曲面基本形式的探讨Word格式.doc
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关键词：
曲面；
基本形式；
等距变换；
保角变换
-I-
DiscussionoftheFundamentalModeofCurvedSurface
Abstract
Thecurvedsurfacefundamentalmodeisinadifferentialgeometrybasicconcept.Maysolveusingthecurvedsurfacefundamentalmodeaboutcurvedsurfacesomequestions.Throughthecurvedsurfacefirst,second,thethirdfundamentalmodeconcept,introducescommonlyfoundfirst,thesecondfundamentalmodemethod,butalsousesthefirstfundamentalmodenatureandtheformulafoundinthecurvedsurfacethecurvearclength,inthecurvedsurfacetwodirectionanglesofintersectionaswellasthecurvedsurfaceterritoryarea,howinadditionalsohastodiscussjudgesinthecurvedsurfacetwodirectionsanglesorthecurvedsurfacecoordinatenetorthogonalmethod,thecurvedsurfacefirstfundamentalmodeintheequilongtransformation,withconformaltransformationapplication.Aswellasduringthreefundamentalmoderelationaldepartments.
KeyWords：
Curvedsurface;
Fundamentalmode;
Equilongtransformation;
Conformaltransformation
-III-
目录
摘要 I
引言 1
1.基本概念 2
1.1曲面的第一基本形式的基本概念及求法 2
1.2用第一基本形式来求曲面上曲线的弧长 3
1.3曲面的第二基本形式的概念及算法 5
1.4曲面第三基本形式的概念 6
2.曲面的第一基本形式在曲面上的应用 7
2.1用第一基本形式来求曲面上两方向的交角 7
2.1.2推出曲面上两个方向垂直的条件 8
2.1.3推出曲面的坐标网正交的条件 8
2.2用第一基本形式来求曲面域的面积 9
2.3曲面的第一基本形式在等距变换,等角变换中的应用 10
2.4曲面的第一第二第三基本形式的关系 16
结论 18
参考文献 19
致谢 20
昌吉学院2011届毕业论文（设计）
引言
微分几何是一门历史悠久的学科,是数学系的一门基础课程。
也可以说微分几何是与微积分同时诞生的。
微积分最初研究的对象包括曲线切线与长度,曲线围成的区域面积等内容。
微分几何讨论的内容是欧几里得微分几何学,即欧几里得空间中曲线和曲面的几何性质,并研究它们的内蕴几何性质。
这门学科的生命力至今很旺盛。
近几十年来它与数学中其他分支如代数,拓扑,分析与物理等学科互相影响促进,有许多应用。
它的内容与研究方法也在不断发展一直处于数学研究的中心。
几何的概念最初来源于人们对自然空间的直观感受和经验.古希腊时期的几何学家欧几里得首先给出了直观几何的条理化结构,他所编写的几何原本对几何学原理作了系统的阐述,并开创了公理化的数学研究方法。
长期以来,关于欧几里得几何公理体系的完备性,无矛盾性引起了很多数学家的兴趣。
欧几里得几何就是研究几何图形在欧几里得变换裙下不变的性质和量,欧几里得空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用和对微分几何的早期发展作了重大贡献。
关于曲面的理论,建立了基于曲面第一基本形式的几何,并把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何,使微分几何真正成为一个独立的学科。
1.基本概念
1.1曲面的第一基本形式的基本概念及求法
我们是为了研究曲面的度量性质，首先在曲面上引入第一基本形式的概念。
给出曲面S：
是一个正则曲面上的曲线：
或
。
对于曲线有,或者把去掉得：
若以s表示曲面上曲线的弧长，则=
令
则有：
定义1.1.1称是曲面S的第一基本形式,是曲面的第一基本量,曲面的第一基本形式也叫做曲面的弧长元素。
再设给定曲面切线上两点的间径为与,
它们之差为本身做内积
则有.是向径的导数构成的，所以是微分不变量。
性质1.1.1是坐标曲线切失构成的平行四边形的面；
在正则曲面上每一点,矩阵是正定的。
证明由恒等式得。
由外积的定义知道,是矢量构成平行四边形的面积。
在正则曲面S上，处处成立,自然有。
因此对称矩阵在曲面S上处处正定。
例1.1.1试求曲面的第一基本形式。
解,由此,
是曲面的第一基本形式.
例1.1.2试求球面的第一基本形式。
解,
由此得到曲面的第一基本量
是球面的第一基本形式。
例1.1.3在平面上悬链线的方程为，现在以为旋转轴,求这个旋转曲（悬链面）的第一基本形式。
解,由此,
设旋转角为,是悬链面的第一基本形式。
总结：
求曲面的第一基本形式的步聚：
求偏导数；
求第一基本量；
代入第一基本形式的公式求该曲面的第一基本形式。
1.2用第一基本形式来求曲面上曲线的弧长
定理1.2.1已给曲面的方程为：
和连接它上两点的曲线。
则从到之间的弧长为
证明设过上，两点的曲线为.因为在上，所以满足的方程，因此的方程为。
因为上的曲线也是空间曲线，所以计算空间曲线弧长的公式也适用于计算上曲线的弧长。
我门先求出。
为此，先微分得:
，做内积得：
因此曲面上弧长公式为：
例1.2.1在第一基本形式为的曲面上，求方程为的曲线的弧长。
解,曲线,。
取为参数,从曲面的第一基本形式可以看出
取参数,。
由,,
例1.2.2求旋轮线的一段的弧长。
解,,
求曲面上曲线的弧长的步聚：
求该曲线对参数的导数；
求该曲线对参数的导数的绝对值或该曲线的第一基本量；
代入弧长公式求曲面上曲线的弧长。
1.3曲面的第二基本形式的概念及算法
设类曲面的方程为：
，即有连续的二阶导函数.现在固定曲面上一点，并设为曲面在点的切平面.曲线：
或是上过点的一曲线，其中是自然参数。
设是曲线上在点邻近的一点,和点的自然参数的值分别为与，即点的向径为，点的向径为。
利用泰勒公式得，其中。
设为曲面在点的单位法向量,由作切平面的垂线,垂足为,则,其中为从平面到曲面的有向距离。
由于,所以有。
因此当时,无穷小距离的主要部分是,由于,又因为，所以
引进符号:
,,于是前式为。
定义1.3.1称是曲面的第二基本形式，,,是曲面的第二基本量。
例1.3.1计算球面的第二基本形式。
解，，，由此得到
，，
,，所以得
例1.3.1计算抛物面的第一基本形式和第二基本形式。
解先计算，，，，，再计算，，，
，由此得到：
，
1、求曲面第二基本形式的步骤：
求第二基本量；
代入第二基本形式的公式求该曲面的第二基本形式。
2、对于曲面的特殊的参数表示，有，，，，，，
其中，，，，,
1.4曲面第三基本形式的概念
定义1.4.1把的长度平方称为曲面的第三基本形式，记为，实际上就是曲面的球面表示的第一基本形式。
，这里，，，叫做曲面的第三类基本量。
2.曲面的第一基本形式在曲面上的应用
前面介绍了第一基本形式的概念与算法，那么它在曲面上有何应用呢？
下面对此给予介绍。
2.1用第一基本形式来求曲面上两方向的交角
定义2.1.1如果二曲线相交,则它们在交点的切线的夹角称为此曲线的交角。
定理2.1.1已知曲面的第一基本形式和过一点的二曲线它们的弧长参数各为，则二曲线的交角的余弦为。
证明因为的方程分别为所以它们在交点的切向量分别为：
因为切向量的交角就是曲线的角交所以
代入上式,即得交角的余弦公式。
注意：
如果曲线是有向的,则可利用。
反之,若所给曲线是无向的,则显然根式的正负号表示角有两个值其和为。
例2.1.1求曲面上坐标曲线的交角。
解由曲面的参数表示为,。
曲线是曲线,曲线是曲线。
又因为曲线沿着点处的切向量,曲线沿着
点处的切向量,,,,,
求曲面上两方向交角的步聚：
代入交角公式求曲面上两方向的交角。
2.1.2推出曲面上两个方向垂直的条件
推论2.1.2曲面上二曲线垂直的充分必要条件为：
证明必要性如果垂直，则，所以，
因此。
充分性若而分母不为零，即，所以即因此垂直。
例2.1.2求正螺面的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
证明，
坐标曲线互相垂直。
2.1.3推出曲面的坐标网正交的条件
推论2.1.3坐标曲线网为正交网的充分必要条件为。
证明设是曲线，则是曲线，则把它们代入交角公式就得到坐标网的交角公式。
如果曲线与曲线垂直，则即。
反之若，因所以分母不为零，因此，即.所以坐标曲线垂直也就是坐标网是正交的。
例2.1.3证明旋转面的坐标网是正交的。
证明由此得到
即坐标网是正交的。
2.2用第一基本形式来求曲面域的面积
定义2.2.1将已知曲面上区域，分为若干部分区域。
过每一区域的某一内点作切平面，并将对应区域投影到切平面上.设由区域投影而得到的平面区域面积为，作所有面积的和。
当部分区域的数目无限增加，部分区域随着缩小而每一区域趋于一点时，此和之极限称为曲面区域的面积。
定理2.2.1已知曲面上的一条闭曲线，曲线围成一个区域，这个区域的面积为，。
证明将区域参数化并选择部分区域的边界，使与坐标曲线一致，试考虑区域之一，假定其边界曲线交与四点将其四点投影到过A点的切平面上 与的向经各为
其中与是根据泰勒公式有：
其中
各随而趋于0.若不计高价无穷小，则向量与在切平面上的投影可取为区域在点切平面上的投影面积近似于以向量为其领边平行四边形面积，故有。
由此得到曲面上区域的面积，由数学分析已知又于是。
定义2.2.2由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。
例2.2.1求球面的面积。
解,
。
又，
求曲面域面积的步聚：
代入曲面域的面积公式。
2.3曲面的第一基本形式在等距变换,等角变换中的应用
定义2.3.1已给二曲面它们的定义域各位在这两个曲面的定义域之间给定一个变换他们的解析表示为而且满足下列三个条件：
函数是单值类，雅可比行列式，在下与对应弧长,则称这个变换为等距变换。
如果二曲面与之间存在等距变换，则称曲面与等距等价。
如果变换作为的函数的代入曲面的方程里就得到参数表示的曲面的方程，而在和上具有相同的参数的点做为对应点。
这时候曲面，上对应曲线就有相同的参数方程在对应点有相同的微分。
定理2.3.1已给二曲面如果存在变换
使与等距等价的充分必要条件是它们的第一基本量相等，即。
证明必要性：
设与在变换下等距等价，即对应的弧长。
现在将变换代入得：
这时使与在下的对应点具有（表示有相同的参数值），因而，这时
由于，所以即因为上式对任意的都成立，所以必有。
充分性：
如果与的第一基本量相同，即选取适当的变换
这时对应曲线的方程也相同。
设与得第一基本微分形式各为由条件可知必有即因此与等距等价。
例2.3.1求解螺面与旋转曲面等距对应的一个变换。
解先计算出两曲面的第一基本形式：
，，，,,，。
,,,
,,因为螺面和旋转曲面等距等价则根据定理2.3.1知他们的第一基本形式相同，即：
，，，解得即两曲面的一个等距对应变换。
曲面的等距变换的一般算法可以根据定理2.3.1算出他们的一个等距对应变换式。
根据例题给出以下的定理。
定理2.3.2（柱面的等距变换公式）设柱面的准线为的坐标面上的一条曲线.，其方程为，其中导函数在上连续.柱面的母线的单位向量为，易知柱面方程可表示为，则此柱面到直角坐标平面的一个等距变换为
其中、是公共参数。
证明柱面的第一基本形式，
，而平面的第一基本形式，
，在上两式中注意到是单位向量，因而有。
所以
定理2.3.3（锥面的等距变换公式）设锥面的顶点为原点，其准线方程为，其中导函数，，在上连续，易知锥面方程为则锥面到极坐标平面的等距变换为
:
其中,
证明由锥面方程得：
.,
，再由得，
，将此代入极坐标平面的第一基本形式
故
猜想：
我们根据等距变换的概念可以求解出两曲面之间的一个变换公式，那么这个公式是不是唯一的？
下面对此猜想进行验证。
定理2.3.4设是曲面到直角坐标平面的等距变换式，是公共参数，则，也是曲面到该平面的等距变换，且仍是公共参数。
证明由于曲面与平面的等距对应及等距变换为，即曲面的第一基本形式为，则。
而对于变换有，则平面的第一基本形式。
这说明变换也是曲面到平面的等距变换，且仍是公共参数。
这条定理说明，点的平移变换不改变等距对应性。
利用曲面的第一基本形式对曲面的等距变换进行了研究，首先对一般的曲面的等距变换公式进行了验证，根据定义先对曲面的第一基本形式进行了求解，然后跟据等距变换的定义对其公式进行求解，在这个过程中发现等距变换的公式不仅仅是单纯的一个，它可以有很多个公式。
定义2.3.2已给二曲面它们的定义域各位在这两个曲面的定义域之间给定一个变换他们的解析表示为而且
满足下列三个条件：
函数是单值类，雅可比行列式，在这种变换下，使对应曲线的交角相等.称这种变换为等角变换。
如果二曲线与之间存在等角变换，则称这两个曲面为等角等价。
定理2.3.5已给二曲线与等角等价的充分必要条件是存在变换，使它们的第一基本量成比例，即
证明设上二曲线的弧长参数各位它们的交角为即
而与之间的变换为
在下设上对应的二曲线的弧长参数各位，它们的交角为，即。
必要性：
若则所以
=
即对任意的都使
成立。
显然上式各项系数必同时为零，即
但上式中的都是弧长的微分，均不为零所以
设与之间存在变换使成立。
设它们的比值为实数，如果上二曲线的交角的余弦为
把式代入上式得：
即如果存在变换使式成立，则曲面与等角等价。
例2.3.1试证球面与平面等角等价。
证明已知球面的第一基本形式为，而平面的第一基本形式为。
为了判定球面是否与平面等角等价，我们只需找到一个变换使与在变换下对应的第一基本量成比例，因此我们令，则，即，又，则即以公式作为变换，把它代入平面的第一基本形式，则得在下的第一基本形式为
，它的第一基本量为，而球面的第一基本量为，因此在变换下，，，令它取的值，则与在变换下存在关系，即球面与平面等角等价。
例2.3.2任何旋转曲面都与平面等角等价。
证明取旋转轴为坐标系的轴，曲线的方程为是曲线上的点关于所在平面上的横坐标，点在平面上的投影的极坐标为显然可以看成曲面上点的曲线坐标。
对上式微分得：
因此旋转曲面的第一基本形式为。
设因为是的函数，于是当为常数时，则也为常数，所以曲线常数也是曲面上的平行线，这时曲面的第一基本形式为
，令，则有旋转曲面的第一基本形式与平面在直角坐标系中的第一基本形式相比较仅差一个因子，所以任意旋转面都与平面等角等价。
利用第一基本形式的概念介绍了保角变换的概念，同时介绍了保角变换的一些性质，在此基础上，对于曲面如何成为等角等价进行研究，通过一般的研究发现两曲面如果等角等价那么它们的第一基本形式成比例，如何使它们的第一基本形式成比例则需要一个变换公式，在等距变换的公式的求解中我们知道等距变换的公式并不是唯一的，那么在等角等价中是不是也存在这样的关系呢？
根据等距变换公式的求解猜想等角等距的公式也是不唯一的，在此只是对特殊的等角等价的公式进行了求解，至于后面的公式的不唯一未进行研究，还待后面的继续研究。
2.4曲面的第一基本形式、第二基本形式、第三基本形式的关系
定理2.4.1曲面的三个基本形式之间存在的关系：
证明取曲率线网为坐标网，则有，此时坐标为曲率线，故为主方向，对应的主曲率分别为，由主方向判别定理，，
为主曲率，因此，得
，,同时，，,，代入。
（其中为平均曲率，为高斯曲率）。
结论
本文首先介绍了三种基本形式的概念及第一、第二基本形式的求法，利用第一基本形式的性质来求曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的交角与曲面域的面积，而在此最主要的是第一基本形式在等距变换,等角变换中的应用，即等距变换和等角变换的公式的算法。
本文利用第一基本形式与等距变换的关系，总结概括出了特殊曲面的等距变换公式，在此基础上对一般曲面的等距变换公式也进行了研究，还发现了等距变换公式的不唯一性。
接着对曲面的等角等价也进行了研究，与等距变换相比较等角等价只是对于特殊曲面进行了研究，它是否是唯一的还有待于验证。
参考文献
[1]梅向明,黄敬之.微分几何[M].上海：
高等教育出版社,2003.
[2]陈省身，陈维桓.微分几何讲义（第二版）[M].北京：
北京大学出版社,1985.
[3]吴大任.微分几何讲义[M].北京：
高等教育出版社,1986.
[4]丘成桐,孙理察.微分几何[M].北京：
科学出版社,1991.
[5]方德植.微分几何（第一版）[M].北京：
高等教育出版社,1964.7.
[6]吴从炘,唐余勇.微分几何讲义（第一版）[M].北京：
高等教育出版社,1985.4.
[7]梅向明,黄敬之.微分几何（第三版）[M].北京：
高等教育出版社,1981.7.
[8]彭家贵,陈卿.微分几何（第一版）[M].北京：
高等教育出版社,2002.7.
[9]彭声羽,可展曲面到平面的等距变换[J].九江师专学报（自然科学版）1989，
（1）:
15-22.
[10]梅向明,黄敬之.微分几何（第二版）[M].北京：
高等教育出版社,1988.
致谢
岁月匆匆,转眼间四年的大学生活快要结束了,经过三年的专业知识储备,我的论文最终完稿了。
非常感谢朱俊杰老师，在我大学的最后学习阶段对我的毕业设计给自己的指导，从最初的定题，到收集资料，到写作、修改，到论文的定稿，是你给我耐心的指导和无私的帮助。
为了指导我们的毕业论文，浪费了自己的休息时间，在此我再次表示我诚挚的谢意。
同时感谢所有任课老师在四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会我如何学习。
通过这一阶段的努力，我的毕业论文《曲面基本形式的讨论》终于完成了，在大学阶段我在学习上和思想上都受益匪浅，除自身努力外，与各位老师、和同学的关心、支持和鼓励分不开。
在论文的写作过程中，我的指导老师朱俊杰老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍一遍的指出每稿中的具体问题，严格把关，在此表示衷心感谢。
写作毕业论文是一次系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始我将铭记我曾是一名昌吉学院学子，在今后的工作中把昌吉学院的优良传统发扬光大。
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