高中数学经典高考难题集锦解析版11Word文件下载.docx
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(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
9.(2007•)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an﹣1…an=a1即ai=an﹣i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.
(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项
(2)已知{cn}是项数为2k﹣1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1…c2k﹣1构成首项为50,公差为﹣4的等差数列,数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1,则当k为何值时,S2k﹣1取到最大值?
最大值为多少?
(3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,22…2m﹣1成为数列中的连续项;
当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和S2008.
10.(2006•)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
11.(2006•)已知数列{an}中,,点(n,2an+1﹣an)在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令bn=an+1﹣an﹣1,求证数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项;
(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列为等差数列?
若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由.
12.(2006•)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
(3)记,求数列{bn}的前n项Sn,并证明.
13.(2006•)已知数列{xn},{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且(λ为非零参数,n=2,3,4,…).
(1)若x1,x3,x5成等比数列,求参数λ的值;
(2)当λ>0时,证明;
当λ>1时,证明:
.
14.(2006•)已知数列{xn}满足x1=x2=1并且为非零参数,n=2,3,4,…).
(1)若x1、x3、x5成等比数列,求参数λ的值;
(2)设0<λ<1,常数k∈N*且k≥3,证明.
15.(2005•)已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)
(I)证明数列{an+1}是等比数列;
(II)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'
(1)并比较2f'
(1)与23n2﹣13n的大小.
16.(2005•)数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).记.
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
17.(2004•)设P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an.
(1)若C的方程为=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;
(只需写出一个)
(2)若C的方程为(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值;
(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.
18.(2003•)已知数列{an}(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列.
(1)求和:
a1C20﹣a2C21+a3C22,a1C30﹣a2C31+a3C32﹣a4C33;
(2)由
(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.
(3)设q≠1,Sn是等比数列{an}的前n项和,求:
S1Cn0﹣S2Cn1+S3Cn2﹣S4Cn3+…+(﹣1)nSn+1Cnn.
19.(2014秋•周村区校级月考)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
20.(2010•)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.
(2)若对一切k∈N*有a2k>azk﹣1,求c的取值围.
21.(2010•模拟)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.
(1)求x1、x2和xn的表达式;
(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
(3)证明:
y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.
22.(2009•)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*;
(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:
23.(2009•)已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列
(1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N*,有am+am+1=ak?
请说明理由;
(2)若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0)对任意m存在k,有bm•bm+1=bk,试求a、q满足的充要条件;
(3)若an=2n+1,bn=3n试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项,请证明.
24.(2008•)对于每项均是正整数的数列A:
a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):
n,a1﹣1,a2﹣1,…,an﹣1;
对于每项均是非负整数的数列B:
b1,b2,…,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B);
又定义S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b12+b22+…+bm2.设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…).
(Ⅰ)如果数列A0为5,3,2,写出数列A1,A2;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);
(Ⅲ)证明:
对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).
25.(2007•)已知函数f(x)=x2﹣4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示xn+1;
对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2
(Ⅲ)若x1=4,记,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.
26.(2006•)设数列{an}、{bn}、{cn}满足:
bn=an﹣an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),
证明:
{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…)
27.(2006•)已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列,且a>0,d>0.设x0为f(x)的极小值点,在[1﹣]上,f′(x)在x1处取得最大值,在x2处取得最小值,将点(x0,f(x0)),(x1,f′(x1)),(x2,f′(x2,f(x2))依次记为A,B,C.
(Ⅰ)求x0的值;
(Ⅱ)若△ABC有一边平行于x轴,且面积为2+,求a,d的值.
28.(2005•)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:
a0=1,an+1=(4﹣an),n∈N.
(1)证明an<an+1<2,n∈N;
(2)求数列{an}的通项公式an.
29.(2003•)设a>0,如图,已知直线l:
y=ax及曲线C:
y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a).从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}.
(Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)当a=1时,证明.
30.(1977•)在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?
参考答案与试题解析
考点:
其他不等式的解法;
函数单调性的性质.菁优网所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的围即可.
解答:
解:
因为2x(x﹣a)<1,所以,
函数y=是增函数,x>0,所以y>﹣1,即a>﹣1,
所以a的取值围是(﹣1,+∞).
故选:
D.
点评:
本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.
基本不等式.菁优网所有
计算题;
压轴题.
设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S,则v==及0<a<b,利用基本不等式及作差法可比较大小
设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S
则v==
∵0<a<b
∴a+b>0
∴
∵v﹣a===
∴v>a
综上可得,
故选A
本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用,比较法中的比差法在比较大小中的应用.
一元二次不等式的应用.菁优网所有
对函数f(x)判断△=m2﹣16<0时一定成立,可排除D,再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案.
当△=m2﹣16<0时,即﹣4<m<4,显然成立,排除D
当m=4,f(0)=g(0)=0时,显然不成立,排除A;
当m=﹣4,f(x)=2(x+2)2,g(x)=﹣4x显然成立,排除B;
故选C.
本题主要考查对一元二次函数图象的理解.对于一元二次不等式,一定要注意其开口方向、对称轴和判别式.
基本不等式在最值问题中的应用.菁优网所有
已知条件中出现bc,待求式子中有b+c,引导找b,c的不等式
若a,b,c>0且,
所以,
∴,
则(2a+b+c)≥,
故选项为D.
本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式.
先把题设中的三个等式联立可求得a,b和c,再把它们的值代入所求代数式,即可得解.
∵b2+c2=2,c2+a2=2,
∴b2+c2=c2+a2
∴b2=a2
又a2+b2=1,
所以当a=b=,c=﹣时ab+bc+ca有最小值为:
×
+×
(﹣)+×
(﹣)=﹣,
ab+bc+ca的最小值为﹣,
故选B.
本题解题的关键是通过已知条件求得a,b和c值,然后代入即可.
数列的求和;
等差数列的通项公式;
不等式的证明.菁优网所有
证明题;
(1)先根据题设求得a1,进而根据an+1=Sn+1﹣Sn整理得(an+1+an)(an+1﹣an﹣3)=0求得an+1﹣an=3,判断出{an}是公差为3,首项为2的等差数列,则数列的通项公式可得.
(2)把
(1)中的an代入可求得bn,进而求得前n项的和Tn,代入到3Tn+1﹣log2(an+3)中,令,进而判断出f(n+1)>f(n),从而推断出3Tn+1﹣log2(an+3)=log2f(n)>0,原式得证.
(1)由,解得a1=1或a1=2,由假设a1=S1>1,因此a1=2,
又由
,
得(an+1+an)(an+1﹣an﹣3)=0,
即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an,因an>0,故an+1=﹣an不成立,舍去
因此an+1﹣an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,
故{an}的通项为an=3n﹣1
(2)证明:
由可解得;
从而
因此
令,则
因(3n+3)3﹣(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0,故f(n+1)>f(n)
特别地,从而3Tn+1﹣log2(an+3)=log2f(n)>0
即3Tn+1>log2(an+3)
本题主要考查了等差数列的通项公式.涉及了不等式的证明,综合考查了学生对数列知识的灵活运用.
数列的概念及简单表示法.菁优网所有
压轴题;
新定义.
(1)由b1,b2,b3,b4为等差数列,且b1=2,b4=11,先求b1,b2,b3,b4,然后由对称数列的特点可写出数列的各项.
(2)由c25,c26,…,c49是首项为1,公比为2的等比数列,先求出c25,c26,…,c49通项,结合对称数列的对应项相等的特点,可知前面的各项,结合等比数列的求和公式可求出数列的和
(3)由d51,d52,…,d100是首项为2,公差为3的等差数列,可求该数列d51,d52,…,d100的通项,由对称数列的特点,结合等差数列的特点,求数列的和
(1)设数列{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,
∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S=c1+c2+…+c49=2(c25+c26+…+c49)﹣c25=2(1+2+22+…+224)﹣1=2(225﹣1)﹣1=226﹣3=67108861.
(3)d51=2,d100=2+3×
(50﹣1)=149.
由题意得d1,d2,,d50是首项为149,公差为﹣3的等差数列.
当n≤50时,Sn=d1+d2+…+dn=.
当51≤n≤100时,Sn=d1+d2+…+dn=S50+(d51+d52+…+dn)
=
综上所述,
本题以新定义对称数列为切入点,运用的知识都是数列的基本知识:
等差数列的通项及求和公式,等比数列的通项及求和公式,还体现了分类讨论在解题中的应用.
数列递推式.菁优网所有
(I)利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系,从而确定数列an的通项;
(II)由(I)可知数列an从第二项开始的等比数列,设bn=n则数列bn为等差数列,所以对数列n•an的求和应用乘“公比”错位相减.
(I)∵an+1=2Sn,
∴Sn+1﹣Sn=2Sn,
∴=3.
又∵S1=a1=1,
∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3n﹣1(n∈N*).
∴当n≥2时,an﹣2Sn﹣1=2•3n﹣2(n≥2),
∴an=
(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,
当n=1时,T1=1;
当n≥2时,Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2,①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1,②
①﹣②得:
﹣2Tn=﹣2+4+2(31+32+…+3n﹣2)﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+(1﹣2n)•3n﹣1
∴Tn=+(n﹣)3n﹣1(n≥2).
又∵Tn=a1=1也满足上式,∴Tn=+(n﹣)3n﹣1(n∈N*)
本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.
数列与函数的综合.菁优网所有
(1)设{bn}的公差为d,由b1,b2,b3,b4成等差数列求解d从而求得数列{bn},
(2)先得到S2k﹣1=﹣4(k﹣13)2+4×
132﹣50,用二次函数求解,
(3)按照1,2,22…2m﹣1是数列中的连续项按照定义,用组合的方式写出来所有可能的数列,再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可.
(1)设{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S2k﹣1=c1+c2+…+ck﹣1+ck+ck+1+…+c2k﹣1=2(ck+ck+1+…+c2k﹣1)﹣ck,
S2k﹣1=﹣4(k﹣13)2+4×
132﹣50,
∴当k=13时,S2k﹣1取得最大值.S2k﹣1的最大值为626.
(3)所有可能的“对称数列”是:
①1,2,22,2m﹣2,2m﹣1,2m﹣2,22,2,1;
②1,2,22,2m﹣2,2m﹣1,2m﹣1,2m﹣2,22,2,1;
③2m﹣1,2m﹣2,22,2,1,2,22,2m﹣2,2m﹣1;
④2m﹣1,2m﹣2,22,2,1,1,2,22,2m﹣2,2m﹣1.
对于①,当m≥2008时,S2008=1+2+22+…+22007=22008﹣1.
当1500<m≤2007时,S2008=1+2+…+2m﹣2+2m﹣1+2m﹣2+…+22m﹣2009=2m﹣1+2m﹣1﹣22m﹣2009=2m+2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1.
对于②,当m≥2008时,S2008=22008﹣1.
当1500<m≤2007时,S2008=2m+1﹣22m﹣2008﹣1.