑，假设24排座位上坐的人数都不一样多，那么最多能坐

　　假设只有2排座位上坐的学生人数同样多，那么，最多能坐

　　假设只有3排座位上坐的学生人数同样多，那么，最多能坐

　　而题中说全校共有学生650人，因此必定还有（650－636=）14人要坐在这24排中的某些排座位上，所以其中至少有4排座位上坐的学生人数同样多。

（1）若问最多有多少排座位上坐的学生人数同样多，你会解吗？

这个问题留给读者研究。

（2）从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。

如例1中从最不凑巧的情形看，用n把钥匙开1把锁要开n次才能打开，例2从摸出的8个球全是红球这种极端情形入手，再进行逐步调整。

本题实质上是确定n的最小值，利用被11整除的数的特征知：

一个数能被11整除，当且仅当该数的偶位数字的和与奇位数字的和之差能被11整除。

该数的偶位数字之和为18n＋2，奇位数字之和为10n＋5。

两者之差为

　　18n＋2-（10n＋5）=8n-3。

　　要使（8n-3）为11的倍数，不难看出最小的n=10，故所求最小数为

本题采用分析、推理的方法来确定最值，这也是解离散最值问题的一种常用方法。

×

EFG的最大值与最小值相差多少？

由右式知，A=1，D＋G=3或13，由于A，D，G为不同数字，故D＋G≠3，因此D+G＝13；

C+F=8或18，但C≠F，故只有C＋F=8，

数，为使数字不重复，只有取E=7（B=2），F=5（C=3），G=9（D=4），

E=2（B=7），F=3（C=5），G＝4（D=9），即当

　　1234×

759-1759×

234

　　=1234×

（234＋525）-（1234＋525）×

　　＝（1234—234）×

525=525000。

　　例6某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。

如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

　　解法1：

只需求车上最多有多少人。

依题意列表如下：

　　由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。

本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。

所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。

　　解法2：

因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此

　　车开出时人数=（以前的站数+1）×

以后站数

　　=站号×

（15-站号）。

　　因此只要比较下列数的大小：

　　1×

14，2×

13，3×

12，4×

11，5×

10，

　　6×

9，7×

8，8×

7，9×

6，10×

5，

　　11×

4，12×

3，13×

2，14×

1。

　　由这些数，得知7×

8和8×

7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。

此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。

这种方法的大意是：

将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；

或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

　　例7在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。

要求：

（1）算式的结果等于37；

（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。

那么，这些减数的最大乘积是多少？

把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。

　　因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷

2=9。

对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。

9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×

3×

4＝24，添上加、减号的算式是

　　10＋9＋8＋7＋6＋5-4-3-2＋1＝37。

　　例8设a1，a2，a3，a4，a5，a6是1到9中任意6个不同的正整数，并且a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6。

试用这6个数分别组成2个三位数，使它们的乘积最大。

　　分析与解：

由于a1，…，a6具体大小不清楚，因此先取特殊数1，2，3，4，5，6这6个不同的数考虑。

要使2个三位数的乘积最大，必须使这2个数的百位数最大，应分别是6，5；

而十位数次大，应分别为4，3，个位数最小，应分别为2，1。

　　因为当2个数之和一定时，这2个数之差越小，它们的乘积越大，所以这2个数是631和542。

　　例98个互不相同的自然数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是44。

问：

剩下的数中，最小的数是多少？

因为最大数与最小数的和是56－44=12，所以最大数不会超过11。

去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2～10之间，且总和为44，这6个数只能是4，6，7，8，9，10。

　　例10采石场采出了200块花岗石料，其中有120块各重7吨，其余的每块各重9吨，每节火车车皮至多载重40吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？

每节车皮所装石料不能超出5块，故车皮数不能少于200÷

5=40（节），而40节车皮可按如下办法分装石料：

每节装运3块7吨的和两块9吨的石料，故知40节可以满足要求。

　　例11用若干个形如图1的图形盖住一个尺寸为6×

12的矩形（允许图形伸出矩形之外）。

至少需要多少个形如图1的图形？

并说明理由。

将图1去掉1个小方格，可得图2，用2个图2可以盖住3×

6的矩形，推知用8个图2可以盖住6×

12的矩形，从而用8个图1也能盖住6×

12的矩形。

6×

12的矩形有72个方格，而7个图1共有7×

10=70（个）方格，7个图1盖不住6×

12的矩形，所以至少需要8个。

　　例12把1，2，3，…，12填在左下图的12个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？

为什么？

并请你设计一种填法，满足你的结论。

因为1+2＋3＋…＋12=78，78×

2÷

12＝13，所以n≥13。

又考虑到与12相邻的数最小是1和2，所以n至少是14。

右上图是一种满足要求的填法。

“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。

练习15

　　1.一排有50个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？

最大值是多少？

　　3.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小正整数。

　　4.命题委员会为5～10年级准备数学奥林匹克试题，每个年级各7道题，而且都恰有4道题跟任何其它年级不同。

试问，其中最多可以有多少道不同的试题（指各个年级加在一起）？

　　5.如果10个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这10个奇数中最小的一个是多少？

　　6.某城市设立1999个车站，并打算设立若干条公共汽车线路。

（1）从任何一站上车，至多换一次车就可以到达城市的任一站；

（2）每一个车站，至多是两条线路的公共站。

　　问：

这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路？

　　7.23个不同的自然数的和是4845。

这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？

写出你的结论，并说明理由。

　　8.两个偶数的倒数之和与两个奇数的倒数之和相等，这样的偶数对和奇数对要求是不同的偶数和奇数。

满足这个条件的偶数对的两个偶数之和的最小值是多少？

练习15

　　1.17人。

只要两个人之间空的座位不多于2个，便可满足题设条件。

50÷

3=16……2，所以原来至少有16+1=17（人）就座。

之值最大，可知a-b=1，从而a+b之值要尽可能大，据此a=100，b=99，所

　　3.1444。

平方数末位只能为0，1，4，5，6，9。

因为111，444，555，666，999均非平方数，而1000，1111也不是平方数，但1444=382，故满足题设条件的最小正整数是1444。

　　4.33道。

显然，当每道题至多为两个年级所公用时，题目的数量达到最多，此时不同的试题共有

　　4×

6+（3×

6）÷

2=33（道）。

　　例如，每个年级的第4～7题均与其他年级不同，而第1～3题，5，6年级相同，7，8年级相同，9，10年级相同，此时恰有33道不同的试题。

　　5.79。

9个不同的最大的两位奇数99，97，95，93，91，89，87，85，83的和是819，898-819=79，所以10个奇数中最小的是79。

　　6.63条。

设这个城市设立了n条公共汽车线路。

由

（1）

（2）可知，任何两条线路必有公共的车站，所以每条线路至少有（n-1）个车站。

n条线路至少有n（n-1）个车站。

由于每一个车站都有可能是两条线路的公共车站

个车站，于是有

　　满足上述不等式的最大整数是n=63。

也就是说这个城市最多可以开辟63条公共汽车线路。

　　7.17。

设这23个彼此不同的自然数为

　　a1，a2，…，a22，a23，

　　并且它们的最大公约数是d，则

　　a1=db1，a2=db2，…，a22=db22，a23=db23。

　　依题意，有

　　　　　　　　　　　　　　　　4845=a1+a2+…+a22+a23

　　=d（b1+b2+…+b22+b23）。

　　因为b1，b2，…，b22，b23也是彼此不等的自然数，所以

　　b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276。

　　因为4845=d（b1+b2+…+b22+b23）≥276×

d，所以

　　又因为4845=19×

17×

15，因此d的最大值可能是17。

　　当a1=17，a2=17×

2，a3=17×

3，…，a21=17×

21，a22=17×

22，a23=17×

32时，得

　　　a1+a2+…+a22+a23

　　=17×

（1+2+…+22）+17×

32

253+17×

32=17×

285=4845。

　　而（a1，a2，…，a22，a23）=17。

所以d的最大值等于17。

　　8.16。

我们先证明这样的两个偶数之和必为4的倍数。

因为两个奇数的倒数之和为

　　另一方面，两个偶数的倒数之和为

　“偶+偶”是8的倍数。

不合条件；

　　当两偶数和为16时，有