北师大八年级下册第1讲等腰三角形与直角三角形 讲义Word格式文档下载.docx
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例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO；
②∠BEO=∠ODC；
③BE=CD；
④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．
（2）选择第
（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
分析：
这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．
解：
（1）①③，①④，②③，②④．
（2）选择①④来证明结论成立．
已知：
∠EBO=∠DCO，OB=OC．
求证：
△ABC是等腰三角形．
证明：
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．
又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
∴△ABC为等腰三角形．
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：
AO⊥BC．
证明：
延长AO交BC于D
在△ABO与△ACO中，
∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，
∴AO⊥BC．
考点二：
利用等腰三角形求度数
例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．
本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．
设∠A=x．∵AD=DE=EB
∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．
又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB=
∴BDC=∠A＋∠ABD=
x．
∵BD=BC，AB=AC，
∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°
即x+
x+
x=180
∴x=45°
，即∠A=45°
例4、AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC，求∠ABC的度数．
（1）当H是AD与BE的交点时，
∵BE、AD是△ABC的高，
∴∠4=∠3=∠5=90°
∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°
∴∠2=∠1．
又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，
∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．
又∵∠6＋∠DBA=90°
∴∠DBA=45°
，即∠ABC=45°
（2）当H是AD、EB延长线的交点时，
∴∠3=∠2=90°
，∠4=90°
∴∠1＋∠H=90°
，∴∠CAD＋∠H=90°
∴∠1=∠CAD．
又∵BH=AC，
∴△DBH≌△DAC，
∴DB=DA，
∴∠5=∠6．
又∵∠5＋∠6=90°
，∴∠6=45°
∴∠ABC=180°
－45°
=135°
故∠ABC的度数为45°
或135°
考点三：
几种辅助线作法：
证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．
例5、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：
AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）
方法一：
（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．
因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．
又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．
所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．
因为∠3=∠C＋∠4，
所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，
所以DE=CE．所以CE=BD．
所以AC=AE＋EC=AB＋DB．
方法二：
（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．
因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，
又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．
因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），
所以AC=AE．
因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．
例6、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？
如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：
EF⊥BC．
首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．
证明1：
过A作AG⊥BC于G．
∵AB=AC，∴∠3=∠4．
又∵AE=AF，∴∠1=∠E．
又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，
∴∠3=∠E，
∴AG//EF，
∴EF⊥BC．
接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．
证明2：
过A作AH⊥EF于H．
∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．
又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．
又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，
∴∠EAH=∠B，
∴AH//BC，
方法三：
小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．
证明3：
过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°
∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，
∴∠EAF=180°
－2∠AFE．
又∵AB=AC，∴∠B=∠1．
又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，
∴2∠1=180°
－2∠AFE，
∴∠1＋∠AFE=90°
∴∠2=∠AFE，
∴DE//MC，
方法四：
小颖的作法是：
过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．
证明4：
过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°
∵AE=AF，
∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°
－2∠2．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，
∴2∠B=180°
－2∠2，∴∠B＋∠2=90°
∴∠1=∠B，∴EN//BC，
方法五：
小虎的作法是：
过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．
证明5：
过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．
又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，
∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，∴∠B=∠3，
∴∠B=∠P，∴EB=EP，
方法六：
大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？
（如图）．
证明6：
∴∠1=∠E．
又∵∠2=∠1＋∠E，
∴∠2=2∠E．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠2=180°
－2∠B，
∴2∠E=180°
即∠E＋∠B=90°
∴∠3=180°
－90°
=90°
∴EF⊥BC．
例7、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：
CD⊥AC．
取AB的中点E，连结DE．
∵AD=BD，
∴DE⊥AB，
∴∠3=90°
又∵AB=2AC，AB=2AE，
∴AE=AC．
又∵∠1=∠2，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°
∴CD⊥AC．
例8、△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：
DF=EF．
过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．
又∵∠1=∠ECG，
∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．
又∵BD=CE，∴BD=GE．
又∵∠BFD=∠GFE，
∴△BDF≌△GEF，
∴DF=EF．
知识点二：
直角三角形
30°
所对的直角边等于斜边的一半
例1（将一个有45°
角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°
角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．3
cmD．6
cm
思路分析：
过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°
角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°
角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
点评：
此题考查的知识点是含30°
角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
例2.如图，∠ACB=∠ADB=90°
，AC=AD，E是AB上的一点。
求证：
CE=DE。
这里要证明两次三角形全等。
例3.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。
例4.在△ABC中，AB=AC，
于A
（1）求
的度数
（2）
DC=2BD
变式训练
如图4，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°
．求证：
AC＝
利用直角三角形的性质证明
例5、如图所示，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：
CF＝DF.
要证CF＝DF，可连接AC、AD后，证△ACF≌△ADF即可.
连结AC、AD.在△ABC和△AED中，
所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.
因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC＝∠AFD＝90°
（垂直定义）.
在Rt△ACF和Rt△ADF中，
所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF＝DF（全等三角形的对应边相等）.
例6、△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BE＝CF.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴BE=CF（全等三角形的对应边相等）.
例7、已知：
如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.
（1）求证：
BE⊥AC；
（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？
1）证明：
∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°
（垂直定义），
∴∠1＋∠2=90°
（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.
∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∵∠1＋∠2=90°
（已证），所以∠1＋∠C=90°
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°
（三角形内角和等于180°
），
∴∠BEC=90°
∴BE⊥AC（垂直定义）；
（2）命题成立．∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°
∴∠1＋∠C=90°
，∠DAC＋∠C=90°
∴∠1=∠DAC（同角的余角相等）.
在△BFD与△ACD中，
∴△BFD≌△ACD（AAS）.
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）.
例8、如图所示，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD，2CE＝AC，那么CD的长是（ ）
A．2 B．3C．1 D．1.5
在Rt△AEC中，由于2CE＝AC，可以得到∠1＝∠2＝30°
．又AD＝BD＝4，得到∠B＝∠2＝30°
，从而求出∠ACD＝90°
，由直角三角形的性质求出CD．
在Rt△AEC中，∵2CE＝AC，
∴∠1＝∠2＝30°
∵AD＝BD＝4，
∴∠B＝∠2＝30°
∴∠ACD＝180°
－30°
×
3＝90°
∴CD＝
AD＝2．
故选A．
例9、已知：
如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E．
（1）求证：
AE＝BE；
（2）若∠AEC＝45°
，AC＝1，求CE的长．
（1）由直角三角形全等判定定理（HL）证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．
（2）△ACE为等腰直角三角形，CE＝AC＝1．
（1）方法1：
在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵AB＝BA，AC＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BDE（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE．
方法2：
在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC＝∠BED．
∵∠C＝∠D＝90°
，AC＝BD．
∴Rt△ACE≌Rt△BDE（AAS），
（2）∵∠AEC＝45°
，∠C＝90°
∴∠CAE＝45°
∴CE＝AC＝1．
达标测试：
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°
，且AD=AE，则∠EDC等于（A ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
2．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（C）
A．25B．25或32C．32D．19
3、如图，∠A=15°
，AB=BC=CD=DE=DF，则∠DEF为（D）
A．90°
B．75°
C．70°
D．60°
4、已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且|AC－BC|=2cm，则腰AC的长为（A ）
A．10cm或6cm B．10cmC．6cm D．8cm或6cm
5、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ C）
A．顶角，一腰对应相等 B．底边一腰对应相等
C．两腰对应相等 D．一底角，底边对应相等
6、如图，D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ B）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
7．如图1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（D）
A．30°
B．40°
C．45°
D．36°
8．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，
如图1－23所示，则图中的等腰三角形有（D）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9、下列结论中错误的是（C ）
A．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．有一条直角边和斜边上的高线对应相等的两直角三角形全等
10、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A＝50°
，则∠BPC的度数是（ D）
A．150°
B．130°
C．120°
D．100°
11、如图，△ABC中，∠ACB＝90°
，在AB上截取AE＝AC，BD＝BC，则∠DCE等于（ A）
A．45°
B．60°
C．50°
D．65°
12、如图，已知∠ADB＝∠ACB＝90°
，AC＝BD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（D ）
①AD＝BC ②∠DBC＝∠CAD ③AO＝BO
④AB∥CD ⑤△DOC为等腰三角形
A．2个 B．3个C．4个 D．5个
13.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．
14．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=
．
15、如图，△ABC中，∠C＝90°
，∠ABC＝60°
，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝__________．
∵∠C＝90°
∴∠A＝30°
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°
∴BD＝AD＝6，
BD＝
6＝3．
16．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：
△DBE是等腰三角形．
17.已知：
如图，
是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,DE交BC于F,求证：
BF=CF+CE
18.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E．求证：
∠ADB=∠CDE．
过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则∠ACG=∠1＋∠2=90°
又∵∠8=90°
，∴∠7＋∠5=90°
又∵∠6＋∠7=90°
，∴∠5=∠6．
又∵∠BAD=∠ACG=90°
，AB=CA，
∴△ABD≌△CAG，∴AD=CG，∠3=∠G．
又∵AD=DC，∴DC=GC．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠1．
又∵∠ABC＋∠1=90°
，∴∠1=45°
，∴∠2=45°
，即∠1=∠2．
又∵CE=CE，∴△CDE≌△CGE，
∴∠4=∠G，
∴∠3=∠4．
课后作业：
【巩固练习】
1．已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是40°
，那么它的顶角是（C）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
2．已知等腰三角形周长为10，则底边长a的取值范围是（C）
A．5＜a＜10,B．2.5＜a＜5
C．0＜a＜5,D．0＜a＜2.5
3．如图1－24，在□ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（A）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
4．下面几种三角形：
①有两个角为60°
的三角形；
②三个外角都相等的三角形；
③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；
④有一个角为60°
的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（B）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5、如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是（A）
A．2α＋∠A=180°
B．α＋∠A=90°
C．2α＋∠A=90°
D．α＋∠A=180°
6、如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（D ）
C．25°
D．30°
8、如图，在等腰△ABC中，CD是AB边上的高，AE是腰BC上的中线，AE交CD于F．现给出三条路线：
（a）A→F→C→E→B→D→A；
（b）A→C→E→B→D→F→A；
（c）A→D→B→E→F→C→A；
设它们的长度分别是l（a）、l（b）、l（c），那么下列三个关系式：
①l（a）<
l（b），②l（a）<
l（c），③l（b）<
l（c）中，一定能够成立的个数是（ C）
A．0 B．1
C．2 D．3
9、三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角是30°
，那么这个三角形（C ）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．可能是锐角三角形 D．不可能是锐角三角形
10、两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°
，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（B ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
11、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′，已知∠C＝∠C′＝90°
，∠A＝∠A′，若要判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，还可以补充的一个条件是（B ）
①∠B＝∠B′ ②AB＝A′B′ ③BC＝B′C′ ④AC＝A′C′
A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②④
12、在△ABC中，∠ACB＝90°
，CD是AB上的高，那么下列推理所得的结论中，错误的是（C ）
A．BD＝BC B．∠1＝∠BC．CD＝AB D．CD＝AC
13、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62°
，那么∠DBF＝_________．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD．
又∵∠BAC＝90°
∴BD＝AD＝CD．
又∵CE＝AF，
∴DF＝DE．
∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS）．
∴∠DBF＝∠DAE
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