完整版有关二次函数的利润最值问题Word文档格式.docx

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（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

6．某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

若只在甲城市销售，销售价格为y（元/件）、月销量为x（件），y是x的一次函数，如表，

月销量x（件）

1500

2000

销售价格y（元/件）

185

180

成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72500元，设月利润为W甲（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．若只在乙城市销售，销售价格为200元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，40≤a≤70），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

x2元的附加费，设月利润为W乙（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

（1）当x=1000时，y甲=　　元/件，w甲=　　元；

（2）分别求出W甲，W乙与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在甲城市销售的月利润最大？

若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？

7．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：

日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；

x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该服装店销售这批秋衣日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？

最大获利是多少元？

8．某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；

如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．

（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；

（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？

在此期间销售金额最高是第几天？

9．某机器零件经销商，购进甲型零件600个，其进价为200元，甲型零件有两种售货渠道：

A渠道是批发给其他小型经销商；

B渠道是零售，零售价为250元．该经销商准备用A渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件，乙型零件的进价为150元，零售价为300元．已知该经销商用A渠道销售甲型零件时，其批发价y（元/个）与批发个数x（个）之间的函数关系为y=﹣

x+200．

（1）求该经销商用B渠道销售的甲型零件的销售额p1（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式；

（2）求零售乙型零件的销售额p2（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式；

（3）求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润w（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式，并求出当批发多少个甲型零件时，利润最大，最大利润是多少？

10．某水果店新进一种水果，进价为20元/盒，为了摸清行情，决定试营销10天，商家通过这10天的市场调查发现：

①销售价y（元/盒）与销售天数x（天）满足以下关系：

天数

1≤x≤5

6≤x≤10

销售价格y

x+24

30

②每天的销售量p（盒数）与销售天数x关系如图所示．

（1）试求每天的销售量p（盒数）与销售天数x之间函数关系式；

（2）设水果店的销售利润为s（元），求销售利润s（元）与销售天数x（天）之间的函数关系式，并求出试营销期间一天的最大利润．

有关二次函数利润的最值问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2017•高安市一模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

【分析】

（1）利润=单件利润×

销售量；

（2）根据利润的计算方法表示出关系式，解方程、画图回答问题．

【解答】解：

（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×

（100﹣80）=2000（元）；

（3分）

（2）①依题意得：

（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160（5分）

即x2﹣10x+16=0

解得：

x1=2，x2=8（6分）

经检验：

x1=2，x2=8都是方程的解，且符合题意，（7分）

答：

商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；

（8分）

②依题意得：

y=（100﹣80﹣x）（100+10x）（9分）

∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10（x﹣5）2+2250（10分）

画草图：

观察图象可得：

当2≤x≤8时，y≥2160

∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．（13分）

【点评】本题关键是求出利润的表达式，体现了函数与方程、不等式的关系．

2．（2017•南通一模）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：

元/件）之间的函数解析式．

（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．

（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？

（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；

（2）将x=45代入求出即可；

（3）当y=10000时，代入求出即可；

（4）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．

（1）由题意可得：

y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]

=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件），

y=﹣10×

452+1300×

45﹣30000=8250（元）；

（3）当y=10000时，

10000=﹣10x2+1300x﹣30000

x1=50，x2=80，

当x=80时，600﹣10（80﹣40）=200＜300（不合题意舍去）

故销售价应定为：

50元；

（4）y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，

故当x=65（元），最大利润为12250元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出y与x的函数关系是解题关键．

3．（2017•山东一模）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；

（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y=260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420﹣3x，80＜x＜140，

（2）由利润=（售价﹣成本）×

销售量列出函数关系式，

（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．

（1）当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，

当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．

则

，

销售量可以列出函数关系式

w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）

w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），

（3）当50≤x≤80时，w=﹣x2+300x﹣10400，

当x=80有最大值，最大值为7200，

当80＜x＜140时，w=﹣3x2+540x﹣16800，

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90元．利润最大为7500元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．

4．（2017•利辛县一模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．

（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，﹣16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；

（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．

（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．

（1）根据题意可设：

y=a（x﹣4）2﹣16，

当x=10时，y=20，

所以a（10﹣4）2﹣16=20，解得a=1，

所求函数关系式为：

y=（x﹣4）2﹣16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）当x=9时，y=（9﹣4）2﹣16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，

又由题意可知，当x=10时，y=20，而20﹣9=11，

所以10月份一个月内所获得的利润11万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）

则有：

s=（n﹣4）2﹣16﹣[（n﹣1﹣4）2﹣16]=2n﹣9，

因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，

而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，

所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．﹣﹣（4分）

【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．

5．（2017•高台县模拟）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；

（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×

每件的利润列出关系式，即可得出答案．

（2）根据

（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值，从而得出答案．

（1）由题意得：

y=（210﹣10x）（50+x﹣40）

=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；

（2）根据

（1）得：

y=﹣10x2+110x+2100，

y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，

∵a=﹣10＜0，

∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．

∵0＜x≤15，且x为整数，

当x=5时，50+x=55，y=2400（元），

当x=6时，50+x=56，y=2400（元）

∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润=一件的利润×

销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

6．（2017•微山县模拟）某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72500元，设月利润为W甲（元）

（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．

若只在乙城市销售，销售价格为200元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，40≤a≤70），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

（1）当x=1000时，y甲=　190　元/件，w甲=　67500　元；

（1）设y甲=kx+b，列出方程组即可解决，再根据w甲=x（y﹣50）﹣72500，求出w甲的解析式，分别求出x=1000时，y甲，w甲，即可．

（2）根据利润=销售额﹣成本﹣附加费，即可解决问题．

（3）①x=﹣

，y最大值=

进行计算即可．②利用公式列出方程即可计算．

（4）当x=5000时，w甲=427500，w乙=﹣5000a+750000，再列出不等式或方程即可解决问题．

（1）设y甲=kx+b，

由题意

，解得

∴y甲=﹣

x+200，

∴x=1000时，y甲=190，

w甲=x（y﹣50）﹣72500=﹣

x2+150x﹣72500，

x=1000时，w甲=67500，

故答案分别为190，67500．

（2）w甲=x（y﹣50）﹣72500=﹣

w乙=﹣

x2+（200﹣a）x，

（3）∵0＜x＜15000

∴当x=﹣

=7500时，w甲最大；

由题意得，

=

解得a1=60，a2=340（不合题意，舍去）．所以a=60．

（4）当x=5000时，w甲=427500，w乙=﹣5000a+750000，

若w甲＜w乙，427500＜﹣5000a+750000，解得a＜64.5；

若w甲=w乙，427500=﹣5000a+750000，解得a=64.5；

若w甲＞w乙，427500＞﹣5000a+750000，解得a＞64.5．

所以，当40≤a＜64.5时，选择在乙销售；

当a=64.5时，在甲和乙销售都一样；

当64.5＜a≤70时，选择在甲销售．

【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法，解题的关键是学会利用二次函数求函数的最值问题，学会利用不等式或方程解决方案问题，属于中考常考题型．

7．（2017•宁波一模）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：

（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；

（2）根据利润=单价×

销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；

（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．

（1）设y=kx+b，根据题意得

k=﹣2，

故y=﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；

（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，

∵30≤x≤60，

∴x=60时，w有最大值为1950元，

∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，为1950元．

【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

8．（2017•新野县一模）某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；

如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．

（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；

（1）分两种情况进行讨论：

①0≤x≤15；

②15＜x≤20；

针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；

①0≤x＜10时p=25，10≤x≤20时，设解析式为p=mx+n，利用待定系数法求解；

（2）日销售金额=日销售单价×

日销售量．日销售量不低于36千克，即y≥36．先解不等式3x≥36，得x≥12，再解不等式﹣9x+180≥36，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有4天；

然后根据p=﹣x+35（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可解答．

（1）分两种情况：

①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，

∵直线y=k1x过点（15，45），

∴15k1=45，解得k1=3，

∴y=3x（0≤x≤15）；

②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，

∵点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，

∴

∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；

综上，可知y与x之间的函数关系式为：

y=

．

①当0≤x＜10时，p=25，

当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，

∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，

∴p=﹣x+35（10≤x≤20），

∴p=

；

（2）若日销售量不低于36千克，则y≥36．

当0≤x≤15时，y=3x，

解不等式：

3x≥36，

得，x≥12；

当15＜x≤20时，y=﹣9x+180，

﹣9x+180≥36，

得x≤16，

∴12≤x≤16，

∴“最佳销售期”共有：

16﹣12+1=5（天）；

∵p=﹣x+35（10≤x≤20），k=﹣1＜0，

∴p随x的增大而减小，

∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣12+35=23（元/千克）．

此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售金额最高是第12天．

【点评】此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．

9．（2017•临沭县校级模拟）某机器零件经销商，购进甲型零件600个，其进价为200元，甲型零件有两种售货渠道：

（