数学应用与建模初步讲义文档格式.docx
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我国著名的数学家华罗庚曾经指出：
“人们对于数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。
”因此，我们在学习数学的时候都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的学习资源，在做中学数学、在实践中体验数学，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高对数学学习的兴趣，并增强学习数学的自信心。
全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。
”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。
也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。
数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象．数学课程应体现“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展”，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程．数学建模重视数学知识，更突出数学思想方法，让学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动，在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。
本课程主要是帮助学生用所学的初中知识建立数学模型来解决生活中的实际问题，进而培养学生应用数学的意识。
第1讲数学应用与建模课程的概述
1.1原型与模型
原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。
模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
1.2数学模型及其分类
1.2.1数学模型
数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
它是真实系统的一种抽象。
数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。
1.2.2数学模型的分类
按照不同的分类标准可以得出不同的数学模型
（1）按建立模型的数学方法分为初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型等等。
（2）按模型的表现特性分为确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
（3）按建模目的分有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
（4）按人们对事物发展过程的了解程度分类分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。
①白箱模型是指那些内部规律比较清楚的模型，如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题；
②灰箱模型是指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题，如气象学、生态学、经济学等领域的模型；
③黑箱模型是指一些其内部规律还很少为人们所知的现象，如生命科学、社会科学等方面的问题。
但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
（5）按是否考虑模型的变化分为静态模型和动态模型。
静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。
动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。
经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的。
（6）按应用离散方法或连续方法分类分为离散模型和连续模型。
模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，用微分方程描述的模型都是连续时间模型。
在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。
离散时间模型是用差分方程描述的。
（7）按是否考虑随机因素分类分为确定性模型和随机性模型。
随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。
（8）参数与非参数模型
用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。
建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。
通过理论分析总是得出参数模型。
非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。
运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。
如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。
（9）线性和非线性模型
线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。
线性模型简单，应用广泛。
非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。
在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。
（10）按应用领域分类
生物学数学模型、医学数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模型、管理学数学模型。
1.3数学建模
1.3.1数学建模的起源
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。
经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。
可以说，数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花、结果的。
1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。
教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。
十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。
全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。
本竞赛每年9月（一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。
2008年全国有31个省/市/自治区（包括香港）1023所院校、12846个队（其中甲组10384队、乙组2462队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多。
全国大学生数学建模竞赛需要的知识包括：
第一方面：
数学知识的应用能力。
涉及的数学知识面十分地宽广，但归结起来大体上有以下几类：
1）概率与数理统计；
2）统筹与线轴规划；
3）微分方程；
4）还有与计算机知识相交叉的知识——计算机模拟。
上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？
一个词“自学”，其实对老师而言也不可能样样精通。
数模评卷的负责教师范毅说过“能用最简浅的数学方法解决了别人用高深理论才能解决的答卷是更优秀的答卷”。
华南理工大学95国际金融级的一个女同学叫徐文燕，96年竞赛讲座一开始，她就毛遂自荐，主动介绍自己的情况，要求参加竞赛。
当时她在选拔赛中成绩不突出，她所学的数学课程又比较少，按正常的情况下她不可能获得参赛资格，可是她的进取心特别强，中英文基础好，计算机能力也较强，结果破例吸收了她。
在训练中她肯挑重担，服从分配，又善于学习，结果在1998年春天，她使全队获得了全美数模赛的一等奖。
现在她也被清华大学免试录取成了一名研究生。
第二方面：
计算机的运用能力，一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”（97或2000），掌握电子表格“Excel”的使用；
“Mathematical”软件的使用，最好还具备语言能力。
这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。
第三方面：
论文的写作能力。
建模竞赛中考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。
很多同学做选择题的时候是“高手”但是要清楚地表达自己的想法的就困难重重了，有时一个问题没说清楚学生就又说另一个问题等等，评卷的教师们有一个共识，一遍文章用10来分钟阅读仍然没有引起兴趣的话，这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。
1.3.2数学建模的定义
简单地说：
数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
具体一点说：
数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。
更确切地说：
数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"
解决"
实际问题的一种强有力的数学手段。
数学建模过程流程图
1.3.3数学建模的意义
数学建模具有很强的现实意义。
（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；
高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；
建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。
数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。
在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。
国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。
（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。
一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。
在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。
马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。
展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
第2讲初中阶段数学建模的主要内容
结合初中教学内容可以得到，初中阶段的数学应用建模的主要类型有方程模型、函数模型、不等式模型、几何模型、概率模型、统计模型、其他模型（如数的模型）。
2.1方程（组）模型
初中阶段的方程模型主要有一元一次方程模型、二元一次方程模型、分式方程模型、一元二次方程模型。
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。
诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决
2.2函数模型
初中阶段的函数模型主要有一次（正比例）函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、三角函数模型等
函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。
现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。
2.3不等式（组）模型
主要有一元一次不等式模型和一元一次不等式组模型。
现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。
诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。
2.4几何模型
初中数学阶段的几何模型主要涉及平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（等腰与直角梯形）、圆（含扇形）的基本图形下的相似（三角形）与全等（三角形）、几何变换（对称变换（含中心对称和轴对称变换）、旋转变换、平移变换）。
几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决。
2.5概率模型
求概率估计事件发生的可能性，为实际问题的解决方案提供可靠的指导，在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。
2.6统计模型
通过“三数”、“三差”以及统计图中得出的信息来分析一组数据的特征，从而在实际问题中做出相应的决策。
其中“三数”是指平均数、中位数和众数，“三差”是指极差、方差和标准差。
统计图包括条形统计图、扇形统计图、折线统计图和象形统计图。
随着经济社会的不断发展，统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。
诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。
2.7其他模型
第3讲数学建模的分析方法和分析工具
3.1数学建模的一般方法
一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。
机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。
测试分析将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识。
将这两种方法结合起来也是常用的建模方法，即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数。
分析方法的选择主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定的。
如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义，那么应该以机理分析方法为主。
当然，若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到。
如果对象的内部机理基本上不掌握，模型也不用于分析内部特性，譬如仅用来作输出预报，则可以系统辨识方法为主。
系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识。
我们看到用建模方法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题即构造模型，其次才是用数学工具求解构成的模型。
用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构造等，除了要有广博的知识（包括数学知识和各种实际知识）和足够的经验之外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。
想象力指人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新的形象，是一种形象思维活动。
洞察力指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用哪些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。
类比方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们的运用与想象力、洞察力有密切关系。
类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。
选择什么对象进行类比，比较哪些相似的属性，在一定程度上是靠想象进行的。
将交通流与水流比来建立交通流模型是这方面的例子。
理想化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理想状态，以期更本质地揭示对象的固有规律。
在一定条件下把物体看着质点，把实际位置看作数学上的点、线等都是理想化的结果。
建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。
直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。
灵感指在人们有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。
二者都具有突发性，且思维者本人往往说不清它的来路和道理。
具体的数学建模的方法
（一）机理分析法。
从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3.逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"
瞬时变化率"
的表达式。
5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
（二）、数据分析法。
从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2…n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
（三）、仿真和其他方法
1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。
①离散系统仿真--有一组状态变量。
②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。
3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。
3.2数学建模初步的分析方法
一筛：
通过阅读实际问题的背景材料，筛选出有用的信息，去掉无用信息，从而简化实际问题背景的信息量，便于进一步理解实际问题。
当实际问题中信息量较大时可以逐一编号。
二找：
有了第一步的筛选，接下来就是仔细斟酌每一个筛选出来的信息，找找里面蕴含的等量关系、不等量关系和数量关系。
三建立：
根据前两步的结果建立适当的数学模型，比如函数、方程、不等式模型等。
建模时注意同一问题可能有多种方法，同一问题的答案可能是多样的
3.3数学建模初步的分析工具
1、表格分析
将实际问题中的因子量用表格的形式表示出来加以分析，找出规律，从而解决问题。
2、线段图分析
在行程问题中可以很好的利用线段图工具分析实际问题。
3、等量关系分析
①和差倍分问题
②行程问题（含相遇问题、追及问题、航程问题等）
路程=速度×
时间
（1）相遇问题
速度和×
相遇时间=两地距离快车行驶的路程+慢车行驶的路程=两地距离
（2）追及问题
速度差×
追及时间=追及距离快车行驶的路程—慢车行驶的路程=原两车距离
③工程问题（含配套问题）
工作总量=工作效率×
工作时间
④销售问题
（1）“金三角”
（2）有关利润的等量关系
利润=售价-成本利润率=
售价=成本×
（1+利润率）
⑤银行存款问题
利息=本金×
利率×
期数本息和=本金+利息
⑥浓度问题
浓度=
⑦其他（如：
数的问题、面积体积问题等）
4、不等量关系分析
不等量关系一般有关键词，因此利用不等量关系分析实际问题时要抓住关键词，如大于、小于、不等于、不操过、不低于、高于、少于、多于等等。
第4讲数学建模的基本流程与步骤
数学建模的几个过程
1、模型准备：
首先要了解问题实际背景，明确建模的目的，搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作。
情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料。
2、模型假设：
根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，可以说是建模的关键一步。
一般地说，一个实际问题不经过简化假设，就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解。
不同的简化假设会得到不同的模型。
假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；
假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作。
通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合。
作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化。
经验在这里也常起重要作用。
3、模型建立
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（常量和变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。
这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路。
当然不能要求对数学学科门门精通，而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解
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