教师版规律题动点题Word下载.docx
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∠DCE=
∠BEC.
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2,
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=
∠ABE1+
∠DCE1=
∠CE1B=
∠BEC;
如图②,∵∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=
∠ABE2+
∠DCE2=
∠CE2B=
…
以此类推,∠En=
∴当∠En=1度时,∠BEC等于2n度.
故答案为:
2n.
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质:
两直线平行,内错角相等的运用.解决问题的关键是作平行线构造内错角,解题时注意:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
4.(2017春•东阳市期末)如图,已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作:
(1)如图①,求证:
∠BEC=∠ABE+∠DCE;
(2)如图②,求证:
∠BE2C=
(3)猜想:
若∠En=α度,那∠BEC等于多少度?
(直接写出结论).
(1)如图①,过E作EF∥AB,
(2)如图2,∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
∴由
(1)可得,
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=
(3)如图2,∵∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,
∠BEC,
∴当∠En=α度时,∠BEC等于2nα度.
5.(2016春•新昌县校级期中)如图,a∥b,直线a,b被直线c所截,AC1,BC1分别平分∠EAB,∠FBA,AC2,BC2分别平分∠EAC1,∠FBC1;
AC3,BC3分别平分∠EAC2,∠FBC2交于点C3…依次规律,得点Cn,则∠C3= 22.5 度,∠Cn=
度.
∵a∥b,
∴∠EAB+∠ABF=180°
,
∵AC1,BC1分别平分∠EAB,
∴∠C1=90°
.
观察,发现规律:
∠C1=90°
,∠C2=
∠C1=45°
,∠C3=
∠C2=22.5°
,∠C4=
∠C3=11.25°
,…,
∴∠Cn=
°
22.5;
【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线,解题的关键是找出变化规律“∠Cn=
”.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行线以及角平分线找出部分∠Cn的度数,根据数据的变化找出变化规律是关键.
6.(2013秋•翠屏区校级期末)如图,AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+…+∠2n= 180(2n﹣1) 度.
在转折的地方依次作AB的平行线,
根据两直线平行,同旁内角互补得∠1+∠2+∠3+…+∠2n=180(2n﹣1)度.
故填180(2n﹣1).
【点评】本题重点考查了平行线的性质,但需作辅助线并总结规律.
常出现的问题.
7.(2015春•静宁县校级月考)观察下列各图,寻找对顶角(不含平角):
(1)如图a,图中共有 2 对对顶角;
(2)如图b,图中共有 6 对对顶角;
(3)如图c,图中共有 12 对对顶角;
(4)研究
(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成 (n﹣1)n 对对顶角;
(5)若有2008条直线相交于一点,则可形成 4030056 对对顶角.
(1)如图a,图中共有1×
2=2对对顶角;
(2)如图b,图中共有2×
3=6对对顶角;
(3)如图c,图中共有3×
4=12对对顶角;
(4)研究
(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,
若有n条直线相交于一点,则可形成n(n﹣1)对对顶角;
(5)若有2008条直线相交于一点,则可形成(2008﹣1)×
2008=4030056对对顶角.
【点评】本题考查多条直线相交于一点,所形成的对顶角的个数的计算规律.即若有n条直线相交于一点,则可形成(n﹣1)n对对顶角.
8、27.(2010春•朝阳区校级期中)已知:
AB∥CD
(1)若图
(1),点M在直线AC的右侧,试判断∠A、∠C和∠M的关系,并说明理由;
(2)若图
(2),点M1和点M2在直线AC的右侧,试判断∠A、∠C、∠M1、∠M2的关系,并说明理由;
(3)若图(3),点M1、M2、M3…Mn在直线AC的右侧,试判断∠A、∠C、∠M1、∠M2…∠Mn的关系(直接与出结果,不需要说明理由).
(1)过点M作MN∥AB,
∴MN∥AB∥CD,
∴∠1+∠A=180°
,∠2+∠C=180°
∵∠AMC=∠1+∠2,
∴∠A+∠B+∠AMC=360°
;
(2)分别过点M1和点M2作M1N1∥AB,M2N2∥AB,
∴M1N1∥M2N2∥AB∥CD,
,∠2+∠3=180°
,∠4+∠C=180°
∵∠BM1M2=∠1+∠2,∠M1M2D=∠3+∠4,
∴∠A+∠BM1M2+∠M1M2D+∠C=540°
(3)由
(1)
(2)可得规律:
∠A+∠C+∠M1+∠M2+…+∠Mn=180°
(n+1).
【点评】此题考查了平行线的性质,考查了学生的观察归纳能力.此题难度较大,解题的关键是注意掌握两直线平行,同旁内角互补定理的应用,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
9.(2017春•嘉祥县期中)
(1)如图甲,AB∥CD,∠2与∠1+∠3的关系是什么?
并写出推理过程;
(2)如图乙,AB∥CD,直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系;
(3)如图丙,AB∥CD,试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗?
若有,请直接写出,并将它们推广到一般情况,用一句话写出你的结论.
(1)∠2=∠1+∠3.
证明:
过点E作EF∥AB,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠BEF=∠1,∠CEF=∠3,
∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;
(2)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.
理由:
分别过点E,G,M,作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN,
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5,
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5;
(3)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
分别过点E,G,M,K,P,作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,KL∥AB,PQ∥AB,
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ,
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠KMN=∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7,
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
结论:
开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等.
【点评】此题考查了平行线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
10.(2017春•丰城市期末)数学思考:
(1)如图1,已知AB∥CD,探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,并证明你的结论
推广延伸:
(2)①如图2,已知AA1∥BA1,请你猜想∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、∠A3的关系,并证明你的猜想;
②如图3,已知AA1∥BAn,直接写出∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
拓展应用:
(3)①如图4所示,若AB∥EF,用含α,β,γ的式子表示x,应为 B
A.180°
+α+β﹣γB.180°
﹣α﹣γ+β C.β+γ﹣α D.α+β+γ
②如图5,AB∥CD,且∠AFE=40°
,∠FGH=90°
,∠HMN=30°
,∠CNP=50°
,请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 30°
.
(1)证明:
如图1,过点P作OP∥AB,
∴OP∥AB∥CD,
∴∠1=∠PAB,∠2=∠PCD,
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD,
即∠APC=∠PAB+∠PCD;
(2)①如图2,过点A2作A2O∥AA1,
由
(1)可知∠B1=∠A1+∠1,∠B2=∠2+∠A3,
所以,∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3;
②如图3,由①可知:
∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1;
(3)①如图4,过∠x的顶点作CD∥AB,
则∠x=(180°
﹣α)+(β﹣γ)=180°
﹣α﹣γ+β,
②如图5,由
(1)可知,40°
+∠GHM+50°
=∠G+∠M,
∵∠G=90°
,∠M=30°
∴∠GHM=90°
+30°
﹣40°
﹣50°
=30°
B;
30°
【点评】本题考查了平行线的性质,熟练掌握性质并作出辅助线是解题的关键,难点在于总结出A系列的角的和等于B系列的角的和.
11.(2009•西宁)阅读下列材料并填空:
(1)探究:
平面上有n个点(n≥2)且任意3个点不在同一条直线上,经过每两点画一条直线,一共能画多少条直线?
我们知道,两点确定一条直线.平面上有2个点时,可以画
条直线,平面内有3个点时,一共可以画
条直线,平面上有4个点时,一共可以画
条直线,平面内有5个点时,一共可以画 10 条直线,…平面内有n个点时,一共可以画
条直线.
(2)迁移:
某足球比赛中有n个球队(n≥2)进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场),一共要进行多少场比赛?
有2个球队时,要进行
场比赛,有3个球队时,要进行
场比赛,有4个球队时,要进行 6 场比赛,…那么有20个球队时,要进行 190 场比赛.
(1)当平面上有2个点时,可以画
=
条直线;
当平面上有3个点时,可以画
=3条直线;
当平面上有n(n≥2)个点时,可以画
因此当n=5时,一共可以画
=10条直线.
(2)同
(1)可得:
当比赛中有n(n≥2)个球队时,一共进行
场比赛,
因此当n=4时,要进行
=6场比赛.当n=20时,要进行
=190场比赛.
【点评】此题是探求规律题,读懂题意,找出规律是解题的关键.
12.(2008秋•无锡期末)
(1)如图1中,三条直线a、b、l1两两相交,则图中共有 6 对同旁内角;
(2)如图2中,若l2∥l1,则图中共有 16 对同旁内角;
(3)如图3中,若ln∥…l2∥l1,则图中共有 2n2+4n 对同旁内角.
(1)直线a,b被直线l1所截,有2对同旁内角,直线a,l1被直线b所截,也有2对同旁内角,直线b,l1被直线la所截,也有2对同旁内角,所以图中共有6对同旁内角;
(2)图2中,l2∥l1,则图中共有6×
2+4×
1=16对同旁内角;
(3)图3中,若ln∥…l2∥l1,则图中共有6n+4(1+2+3+…+n﹣1)对,即2n2+4n对同旁内角.
【点评】本题是规律总结的问题,应运用数形结合的思想求解.
动点题汇总
三.解答题(共21小题)
1.(2017秋•硚口区期末)如图,直线CD与EF相交于点O,∠COE=60°
,将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合,OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数;
(2)将三角尺AOB以每秒3°
的速度绕点O顺时针旋转,同时直线EF也以每秒9°
的速度绕点O顺时针旋转,设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时,直线EF平分∠AOB;
②若直线EF平分∠BOD,直接写出t的值.
(1)∵∠COE=60°
,OA平分∠COE,
∴∠AOC=30°
又∵∠AOB=90°
∴∠BOD=180°
﹣30°
﹣90°
=60°
(2)①分两种情况:
当OE平分∠AOB时,∠AOE=45°
即9t+30°
﹣3t=45°
解得t=2.5;
当OF平分∠AOB时,AOF=45°
即9t﹣150°
解得t=32.5;
综上所述,当t=2.5s或32.5s时,直线EF平分∠AOB;
②t的值为12s或36s.
分两种情况:
当OE平分∠BOD时,∠BOE=
∠BOD,
即9t﹣60°
﹣3t=
(60°
﹣3t),
解得t=12;
当OF平分∠BOD时,∠DOF=
即3t﹣(9t﹣240°
)=
(3t﹣60°
),
解得t=36;
综上所述,若直线EF平分∠BOD,t的值为12s或36s.
【点评】本题主要考查了角平分线的定义,旋转的速度,角度,时间的关系,应用方程的思想是解决问题的关键,还需要通过计算进行初步估计位置,掌握分类思想,注意不能漏解.
2.(2017春•南安市期末)“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:
∠BAN=2:
1.
(1)填空:
∠BAN= 60 °
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°
,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?
若不变,请求出其数量关系;
若改变,请说明理由.
(1)∵∠BAM+∠BAN=180°
,∠BAM:
1,
∴∠BAN=180°
×
60;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
①当0<t<90时,如图1,
∵PQ∥MN,
∴∠PBD=∠BDA,
∵AC∥BD,
∴∠CAM=∠BDA,
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•(30+t),
解得t=30;
②当90<t<150时,如图2,
∴∠PBD+∠BDA=180°
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•(30+t)+(2t﹣180)=180,
解得t=110,
综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
(3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.
设灯A射线转动时间为t秒,
∵∠CAN=180°
﹣2t,
∴∠BAC=60°
﹣(180°
﹣2t)=2t﹣120°
又∵∠ABC=120°
﹣t,
∴∠BCA=180°
﹣∠ABC﹣∠BAC=180°
﹣t,而∠ACD=120°
∴∠BCD=120°
﹣∠BCA=120°
﹣t)=t﹣60°
∴∠BAC:
∠BCD=2:
即∠BAC=2∠BCD,
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化.
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用,解决问题的关键是运用分类思想进行求解,解题时注意:
两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同旁内角互补.
3.(2017秋•邢台期末)已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角,∠BOC=50°
,将一个三角板的直角顶点放在点O处(注:
∠DOE=90°
,∠DEO=30°
).
(1)如图1,使三角板的短直角边OD与射线OB重合,则∠COE= 40°
(2)如图2,将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转,若OE恰好平分∠AOC,请说明OD所在射线是∠BOC的平分线.
(3)如图3,将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=
∠AOE时,求∠BOD的度数.
(4)将图1中的三角板绕点O以每秒5°
的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,OE恰好与直线OC重合,求t的值.
(1)∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°
又∵∠BOC=50°
∴∠COE=40°
(2)∵OE平分∠AOC,
∴∠COE=∠AOE=
∠COA,
∵∠EOD=90°
∴∠AOE+∠DOB=90°
,∠COE+∠COD=90°
∴∠COD=∠DOB,
∴OD所在射线是∠BOC的平分线;
(3)设∠COD=x°
,则∠AOE=4x°
∵∠DOE=90°
,∠BOC=50°
∴5x=40,
∴x=8,
即∠COD=8°
∴∠BOD=58°
(4)如图,
在一周之内,当OE与射线OC的反向延长线重合时,三角板绕点O旋转了140°
5t=140,
t=28;
当OE与射线OC重合时,三角板绕点O旋转了1320°
5t=320,
t=64.
所以当t=28秒或64秒时,OE与直线OC重合.
综上所述,t的值为28或64.
40°
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算,能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键.
4.(2017春•上虞区期末)如图1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120°
(1)说明OB∥AC成立的理由.
(2)如图2所示,若点E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC的度数.
(3)在
(2)的条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB:
∠OFB的比值是否随之发生变化?
若变化,请说明理由;
若不变,请求出这个比值.
(4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA时,求∠OCA的度数.
(1)∵BC∥OA,
∴∠B+∠O=180°
∴∠O=180°
﹣∠B=60°
而∠A=120°
∴∠A+∠O=180°
∴OB∥AC;
(2)∵OE平分∠BOF,
∴∠BOE=∠FOE,
而∠FOC=∠AOC,
∴∠EOF+∠COF=
∠AOB=
60°
即∠EOC=30°
(3)比值不改变.
∵BC∥OA,
∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,
∵∠FOC=∠AOC,
∴∠AOF=2∠AOC,
∴∠OFB=2∠OCB,
即∠OCB:
∠OFB的值为1:
2;
(4)设∠AOC的度数为x,则∠OFB=2x,
∵∠OEB=∠AOE,
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°
+x,
而∠OCA=180°
﹣∠AOC﹣∠A=180°
﹣x﹣120°
﹣x,
∵∠OEB=∠OCA,
∴30°
+x=60°
解得x=15°
∴∠OCA=60°
﹣x=60°
﹣15°
=45°
【点评】本题考查了平行线的判定与性质:
同位角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行;
两直线平行,同位角相等;
两直线平行,同旁内角互补.熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
5.(2017春•南沙区期末)已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP.
(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°
,∠DCP=20°
时,求∠APC.
(2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系?
并说明理由.
(1)如图1,过P作PE∥AB,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°
+20°
=80°
(2)∠AKC=
∠APC.
如图2,过K作KE∥AB,
∴KE∥AB∥CD,
∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,
过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK+∠DCK=
∠BAP+