中考数学 以二次函数为基架的压轴题解题通法研究及典型题剖析Word格式.docx

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由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。

8.三角形面积的最大值问题：

①　“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：

（方法1）先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；

然后再利用上面３的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。

最后利用三角形的面积公式

底·

高。

即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。

（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到

，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。

②　“三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）：

先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。

利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。

从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。

9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：

由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。

10、“定四边形面积的求解”问题：

有两种常见解决的方案：

方案

（一）：

连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；

方案

（二）：

过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）

11.“两个三角形相似”的问题：

12.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：

首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。

（若某边底，则只有一种情况；

若某边为腰，有两种情况；

若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。

先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。

解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。

13、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：

这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

进一步有：

①　若是否存在这样的动点构成矩形呢？

先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？

若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

②　若是否存在这样的动点构成棱形呢？

先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？

若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

③　若是否存在这样的动点构成正方形呢？

先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？

和两条对角线是否相等？

若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

14.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：

（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。

）

先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。

（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

15.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：

若夹直角的两边与y轴都不平行：

先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。

若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能使用斜率公式。

补救措施是：

过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

16.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。

①　若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？

若等，该交点合题，反之不合题，舍去。

②　若动点为直角顶点：

先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？

若为-1，则就说明所求交点合题；

反之，舍去。

17.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：

题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。

二、常用公式或结论———破解函数难题的基石

1. 

横线段的长=横标之差的绝对值= 

=

纵线段的长=纵标之差的绝对值=

（2）点轴距离：

点P（

，

）到X轴的距离为

，到Y轴的距离为

。

（3）两点间的距离公式：

若A（

）,B（

）,则AB=

（4）点到直线的距离：

）到直线Ax+By+C=0（其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算）的距离为：

或

（5）中点坐标公式:

），B（

），则线段AB的中点坐标为（

（6）直线的斜率公式：

，则直线AB的斜率为：

（7）两直线平行的结论：

已知直线

①若

② 

若

（8）两直线垂直的结论：

②若

（9）由特殊数据得到或猜想的结论：

① 

已知点的坐标或线段的长度中若含有

、

等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。

②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。

③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜

率k的值，

，则直线与X轴的夹角为

；

则直线与X轴的夹角为

这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。

三、中考二次函数压轴题分析

例1 

如图，抛物线y＝x 

2＋bx＋c（c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3．点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当∠CEF＝∠ABD时，求点E的坐标；

（3）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？

若存在，求点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵OB＝OC＝3，c＜0，∴B（3，0），C（0，－3）

∴y＝x 

2＋bx－3，把B（3，0）代入得：

0＝9＋3b－3，∴b＝－2

∴抛物线的解析式为y＝x 

2－2x－3

（2）作DG⊥x轴于G，CH⊥EF于H

∵y＝x 

2－2x－3＝（ 

x－1 

）2－4，∴D（1，－4）

∴DG＝4，BG＝3－1＝2

设直线BD的解析式为y＝kx＋n

∴3k＋n＝0k＋n＝－4 

解得 

k＝2n＝－6

∴直线BD的解析式为y＝2x－6

设E（m，2m－6）

∵EF⊥x轴，∴CH＝m，EH＝－（ 

2m－6 

）－3

∵∠CEF＝∠ABD，∴tan∠CEF＝tan∠ABD

∴CHEH 

＝ 

DGBG 

42 

＝2，∴m－（2m－6）－3 

＝2

解得m＝ 

65 

，∴E（ 

，－ 

185 

（3）①若∠CEF＝90°

，则CE∥x轴

∴点E的纵坐标为－3，代入y＝2x－6

－3＝2x－6，∴x＝ 

32

∴E1（ 

32 

，－3）

②若∠ECF＝90°

，作CH⊥EF于H

则△CHE∽△FCH，∴CHEH 

FHCH

∴m－（2m－6）－3 

3m 

，解得m＝－3±

32

∵1≤m＜3，∴m＝32－3

∴E2（32－3，62－12）

综上所述，E点坐标为E1（ 

，－3），E2（32－3，62－12）

例2 

如图，直线l：

y＝ 

34 

x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，－1），抛物线y＝ 

12 

x 

2＋bx＋c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（Ⅰ）求n的值和抛物线的解析式；

（Ⅱ）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形．设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值

（Ⅲ）将△AOB绕平面内某点M逆时针旋转90°

得到△A1O1B1（点A1、O1、B1分别与点A、O、B对应），若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．

（Ⅰ）∵直线l：

x＋m经过点B（0，－1），∴m＝－1

∴直线l的解析式为y＝ 

x－1

∵直线l：

x－1经过点C（4，n） 

∴n＝ 

×

4－1＝2

∵抛物线y＝ 

2＋bx＋c经过点B（0，－1）和点C（4，2）

∴12 

c＝－1×

42＋4b＋c＝2 

54 

b＝－c＝－1 

∴抛物线的解析式为y＝ 

2－ 

（Ⅱ）∵直线l：

x－1与x轴交于点A

∴A（43 

，0），∴OA＝ 

43

∵B（0，－1），∴OB＝1，AB＝OA2＋OB2 

53

∵DE∥y轴，∴∠OBA＝∠FED

又∠DFE＝∠AOB＝90°

，∴△OAB∽△FDE

∴OAFD 

OBFE 

ABDE 

，∴43 

FD 

1FE 

53 

DE 

∴FD＝ 

45 

DE，FE＝ 

35 

DE

∴p＝2（ 

FD＋FE 

）＝2（ 

DE＋35 

）＝ 

145 

∵点D在抛物线上，点D的横坐标为t，∴D（t，12 

t 

t－1）

∴E（t，34 

t－1），且0＜t 

＜4

∴DE＝ 

t－1－（ 

t－1 

）＝－ 

2＋2t

∴p＝ 

（－ 

2＋2t 

75 

2＋ 

285 

t（0＜t 

＜4）

∵p＝－ 

t＝－ 

（ 

t－2 

）2＋ 

285

∴当t＝2时，p有最大值 

（Ⅲ）A1（34 

3196 

）或A1（－ 

712 

29288 

提示：

∵△AOB绕平面内某点M逆时针旋转90°

得到△A1O1B1（点A1、O1、B1分别与点A、O、B对应）且△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上

∴顶点O1、B1落在抛物线上或顶点A1、B1落在抛物线上

①当O1、B1落在抛物线上时，则A1O1∥y轴，O1B1∥x轴 

∴O1、B1关于抛物线的对称轴对称 

∵y＝ 

x－1＝ 

x－ 

）2－ 

5732

∴抛物线的对称轴为直线x＝ 

54

∵O1B1＝OB＝1，

∴点O1的横坐标为：

－ 

34

当x＝ 

时，y＝ 

）2 

－1＝－ 

5332

∴O1（34 

5332 

∵A1O1＝AO＝ 

43 

，∴点A1的纵坐标为：

＝－ 

∴A1（34 

②当A1、B1落在抛物线上时

设A1（a，12 

a 

a－1），则B1（a＋1，12 

a－1－ 

∵点B1在抛物线上，∴12 

a＋1 

）－1 

解得a＝－ 

712

∴A1（－ 

） 

注：

文中的数字之间的“空”表示分数线，有些根号不能显示出来。