知识梳理与自测人教A版文科数学《 111随机事件的概率与古典概型》Word文档下载推荐.docx
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（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
（4）概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
（5）对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
4．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
5．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
6．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝.
7．古典概型的概率公式
P（A）＝.
概念方法微思考
1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
提示 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？
提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥．
3．任何一个随机事件与基本事件有何关系？
提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和．
4．如何判断一个试验是否为古典概型？
提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：
有限性和等可能性．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）事件发生的频率与概率是相同的．（ ×
）
（2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（ √ ）
（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．（ ×
（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．（ ×
（5）从市场上出售的标准为500±
5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．（ ×
题组二 教材改编
2．[P121T4]一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
答案 D
解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
3．[P127例3]一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A.B.
C.D.
解析 抽取两张卡片的基本事件有：
（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共6种，和为奇数的事件有：
（1,2），（1,4），（2,3），（3,4），共4种．
∴所求概率为＝.
4．[P133T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．
答案
解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×
6＝36（种）可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.
题组三 易错自纠
5．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是（ ）
A．必然事件B．随机事件
C．不可能事件D．无法确定
答案 B
解析 抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．
6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<
0成立的事件发生的概率为________．
解析 由题意知（a，b）的所有可能结果有4×
4＝16（种），
其中满足a－2b＋4<
0的有（1,3），（1,4），（2,4），（3,4），共4种结果．故所求事件的概率P＝＝.
7．（2018·
济南模拟）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______．
答案 0.35
解析 ∵事件A＝{抽到一等品}，且P（A）＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为
P＝1－P（A）＝1－0.65＝0.35.
题型一 随机事件
命题点1 随机事件的关系
例1
（1）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡
答案 A
解析 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
（2）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．
①A与D为对立事件；
②B与C是互斥事件；
③C与E是对立事件；
④P（C∪E）＝1；
⑤P（B）＝P（C）．
答案 ①④
解析 当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；
当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；
显然A与D是对立事件，①正确；
C∪E为必然事件，P（C∪E）＝1，④正确；
P（B）＝，P（C）＝，⑤不正确．
命题点2 随机事件的频率与概率
例2（2017·
全国Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×
450－4×
450＝900；
若最高气温位于区间[20,25），则Y＝6×
300＋2（450－300）－4×
450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×
200＋2（450－200）－4×
450＝－100，
所以，Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
命题点3 互斥事件与对立事件
例3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解 方法一 （利用互斥事件求概率）
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P（A1）＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，
P（A4）＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球是红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝.
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝＋＋＝.
方法二 （利用对立事件求概率）
（1）由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P（A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P（A3）－P（A4）＝1－－＝.
（2）因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4）＝1－＝.
思维升华
（1）准确把握互斥事件与对立事件的概念
①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
（2）判断互斥、对立事件的方法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；
两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
（3）概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
（4）随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
（5）求复杂事件的概率的两种方法
求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法
①将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．
②若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
跟踪训练1
（1）某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
①若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 ①设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
②设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×
1000＝100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×
120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
（2）经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
1
3
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.04
求：
①至多2人排队等候的概率；
②至少3人排队等候的概率．
解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，
所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
②记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D＋E＋F，
所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
题型二 古典概型
例4
（1）（2017·
全国Ⅱ）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.
（2）袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．
解析 设两黄球分别为黄1，黄2，设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：
（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2），共6种，事件A包含5种，故P（A）＝.
（3）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：
以O为起点，从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取2个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>
0，就去打球，若X＝0，就去唱歌，若X<
0，就去下棋，则小波不去唱歌的概率是________．
解析 根据题意可知，X的所有可能取值为－2，－1,0,1.数量积为－2的有·
，共1种；
数量积为－1的有·
，·
，共6种；
数量积为0的有·
，共4种；
数量积为1的有·
，共4种，故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15（种），其中X≠0的情况有1＋6＋4＝11（种），故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P＝.
引申探究
1．本例
（2）中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．
解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为（1,2），（1,4），（2,3），（3,4），共4种，
所以P（A）＝＝.
2．本例
（2）中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．
解 基本事件为（白，白），（白，红），（白，黄），（白，黄），（红，红），（红，白），（红，黄），（红，黄），（黄，黄），（黄，白），（黄，红），（黄，黄），（黄，黄），（黄，白），（黄，红），（黄，黄），共16种，
其中颜色相同的有6种，
故所求概率P＝＝.
思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
跟踪训练2
（1）（2016·
全国Ⅲ）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）
答案 C
解析 由题意可知，
共15种可能性，而只有1种是正确的．
∴输入一次密码能够成功开机的概率为.
（2）（2018·
自贡模拟）已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f（x）＝ax2－2bx在区间（1，＋∞）上为增函数的概率是（ ）
解析 ∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，
∴基本事件总数n＝3×
4＝12.
函数f（x）＝ax2－2bx在区间（1，＋∞）上为增函数，
①当a＝0时，f（x）＝－2bx，符合条件的只有（0，－1），即a＝0，b＝－1；
②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有（1，－1），（1,1），（2，－1），（2,1），共4种．
∴函数f（x）＝ax2－2bx在区间（1，＋∞）上为增函数的概率是P＝.
题型三 古典概型与统计的综合应用
例5 某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额（单位：
万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本数据的平均数；
（2）若网购金额（单位：
万元）不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
（3）从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．
解
（1）由题意知，样本数据的平均数
＝＝12.
（2）样本中优秀服务网点有2个，概率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×
＝30（个）．
（3）样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4），共15种，
记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），共8种，
故所求概率P（M）＝.
思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．
跟踪训练3从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：
第一组[155,160），第二组[160,165），…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．
（1）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．
解
（1）由频率分布直方图知，前五组的频率为（0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06）×
5＝0.82，
所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，
人数为0.18×
50＝9，
由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×
5＝0.04，人数为0.04×
50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：
（2）由
（1）知身高在[180,185）内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有两名，设为A，B.
若x，y∈[180,185），有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；
若x，y∈[190,195]，只有AB1种情况；
若x，y分别在[180,185），[190,195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，
事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，
故所求概率为.
概率与统计
例（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
规范解答
解
（1）A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×
＝1,150×
＝3,100×
＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.[6分]
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；
B1，B2，B3；
C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．分
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：
“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P（D）＝，[11分]
即这2件商品来自相同地区的概率为.[12分]
求概率与统计问题的一般步骤
第一步：
根据概率统计的知识确定元素（总体、个体）以及要解决的概率模型；
第二步：
将所有
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