参考借鉴人教版九年级圆的性质知识点docWord格式文档下载.docx
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3、圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“⊙
”，读作“圆
”
命题1圆的定义的理解
例1：
下列条件中，能确定圆的是（）
A.以已知点O为圆心B.以1cm长为半径
C.经过已知点A，且半径为2cmD.以点O为圆心，1cm为半径
针对练习：
1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______.
命题点2判断四点共圆的问题
例2：
矩形的四个顶点能否在同一个圆上?
如果不在,说明理由;
如果在,指出这个圆的圆心和半径.
已知,四边形ABCD是矩形,判断A、B、C、D这四个点能否在同一个圆上?
如果在,指出这个圆的圆心和半径。
证明：
连接AC,BD
∵四边形ABCD是矩形对角线AC与BD交于点O
∴
AO=CO=12×
ACBO=DO=12×
BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等）
∵
BD
AC=BD
∴AO=BO=CO=DO
∵AO=BO=CO=DO
∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上
1、如图，四边形ABCD的一组对角∠ABC、∠ADC都是直角。
求证：
A.B.C.
D四点在同一个圆上。
知识点2圆的有关概念（重点；
（1）弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦
（2）直径：
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
（3）弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以为端点的弧记作，读作弧AB。
（4）半圆：
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
（5）等圆：
能够重合的两个圆叫做等圆。
（6）等弧：
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
命题3：
圆的有关概念的应用
例3：
下列说法正确的是（）
A长度相等的弧叫做等弧B半圆不是弧
C直径是弦D过圆心的线段是直径
解析：
主要考查对先、弧、等弧以及直径的概念的理解。
类型题圆的半径的应用
考查角度1：
利用同圆的半径相等求角度
如图,AB是O的直径,C是O上一点,∠BOC=44∘，则∠A的度数为___度。
利用同圆半径相等，所对的角也相等。
1、如图，AB是O的直径，D.
C在O上，AD∥OC，∠DAB=60∘，连接AC，则∠DAC等于（ ）
A.
15∘B.
30∘C.
45∘D.
60∘
考查角度2：
利用同圆的半径相等比较线段大小
2、如图,正方形ABCD的边长为1,其中DEˆ,EFˆ,FGˆ的圆心依次是点A，B，C.连接GB和FD，则GB与FD的关系是___.
根据同圆的半径相等可以得BC=DC，CG=CF，又∠FCD=∠GCB=90°
由此可以得到则△FCD≌△GCB，由此推出GB=FD，∠G=∠F，∴∠G+∠CDF=∠F+∠CDF=90°
，由此即GB与FD的关系．
2、如图所示：
点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是（ ）
b>
cB.
b=cC.
c>
bD.
b与c的大小不能确定
考查角度3：
利用同源半径向更解决实际问题
如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行?
为什么?
该船应沿航线AB方向航行离开危险区域
理由如下：
如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点）
连接AD、BD；
在△ABD中，
∵AB+BD>
AD，AD=AC=AB+BC，
∴AB+BD>
AB+BC，
∴BD>
BC.
答：
应沿AB的方向航行。
3、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东60°
的方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.
（1）A城是否受到这次沙尘暴影响？
（2）若A城受到这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长?
垂直于弦的直径
知识点1：
圆的对称性（了解）
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，也是旋转对称图形。
知识点2：
垂径定理及其推论（重点，难点；
掌握）
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
命题点1：
利用垂径定理判定结论
在O上作一条弦AB,再作一条与弦AB垂直的直径CD,CD与AB交于点E,则下列结论中不一定正确是（）
AE=BEB.
ACˆ=BCˆC.
CE=EOD.
ADˆ=BDˆ
据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论．
1、如图,已知直径MN⊥弦AB,垂足为C,下列结论：
①AC=BC;
②ANˆ=BNˆ;
③AMˆ=BMˆ;
④AM=BM.其中正确的个数为（）
A.
1B.
2C.
3D.
4
命题点2：
利用垂径定理求弦长或半径
如图，AB为O的弦，O的半径为5，OC⊥AB于点D，交O于点C，且CD=1，则弦AB的长是___.
连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．
2、（20KK⋅毕节地区）如图，已知
的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
6B.
5C.
4D.
3
类型题1：
应用垂径定理解决最值问题
利用垂径定理和垂线最短解决问题
如图，⊙
O
的直径是
10
，弦
AB
＝
8
，
P
是弦上的一个动点，那么
OP
长的取值范围是_______．
找到最短与最长的点所在的位置，根据勾股定理可求出长度
针对练习
1、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A.2B.3C.4D.5
利用垂径定理解决线段和最短问题
如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为______.
A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解：
连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.
根据垂径定理,得到BE=12AB=4,CF=12CD=3，
∴OE=OB2−BE2−−−−−−−−−√=52−42−−−−−−=3，
OF=OC2−CF2−−−−−−−−−−√=52−32−−−−−−=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7
，
则PA+PC的最小值为7
故答案为：
7
2、在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,ACˆ=CDˆ=BDˆ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是______cm.
类型题2：
利用垂径定理解决实际问题
例2、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O的半径为多少厘米?
如图，过点O作OM⊥AD于点M，连接OF，设OF=P，则OM是16-P，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
2、温州是著名水乡,河流遍布整个城市。
某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）.已知桥拱半径OC为5m,水面宽AB为4√6m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（ ）
4√6mB.
7m
C.
5+√6mD.
6m
类型题3：
垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与P轴交于O,A两点,点A的坐标为（6,0）,⊙P的半径为√13，则点P的坐标为______.
过点P作PD⊥P轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
3、半径为6的⊙E在直角坐标系中,与P轴交于A,B两点,与P轴交于C,D两点,已知C（0,3）,D（0,-7）,求圆心E的坐标
类型题4：
利用分类讨论解圆中的计算问题
例4：
已知AB，CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求弦AB，CD间的距离.
本题考查了两条平行弦之间的间距问题，解题的关键是进行分组讨论；
第一种情况是两弦位于圆心同侧时，两弦的间距是弦心距的差的绝对值，过圆心作弦的垂线，再连结圆心与弦的一个端点，应用垂径定理和勾股定理进行计算即可；
第二种情况是两弦位于圆心的两侧时，两弦的间距是弦心距的和，同理即可得出结果.
①当弦A和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC.
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF-OE=1cm.
②当弦A和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OF⊥CD，
∴EF=OF+OE=7cm．
所以AB，CD之间的距离是1cm或7cm.
弧、弦、圆心角
知识点弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角：
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论1：
在同圆或等圆中，如果两条弧想等，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弦也相等。
推论2：
在同圆或等圆中，如果两条弦想到呢过，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弧也相等。
命题1：
根据圆心角、弦、弧之间关系求角的度数
20KK⋅贵港）如图，AB是O的直径，BCˆ=CDˆ=DEˆ，∠COD=34∘，则∠AEO的度数是（ ）
51∘B.
56∘C.
68∘D.
78∘
圆心角、弧、弦的关系
1、如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（ ）
A.105°
B.120°
C.135°
D.150°
命题2：
根据圆心角、弦、弧之间关系证明线段相等
利用根据圆心角、弦、弧之间关系证明弧相等
1、已知：
如图，OA、OB、OC是O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别是OA、OB的中点。
MC=NC.
=OB,（2分）
∵M是OA中点，N是OB中点，
∴OM=ON,（4分）
∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，
∴△MOC≌△NOC
∴MC=NC
2、如图,AB、CD是⊙O的两条弦,且AD=BC,AB与CD的大小有什么关系?
弧、弦、圆心角与四边形的综合应用
如图所示，已知
为⊙
的直径，
M
、
N
分别为
OA
OB
的中点，
CM
⊥
DN
，垂足分别为
．求证：
．
连结OC、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC=∠OND=90°
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴
2、如图，AB是⊙O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：
AEˆ
=BFˆ.
圆周角
圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；
1、圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
1条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
应用圆周角定理求角的度数
如图,在O中,ABˆ=ACˆ,∠AOB=50∘,则∠ADC的度数是（）
50∘B.
40∘C.
30∘D.
25∘
先求出∠AOC=∠AOB=50°
，再由圆周角定理即可得出结论．
1、（20KK⋅南昌）如图,A、B.C.
D四个点均在O上,∠AOD=70∘,AO∥DC,则∠B的度数为（ ）
40∘B.
45∘C.
50∘D.
55∘
圆周角定理的推论（难点；
灵活应用）
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90读的圆周角所对的弦是直径。
命题2直径所对的圆周角是直角的应用
如图,若AB是0的直径,CD是O的弦,∠ABD=58∘,则∠BCD=（）
116∘B.
32∘C.
58∘D.
64∘
根据圆周角定理求得、：
∠AOD=2∠ABD=116°
（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
根据平角是180°
知∠BOD=180°
-∠AOD，∴∠BCD=32°
2、如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°
，则∠ADC=（ ）
A.35°
B.55°
C.70°
D.110°
知识点3：
圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；
1、圆内接多边形的概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
2、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补
圆内接四边形性质的应用
3、如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为（）
45∘B.
50∘C.
60∘D.
75∘
设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得
α+β=180°
3、如图,四边形ABCD是O的内接四边形,若∠C=130∘,则∠BOD=___∘.
四、当堂小结
1、圆的定义以及表示方法（重点；
2、圆的有关概念（重点；
3、圆的对称性（了解）
4、圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；
5、圆周角定理的推论（难点；
6、圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；
5、课后作业
一、选择题：
1、如图1，点
都在圆O上，若
，则
的度数为（）
A、
B、
C、
D、
2、如图2，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°
则∠DCF等于（）
A、80°
B、50°
C、40°
D、20°
（1）
（2）
3．⊙O中，M为
的中点，则下列结论正确的是（）．
A．AB>
2AMB．AB=2AM
C．AB<
2AMD．AB与2AM的大小不能确定
4．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°
，C是
上一点，则∠ACB等于（）．
A．80°
B．100°
C．130°
D．140°
5、在同圆中，下列四个命题:
（1）圆心角是顶点在圆心的角；
（2）两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；
（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；
（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（）
A、4个B、3个C、2个D、1个
6、如图3，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）
（3）（4）
二、填空题：
7、如图4，
内接于圆O，AE是圆O的直径，
______.
8、如图5，
是圆O的直径，点
是圆上两点，
_______.
（5）（6）（7）
9、如图6，某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm内径的管道（内径指内部直径）．
10、如图7，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°
，圆心O到弦AD的距离是
11、一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．
12、半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．
13、已知：
如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：
∠AOC=∠DOB．
14、如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙O于G，求证：
GE=EF
15、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°
，求∠AOC=度数。
16、如图AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB于O，交AC于D，
OD=2，∠A=30°
求CD。
17、如图8,∆ABC内接于⊙O,∠BAC=120°
AB=AC,BD为⊙O的直径,AB=6,求BC的长.
18、如图9，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°
，求弦CD长．
19、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），
20、则此时水面宽AB为多少？
20．已知：
如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．
∠MAO=∠MAD．
21、（20KK，宁夏）如图，
为
的直径，
交
于点
．
（1）求
的度数；
（2）求证：
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