2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2Word文档格式.doc

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”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

5.设，满足约束条件，则的最小值是（）

A．B．C．1D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）

A．2

B．3

C．4

D．5

9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）

A．2B．

C．D．

10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

11.若是函数的极值点，则的极小值为（）

A.B.C.D.1

12.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）

A.B.C.D.

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．

14.函数（）的最大值是．

15.等差数列的前项和为，，，则．

16.已知是抛物线：

的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17.（12分）

的内角所对的边分别为，已知，

（1）求；

（2）若，的面积为2，求．

18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：

kg）某频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

19.（12分）

如图，四棱锥中，侧面为等比三角形且垂直于底面，是的中点.

（1）证明：

直线平面PAB

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值

20.（12分）

设为坐标原点，动点在椭圆：

上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：

过点且垂直于的直线过的左焦点.

21.（12分）

已知函数，且。

（2）证明：

存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修4-5：

不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D

7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

13.1.96 14.1 15. 16.6

17.（12分）解：

（1）由题设及得，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理及得

所以

解：

（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于50”.

由题意知

旧养殖法的箱产量低于50的频率为

，

故的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50的频率为

故的估计值为0.66

因此，事件的概率估计值为

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量

由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为

箱产量低于的直方图面积为

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

（1）取的中点，连接，

因为是的中点，

所以，

由

得，

又，

四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

故平面

（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

设，则

因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，

即 ①

又在棱上，设，则

②

由①，②解得（舍去），

所以，从而

设是平面的法向量，则

即

所以可取，

于是

因此二面角的余弦值为

（1）设，，

则

由得

因为在上，所以

因此点的轨迹方程为

（2）由题意知

由得

又由

（1）知，故

所以，即.

又过点存在唯一直线垂直于，

所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

（1）的定义域为

设，则等价于

因为，

故，

而，

得

若，则

当时，单调递减；

当时，单调递增

所以是的极小值点，故

综上，

（2）由

（1）知

当时，；

当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；

因为，所以是的唯一极大值点.

由得，故.

由得.

因为是在的最大值点，由得

.

22.解：

（1）设的极坐标为，的极坐标为.

由题设知

由得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为

（2）设点的极坐标为.

由题设知，

于是面积

当时，取得最大值

所以面积的最大值为

23.解：

（1）

（2）因为

所以，因此.