教学案例北师大九年级数学《船有触礁的危险吗》Word下载.docx

教学案例北师大九年级数学《船有触礁的危险吗》Word下载.docx

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通过本节的学习，学生将进一步感受数学建模思想、方程思想和数形结合思想的应用，体会构造方程的手段和数形结合的方法。

此外，学生将进一步体会到数学知识之间的联系。

三、学校及学生状况分析

　　我校虽地处农村，但是普及多媒体教学较早，具备多媒体等演示设备的教学条件。

　　在班级中已初步形成合作、交流、勇于探索与实践的良好学风，学生已具有乐于帮助他人的意识和精神境界，生生、师生之间互动的气氛较浓。

学生已初步学会从数学的角度提出问题、理解问题；

已形成初步的评价与反思意识；

具有尝试寻找不同解决问题方法的实践能力和创新精神。

这些都为学生顺利进行自主学习、形成解决问题的一般策略等奠定了基础。

四、教学设计

（一）导入

　　师：

（出示课件，显示“喷筒型烟花”正在向外喷射的情境）同学们，正月十五在家里放烟花了吗?

“火树银花不夜天”描述的就是元宵节燃放烟花的盛况。

但观看的时候要注意安全呀!

若你是烟花的燃放者，点燃后至少要跑离烟花多远才不至于有危险?

　　生：

跑到烟花喷射范围之外的区域。

那么，从数学的角度如何解释不会有危险?

人到喷筒的距离大于烟花的喷射半径时，没有危险。

　　（“教人未见其趣，必不乐学”，在教学中，教师往往需要展现数学的魅力。

这样导入会增强本节课的趣味性，有利于学习积极性的调动和求知欲的培养。

当然，更主要的是在笑声中，让学生初步建立起点（直线）与圆的位置关系的较为形象的认识，为后续知识的学习做好铺垫。

）

（二）创设情境，提出问题

（出示教材“船有触礁的危险吗”的题目）好，那么请同学们判断一下，这艘正在海上行驶的货轮会不会有触礁的危险呢?

　　（要求学生先独立思考，再分组探讨，并与同伴进行交流。

每组确定一名中心发言人。

　　学生在解决此实际问题的同时，思考如下问题：

（1）对于“货轮继续向东航行途中有无触礁的危险”，从实际意义上如何认定?

若从数学的角度，如何解释?

（2）解决此问题时，你选择的起点（切入点）是什么?

（意即：

从先求什么开始）

　　（3）你准备调用学过的哪部分数学知识来解决此实际问题?

　　（4）在你运用相关的数学知识解决问题的过程中，又遇到了哪些新问题?

你想怎样克服?

　　（教师教学时先不给出示意图，而是让学生根据题意自己画出示意图，教师对学生的作图情况进行适时的指导，准确绘图能反映出学生是否真正理解题意，也是进一步探索和解决问题的前提。

如果学生在阅读中遇到困难，得不到教师的及时指导，那么学生的阅读动机和阅读兴趣就会降低。

教师以“问题串”的形式引导学生在探索解决问题的过程中，把握住关键性的问题进行思考，旨在帮助学生学会从数学的角度提出问题、理解问题，即培养学生学会数学地思考，促使其学会学习。

　　（三）自主探索，合作交流

　　要求学生先独立思考，再在组内探讨，并与同伴进行交流。

教师根据学生的探讨情况，与学生一起分析此问题的困惑、难点及解题方法。

　学生在面对与直角三角形有关的实际问题时，容易建立起三角函数的模型。

在上述问题中，由于“BC＝20海里”是唯一关于长度的条件，而BC不是直角三角形的边，因而有相当一部分学生陷入困境。

　　（四）理性归纳，得出结论

通过自主探索与合作交流，大部分学生突破了问题的难点。

下面介绍几种学生的解答思路。

图1思路一：

如图1，考虑到BC是一个不能直接运用的量，故设CD＝x海里，则BD＝（20+x）海里。

在Rt△ABD中，AD＝BDtan55°

=20+xtan55°

;

在Rt△ACD中，AD＝CDtan25°

=xtan25°

。

由AD＝AD，得方程：

20+xtan55°

＝xtan25°

，解得x≈970。

由于AD＝xtan25°

≈2079>

10。

所以货轮没有触礁的危险。

师：

此种解法是设间接未知数，体现了方程思想。

这种设未知数的智慧在于：

把BC变成了BD＝（20+x）海里，从而“激活”了BC这个不能直接运用的条件。

我们不妨把该策略称之为“救援型（救援BC）”。

而等量关系则借助AD是此“双直角三角形”的公共边，可以说是“以形助数”。

因此，还体现了数形结合的思想。

（此处要关注学生借助计算器进行有关三角函数的计算，并能进一步对实际结果的现实意义进行说明，发展数学应用的意识和解决问题的能力。

教师对学生解题思路进行点评的目的在于向学生揭示数学的本质，以便引导学生形成解决有关问题的基本策略。

思路二：

考虑到求出AD是解决问题的关键，故设AD＝x海里，则

（1）在Rt△ABD中，BD＝ADtan55°

＝xtan55°

在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°

由BD-CD＝20，从而得方程：

xtan55°

-xtan25°

=20。

解得:

x≈2079。

由于AD>

10，所以货轮没有触礁的危险。

（2）设AD＝x海里，则在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°

在Rt△ABD中，tan55°

=BDAD=BC+CDAD。

从而20+xtan25°

x=tan55°

解得x≈2079。

（3）设AD＝x海里，则在Rt△ABD中，BD＝ADtan55°

在Rt△ACD中，tan25°

=CDAD=BD-BCAD。

从而xtan55°

-20x=tan25°

此解法也体现了方程思想，是设直接未知数。

设沟通两个直角三角形之间的联系，利用x和已知角的三角函数（正切）表示出此“双直角三角形”的任何一边，只是在构造方程的相等关系上各有特色。

方法

（1）运用了BD-CD＝20，“20海里”这个条件仅仅起到了构造方程的作用，并没有“主动出击”，不妨称这种构造方程的策略为“守株待兔型”；

方法

（2）是在小直角三角形中运用x和已知角的正切把CD表示出来，而运用大直角三角形已知角的正切构造关于x的方程，我们不妨称之为“小凑”（在小直角三角形中运用x和已知角的正切把CD表示出来，有凑条件的目的）大构（运用大直角三角形已知角的正切构造出关于x的方程）型”；

方法（3）则称之为“大凑小构型”。

其实，方法

（2）和方法（3）都是运用正切的定义来构造方程的，可以说是“以形助数”。

所以，我提醒同学们，以后在碰到类似的问题时也要注意积极运用这种方法!

（教师在加以点评的时候，不必指出方法的优劣，让学生选择适合自己思维习惯的方法。

当然，学生应当对上述几种方法做到真正的理解。

（1）回顾一下，你解决此题的基本步骤是怎样的?

（2）你是如何突破你所遇到的困难的?

（或虽然你没能克服困难，但从别人和老师解决问题的过程中，你得到了哪些解决问题或克服困难的经验?

（3）反思你在解决此问题时（或从同学、老师解决问题的过程中）所采用的方法，若用它去解决与此相类似的实际问题时，是否具有一般性（或是否是解决此类问题的“通法”）?

（引导学生适时地进行反思，并养成解决问题之后反思的良好习惯，是培养学生学会学习、促进学生数学素养发展的重要环节。

若不进行反思，学生不容易形成解决问题的基本策略，更不易形成数学方法的有效迁移。

（五）运用反思，拓展创新

［小试牛刀］出示教材“想一想（测量古塔的高度）”的例题，要求学生先独立思考，再小组互相交流，最后师生共同评价。

［友情提示］相信大家在解决刚才“货轮是否会触礁”的实际问题时已经积累了一定的解决相关实际问题的数学经验，并形成了一些解决问题的基本策略。

但大家在把这些策略迁移到相关实际问题情境时，一定要仔细分析问题的条件是否发生了变化。

同学们，一定要具有“春江水暖鸭先知”的机敏!

你能否尝试提出新问题或采用创新的解法?

（教师是数学活动的组织者、推动者。

因此，教师要充分信任学生，要善于激荡学生的思维和探索的兴趣，要培养学生独立运用数学知识、数学经验进行思考与创新的意识，让学生成为学习的主人，把思考的时间和空间留给他们。

其实，激励和尊重学生多样性的思维方式，就是对他们创新精神、创新意识的调动。

图2学生们的收获是令人欣慰的，下面提供某一学习小组的创新解法。

解：

∵∠DBC是△ABD的外角，

∴∠ADB＝60°

-30°

＝30°

∴∠ADB＝∠A。

∴DB＝AB＝50m。

在Rt△DBC中，

DC＝BDsin60°

＝50×

32=253≈43（m）。

这种思路的智慧在于：

借助特殊角把间接条件AB＝50m转化为BD＝50m（BD为Rt△DBC的斜边）的直接条件，省去了构造方程的烦琐，是一种简捷的创新解法。

其实，正是通过“形”得到了灵感和启迪，从而来“助数”，这得益于这位同学对数形结合思想的熟悉和运用。

这种创新的解法值得在我们中间推广。

同时，也说明了在整个学习过程中，我们应该不断有所发现，有所创新。

（六）拓展应用，解决问题

出示教材“做一做（改善原有楼梯的安全性能）”的例题，要求学生在解决此实际问题时，首先思考：

楼梯调整前后的高分别是多少?

（这是对前面问题的变式，教学时要关注学生如何把实际问题转化为数学问题，解决问题的前提是能否理解题意，能准确画出示意图。

解答这一问题的关键是要明白：

调整前后楼梯的高度是一个不变的量，即“双直角三角形”的公共边（它是沟通两个直角三角形联系的桥梁）。

我增设“楼梯调整前后的高分别是多少”，是为了给学生做铺垫，使学习内容更贴近学生的认知实际，以便使学生比较顺利地解决问题。

图3师：

如图3，在Rt△CBD中，已知BD＝4m，故不用设未知数就可以在小直角三角形中打开一个“缺口”（可求出CD的长）。

因此，在这里我要提醒同学们，并不是所有的“双直角三角形”问题都要用方程来解决，要看题目中的条件：

是直接条件还是间接条件?

间接条件是否能借助特殊角等因素转化为直接条件?

若既非直接条件，又不能转化，则再考虑构造方程。

　　（七）小结与反思

　　引导学生对自己本节课的学习情况进行评价、反思：

（1）在经历探索问题的过程中遇到挫折，你是怎么做的?

（2）通过本节课的学习，你有哪些收获?

你还能提出什么问题?

　　（让学生经历回顾与反思的活动，自己总结收获，使经验条理化、一般化，同时，可以使学生的语言表达能力和总结、归纳、概括的能力得到进一步的锻炼和增强，通过这个环节，让处在不同数学学习水平层次的学生发表自己的意见，谈自己的体会，体现不同的人学不同的数学的理念。

五、教学反思　

本节课的教学有以下一些特点。

　　1．体现了数学教学的本质

　　我的教学设计尽量为学生提供自主探索的机会，提供活动的空间和时间，让学生亲历探究过程。

我们应该认识到：

学生是带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动的，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等去建构自己对数学知识的理解。

教师的教最终要在学生那里体现，不考虑学生作为主体的教，是不会有好效果的。

　　2．注重对数学精神实质的揭示

　　本节课的一个重要特点就是教师对解决问题的基本策略、基本数学思想和数学方法等关于数学精神实质方面的揭示。

比如，数学模型的思想、方程的思想、数形结合的思想、恰当选择合适的等量关系去构造方程。

条件的呈现方式（如间接条件还是直接条件）对解决问题的影响等。

数学的思想方法是数学知识的核心，也是各种能力形成的基础。

数学教学既要重视数学的背景和应用，也要揭示数学的本质。

否则，教师没有将最有价值的东西呈现给学生，便会将学生生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。

　　3．培养学生应用数学的意识和数学地思考问题的方式

　　培养学生用数学的眼光去看待现实世界，是数学教学的目的和最高境界。

如先把问题“货轮向东航行会有触礁的危险吗”转化为“货轮会不会驶进半径为10海里的圆中”，进而通过比较“点A到航线的距离和半径10海里的大小”来认定。

实际上，将实际问题数学化的过程，反映出了学生用数学的意识和从现实生活中抽象出数学的能力。

当然，要使学生学会能够从理性的角度审视实际问题中存在的数学现象，就要在课堂上使学生更多地受到数学思想方法的熏陶与启迪，形成那些对学生的数学素养有促进作用的基本的数学思考方式，并以此去解决所面临的实际问题。

　　4．着眼于提高学生解决问题的能力，并鼓励解决问题策略的多样化

　　本节课的教学设计努力体现“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，让学生带着解决问题的明确目的去了解新知识、形成新技能，再反过来解决原先的问题。

由于不同的学生在认识方法上存在着差异，他们有不同的认识方式和解决问题的策略，因此教师要鼓励他们从不同的角度、不同的途径来思考和解决问题，促进学生创新能力的发展。

　　5．使学生初步形成评价与反思的意识

　　数学教育并非是让学生单纯地积累数学事实，它更多地是对重要的数学思想方法的领悟，对数学活动经验的条理化，对数学知识的自我组织。

因此，学生在数学学习过程中，对经验的分析与理解，对获得过程以及解决问题方式的反思至关重要。

而且，反思可以使学生的思考过程和思维习惯得到进一步的优化。

在本节课中，我提问较多的就是：

这个（成功的）方法还能够在哪些条件下有效?

你是怎样得到这个成功的方法的?

在其他情况下，怎样修改这个方法就可以使得它仍然有效?

这个问题之所以没有能够解决，主要原因在哪里?

等等。

　　6．教师的角色

　　本节课努力实践教师在课堂教学中的组织者、指导者、参与者和学习成果分享者，学生发展的促进者的角色。

教师调动学生学习的积极性、探索的主动性；

激发学生解决问题的热情，激荡学生的思维。

教师引导学生经历“做数学”的过程，并在这个过程中，组织学习、设计切入口、相机诱导、与学生平等交流。

教师还集中大家的问题，比较、分析、鉴别问题的轻重，引导学生把握住关键性的问题进行探讨，在探讨中自然进行一些穿插，讲解，给予恰到好处的　点拨，及时引导学生的学习。

　　7．多媒体的使用

　　现代信息技术的运用将抽象的内容直观化，如导入时“喷射烟花”的情境、航线与暗礁圈位置关系的动态演示等，大大丰富了学生的视野，激发了学生的学习热情。

而且，大量的实际生活情境及问题、例习题，都能在屏幕上“一触即现”，极大地提高了课堂效率。

计算器的引入，使复杂的计算不再费时、耗力，学生可以腾出更多的时间和空间投入到提出问题、寻找解决问题策略、探究问题结果的思维过程中。

　　当然，这节课也留下了一些遗憾。

　　1．预设和生成的关系处理得还不是十分到位　这节课尽管做了精心准备，但课堂上仍然出现了教师课前没有预料到的问题。

有一些学生的课堂表现并没有达到我预想的要求，但为了完成既定的教学目标，也为了使学生完成学习任务，教师还是有牵引学生的痕迹，在一定程度上存在着以教师的分析代替学生思考的现象。

“不牵怕学生走偏、走远；

牵了又怕违背自主原则”，我想这也是课程改革带给我们的一个值得思考的问题。

　　2．给学生提供从事数学活动的时间和空间不够充分

　　本节课采取的是“独立思考与合作（生生、师生、组内）交流”的学习形式，但个体思考的环节不够充分，从而使展开的讨论就有点儿“无源之水，无本之木”，表达的见解不够成熟，深度也不够。

生生交流、组内交流也易转换为学习水平高的学生对学习水平低的学生的讲解，掩盖了“薄弱生”的学习不投入或不深入，给人以“表面的积极性”和“一切顺利”的假象，有点儿“一人做，众人观”的味道。

而且，在生生、组内、组际交流不太充分的情况下，我也有急于归纳总结的现象。

这样，容易造成学生对问题的探究浅尝辄止，挫伤学生参与的积极性。

究其原因，与本节课的设计容量有关，因为本节课需要掌握的数学技能、数学思想方法方面的内容较多，教师难免会产生急切地“牵”和迫不及待地“揭示”。

　　3．教师对解题思路进行点评的副作用

　　这种点评对数学的本质、数学的规律、数学的思想方法进行了“画龙点睛”式的揭示，易使学生形成解决问题的基本策略。

但点评内容有人为划分类型的痕迹。

比如，把本节课实际问题所抽象出来的图形归纳为“双直角三角形问题”，易使学生受到思维定势的束缚，形成负迁移。

事实上，教学中，学生受例1、例2方程思想的影响，在解决“改造楼梯”的问题时走弯路的不少。

　　4．在“改造楼梯”问题中增设“楼梯调整前后的高度分别是多少”的思考

　　我增设此问的目的是给学生做铺垫，以使学生发现解决问题的关键：

调整前后楼梯的高度是一个不变的量，从而能比较顺利地解决问题。

然而这样做有点包办“学生认识和思维过程”之嫌，使学生缺少了一些探索与创造的体验，挤压了具有挑战性的问题给学生留下的较大的探索空间。

　　需要说明的问题：

我最初设计的教学顺序是：

首先是“做一做”（改造楼梯的问题），然后是“想一想”（测量塔的高度），再把这两个问题放在一起进行教师点评。

因为它们共同的特点就是：

不用构造方程就能解决问题，并借此向学生揭示“直接条件（原楼梯的长度）直接求（楼梯的高）”“间接条件转化求（借助特殊角的条件转化为等腰三角形）”的解题策略。

最后才是“船是否有触礁的危险”的例题。

因为此问题的解决只能运用构造方程的方法。

我觉得这样安排教学内容，容易使学生的思路清晰，也易形成解决问题的基本策略；

缺点是教师人为划分类型的痕迹太重，容易使学生受到思维定势的束缚，而且以“改造楼梯”的例题作为问题情境引入，趣味性不强，不容易引起学生探索的兴趣。

最后考虑再三，才把教学设计安排为现在的形式。