八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docxWord文档下载推荐.docx

八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docxWord文档下载推荐.docx

《八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docxWord文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docxWord文档下载推荐.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

典题精练

【例1】已知如图：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三

y

C

PB

角形时，点P的坐标为．（101中学初三月考）

【解析】3，4、2，4或8，4

ODAx

【例2】在平行四边形

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从

A、

C两点以相同的速度

1cm/s向C、A运动．

⑴四边形DEBF是平行四边形吗?

请说明理由．

⑵若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间

t为何值时，四边形

DEBF是矩形?

D

F

E

O

A

B

【解析】⑴四边形DEBF是平行四边形

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA＝OC，OB＝OD

3

∵E，F两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动

∴AE＝CF

∴OE＝OF

∴BD、EF互相平分

∴四边形DEBF是平行四边形

⑵∵四边形DEBF是平行四边形

∴当BD＝EF时，平行四边形DEBF是矩形

∵BD＝12cm，∴EF＝12cm

∴OE＝OF＝6cm

∵AC＝16cm

∴OA＝OC＝8cm

∴AE＝2cm或AE＝14cm

∵动点的速度是1cm/s

∴t＝2s或t＝14s

【例3】如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间

为ts0≤t≤4．

⑴求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？

⑵求当t为多少时，PQ所在直线将梯形

OABC分成左右两部分，其中左部分的面积为右部

分面积的一半，求出此时直线

PQ的函数关系式．

【解析】⑴∵ts后，BP=142t

cm，AQ=4tcm．由

7

BP=AQ，得14

2t

（s）．

4t，t=

P

∴当t=s时，BP=AQ，又OA∥BC，

∴四边形PQAB为平行四边形．

Q

x

⑵∵C点坐标为（

0，2），A点坐标为（16，0），

∴OC=2cm，OA=16cm．

∴S梯形OABC=

（OA+BC）·

OC=

×

（16+14）

2=30（cm2）．

∵ts后，PC=2tcm，OQ=16

4tcm，

∴S四边形PQOC=

164t

16

2t．

由题意可得S四边形PQOC=10，∴

10

，解得t=3s．

此时直线PQ的函数关系式为y

x4．

【探究】四边形中的动态问题

【探究1】单动点问题；

4

【变式1】如图，在矩形OABC中，已知点B的坐标为（9，4），点P是矩形边上的一个动点，

若点E的坐标为（5，0），且△POE是等腰三角形，求点P的坐标？

AP2

P1

P3

P4

ABOECx

OECx

【解析】如图，

34

，

P2

2,4

2.5,4

9,3.

P1,

【探究2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；

【变式2】如图，矩形

ABCD中，B的坐标为（43，4），一动点P从O出发，以每秒

1个

单位的速度，从点

O出发沿OA向终点A运动，同时动点

Q以每秒2个单位的速度从点

出发沿

OB

向终点

运动.过点

作

QE⊥OB

，交

AB

于点

，连接

PEPQ

.设运动时间为

t

、

秒.求

为何值时，

PEOB

.

∥

【解析】PQ=BE时，PE∥OB，此时t.

5

【探究3】线动问题，线动问题转化为点动问题；

【变式3】如图，矩形

ABCO中，B的坐标为（4

3，4），一动点P从O出发，以每秒

O出发沿OA向终点A运动，过点P作直线PF⊥OB，交OB于点F；

同

时将直线PF以每秒

3个单位向右平移，分别交

AB、OB于点E、Q，连接PE.设运动时间

为t秒.求t为何值时，PE∥OB.

【解析】同上，此时t

16.

【探究4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；

【变式4】如图，直角

Rt△ABO中，A的坐标为（15，53

），斜边中线

AC将这个直角三角形分成了

两个等腰三角形△

AOC与△ABC（如图所示），将△AOC

沿直线

x轴正方向平移得到

△A1O1C1，当点O1与点C重合时，停止平移。

在平移的过程中，A1O1

与OB交于点D，O1B1

与BC交于点E.设平移距离OO1为x，△A1O1C1与△ABC重叠部分的面积为

y，是否存在

这样的x,使得重叠部分面积等于原△

ABO面积的

1？

若存在，请求出

x的值；

若不存在，

O1

C1

【解析】x.

6

题型二：

【例4】⑴如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设

点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于的函数图象如图2所示，则当x9时，

点R应运动到（）

（161期中）

A．N处B．P处C．Q处D．M处

R

M

N

9

图1

图2

⑵如图，在矩形

ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线

B→C→D作匀

速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（

）

（重庆中考）

S

3x

xO

3xO

A．

B．

C．

D．

【解析】⑴C；

⑵B．

【例5】正方形ABCD的边长为2厘米，点E从点A开始沿AB边移动到点B，

点F从点B开始沿BC边移动到点C，点G从点C开始沿CD边移动到点D，点H从点D开始沿DA边移动到点A、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t（秒）

G

DC

H

AEB

⑴求证：

△HAE≌△EBF；

⑵设四边形EFGH的面积为S（平方厘米），求S与t之间的函数关系式，并写出自变量

t的

取值范围；

【解析】⑴t秒时，AE=0．5t，BF=0．5t，DH=0．5t

∴AE=BF=DH

∵四边形ABCD为正方形

∴∠A=∠B=90°

，AD=AB

∴AH=BE=2

0.5t

∴△HAE≌△EBF

⑵由⑴同理可得Rt△HAE，Rt△EBF，Rt△FCG以及Rt△GDH四个三角形两两全等

S4

（2

0.5t）

自变量t的取值范围是0≤t≤4

【例6】如图，已知正方形

ABCD与正方形EFGH的边长分别是

2和2

2，它们的中心O1，O2

都在

直线l上，AD∥l，EG在直线l上，l与DC相交于点

M，ME

2，当正方形EFGH

l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形

ABCD也绕O1

以每秒45°

顺时针方向开

始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．

（1）在开始运动前，12

；

OO

（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动

秒时，正方形

ABCD停止旋转，这时

AE

，O1O2

（3）当正方形

ABCD停止旋转后，正方形

EFGH继续向左平移的时间为

x秒，两正方形重叠

部分的面积为

y，求y与x之间的函数表达式．

O2l

【解析】

（1）9．

（2）0，6．

O2

l

O1O

GA

图3

（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形

EFGH继续向左平移时，与正方形

ABCD重叠部

分的形状也是正方形．重叠部分的面积

y与x之间的函数关系应分四种情况：

①如图1，当0≤x

4时，∵EA

x，

∴y与x之间的函数关系式为

x2

．

②如图2，当4≤x

时，y与x之间的函数关系式为

8．

③如图3，当8≤x

12时，∵CG12

12

1x2

12x72．

∴y与x之间的函数关系式为y

④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y0．

真题赏析

【例7】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点

A在x轴上，点C在y轴上，

OA=10，OC=8．

⑴如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；

①求点E的坐标及折痕

DB的长；

②在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN

4.5，求使四边形BDMN的周长

最短的点M、点N的坐标．

⑵如图2，在OC、CB边上选取适当的点

F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，

记为H点，设OH=x，四边形OHGC的面积为S．求：

S与x之间的函数关系式，并指出

变量x的取值范围．

HA

【解析】⑴①在矩形OABC中，BC=OA=10，BA=OC=8．由折叠可知：

△CBD≌△EBD，

∴BE=BC=10．

在Rt△BAE中，EA=BE2

BA2=6．

OE=OA－AE=4，

∴E（4，0）．

设CD＝x，

∵△CBD≌△EBD，

∴DE=CD=x，OD=8－x．，

在Rt△ODE中，DE2=OD2＋OE2，

∴x2=（8－x）2＋42，

∴x=5．

在Rt△CDB中，BD=

CD2

BC2=55

②要使DB+DM+MN+

BN最短，只需要DM+BN

最短．

将点B（10，8）向左平移4．5个单位长度，得B1（5．5，8），

图2

B1

CB

OMENAD1

∴BB1＝4．5

∵MN=4．5，∴BB1∥MN，

∴BNMB1是平行四边形．

∴B1M=BN．

作D关于x轴的对称点D1（0，-3），连接B1D1，

由对称性及两点之间线段最短可知：

B1D1与x轴的交点为所求M点，在x轴上点M的

右侧作MN=4．5，得所求N点．

可求得直线B1D1的解析式为y2x3，

∴M（3，0），N（6，0）．2

⑵过点G作GK⊥OA于K，设CG＝y，

∴OK=CG＝y，GK=OC＝8．

由折叠可知：

△CGF≌△HGF，

∴GH=CG＝y，

∴HK=OK－OH=＝y－x．

在Rt△HKG中，HG2=HK2＋GK2，

∴y2

yx82，

OHKA

y64x2，

2x

1（OHCG）OC

1（x

64x2

）8

6x2

1284≤x≤8．

思维拓展训练（选讲）

训练1.

如图，在直角梯形

ABCD中，DC∥AB，A

90，AB

28cm，

DC24cm，AD

4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C

运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一

个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边