根轨迹法分析RLC电路性能指标Word格式文档下载.docx
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学号
课程名称
自动控制理论
设计题目
设计目的、主要内容（参数、方法）及要求
了解研究根轨迹法的绘制方法，通过根轨迹法分析RLC电路的各项性能指标
工作量
2周
进度安排
3月11至3月13日收集资料，3月14至3月22编写，3月23至3月24日制图
主要参考资料
[1]谢红卫.现代控制系统.高等教育出版社，2007
[2]胡寿松.自动控制原理.科学出版社，2007
[3]黄忠霖.自动控制原理的MATLAB实现.国防工业出版社，2007
指导教师签字
系主任签字
2013年03月24日
目录
1．RLC电路1
2.系统的性能指标1
1、稳定性1
2、快速性1
3、准确性1
3.根轨迹法2
根轨迹法概述2
根轨迹法的基本概念3
根轨迹绘制规则4
4.应用根轨迹法分析系统的性能指标5
根轨迹与系统性能5
5.总结与体会8
参考文献9
摘要
RLC电路是一种由电阻（R）、电感（L）、电容（C）组成的电路结构。
RLC电路也被称为二阶电路，电路中的电压或者电流是一个二阶微分方程的解，而系数是由电路结构决定。
系统的性能指标为稳定性、快速性、准确性。
根轨迹反映了闭环特征根随参量变化的规律，而闭环特征根与系统性能关系密切，通过根轨迹可以来分析系统性能，且直观方便。
关键词：
RLC电路系统性能指标稳定性快速性准确性根轨迹法
1．RLC电路
LC电路是其简单的例子。
RLC电路也被称为二阶电路，电路中的电压或者电流是一个二阶微分方程的解，而其系数是由电路结构决定。
RLC电路的组成结构一般有两种：
分别是串联型及并联型。
2.系统的性能指标
1、稳定性
稳定性是一切的根本,系统不稳定,便不具备讨论其他性能的条件,以闭环极点的位置判断系统的稳定性
2、快速性
指系统能否快速跟随给定值,给出期望的响应,一般以阶跃下的ts,即调节时间作为指标.此外还有延迟时间td、上升时间tr等
3、准确性
即系统的静差亦即稳态误差,指系统能否精确地跟随给定控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。
动态性能指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标
快速性：
（1）延迟时间：
系统响应达到稳态值50%所需的时间。
（2）上升时间：
对具有振荡的系统，指响应从0上升到稳态值所需的时间；
而对于单调上升的系统，响应由稳态值的10%上升到稳态值的50%所需的时间。
（3）峰值时间：
响应到达第一个峰值所需的时间。
（4）调整时间（或称过渡过程时间，调节时间，暂态过程时间）：
是指响应到达并不再越出稳态值
的容许误差范围（±
2%或±
5%）所需的最短时间。
稳定性：
（5）最大超调量：
系统响应的最大值超过稳态值的百分比。
（6）振荡次数N：
是指响应在调节时间的范围内围绕其稳态值所振荡的次数。
准确性：
稳态误差：
当时间趋于无穷大时，系统响应的期望值与实际值之差。
3.根轨迹法
根轨迹法概述
在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。
但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。
1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。
因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。
根轨迹法的基本概念
根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。
根轨迹增益K*是首1形式开环传递函数对应的系数。
在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。
控制系统如上图所示。
其开环传递函数为:
根轨迹增益。
闭环传递函数为:
闭环特征方程为:
特征根为：
当系统参数K*（或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见下表：
利用计算结果在S平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K*（或K）从零变化到无穷大时闭环极点在S平面上移动的轨迹，即根轨迹，如下图所示。
图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K*（或K）增大时两条根轨迹移动的方向。
根轨迹绘制规则
在控制系统的分析和综合中，往往只需要知道根轨迹的粗略形状。
由相角条件和幅值条件所导出的8条规则，为粗略地绘制出根轨迹图提供方便的途径。
根轨迹的分支数等于开环传递函数极点的个数。
根轨迹的始点（相应于K=0）为开环传递函数的极点，根轨迹的终点（相应于K=∞）为开环传递函数的有穷零点或无穷远零点。
根轨迹形状对称于坐标系的横轴（实轴）。
实轴上的根轨迹按下述方法确定：
将开环传递函数的位于实轴上的极点和零点由右至左顺序编号，由奇数点至偶数点间的线段为根轨迹。
实轴上两个开环极点或两个开环零点间的根轨迹段上，至少存在一个分离点或会合点，根轨迹将在这些点产生分岔。
在无穷远处根轨迹的走向可通过画出其渐近线来决定。
渐近线的条数等于开环传递函数的极点数与零点数之差。
根轨迹沿始点的走向由出射角决定，根轨迹到达终点的走向由入射角决定。
根轨迹与虚轴（纵轴）的交点对分析系统的稳定性很重要，其位置和相应的K值可利用代数稳定判据来决定。
4.应用根轨迹法分析系统的性能指标
根轨迹与系统性能
依据根轨迹图（见系统根轨迹图），就能分析系统性能随参数（如K*）变化的规律。
稳定性
开环增益从零变到无穷大时，如系统根轨迹图所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此，当K>
0时，如图控制系统根所示系统是稳定的；
如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则在相应K值下系统是不稳定的；
根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。
稳态性能
由系统根轨迹图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就等于静态误差系数Kv。
当r（t）=1（t）时, ess=0；
当r（t）=t时,
动态性能
由系统根轨迹图可见，当0<
K<
0.5时，闭环特征根为实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为单调上升过程；
当K=0.5时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调过程，但响应速度较0<
0.5时为快；
当K>
0.5时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰减过程，且随K增加，阻尼比减小，超调量增大，但ts基本不变。
上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参数（K）增大时系统动态性能的变化趋势。
用解析的方法逐点描画、绘制系统的根轨迹是很麻烦的。
我们希望有简便的图解方法，可以根据已知的开环零、极点迅速地绘出闭环系统的根轨迹。
为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。
简化RLC电路控制系统的一般结构如下图所示，
相应开环传递函数为，假设
（1）
（2）
因此
（3）
式中，为系统根轨迹增益。
对于m个零点、n个极点的开环系统，其开环传递函数可表示为
（4）
式中，Zi表示开环零点，Pj表示开环极点。
系统闭环传递函数为
（5）
由式（5）可见：
⑴闭环零点由前向通路传递函数G（s）的零点和反馈通路传递函数H（s）的极点组成。
对于单位反馈系统H（s）=1，闭环零点就是开环零点。
闭环零点不随K*变化，不必专门讨论之。
⑵闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*均有关。
闭环极点随K*而变化，所以研究闭环极点随K*的变化规律是必要的。
根轨迹法的任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。
一旦闭环极点确定后，再补上闭环零点，系统性能便可以确定。
根轨迹方程
闭环控制系统一般可用系统结构图所示的结构图来描述。
开环传递函数可表示为
系统的闭环传递函数为
（6）
系统的闭环特征方程为
1+G（s）H（s）=0 （7）
即
（8）
显然，在s平面上凡是满足式（8）的点，都是根轨迹上的点。
式（8）称为根轨迹方程。
式（8）可以用幅值条件和相角条件来表示。
幅值条件：
（9）
相角条件：
（10）
式中，分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。
比较式（9）和（10）可以看出，幅值条件（9）与根轨迹增益K*有关，而相角条件（10）却与K*无关。
所以，s平面上的某个点，只要满足相角条件，则该点必在根轨迹上。
至于该点所对应的K*值，可由幅值条件得出。
这意味着：
在s平面上满足相角条件的点，必定也同时满足幅值条件。
因此，相角条件是确定根轨迹s平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件。
如此便可通过根轨迹方法来分析RLC电路的性能指标。
5.总结与体会
通过这次课程研究，我们熟悉了根轨迹法的绘制方法，并且将其应用于RLC电路的性能指标分析中，让我们可以更方便，更直接的了解RLC电路的各项性能指标。
在课程设计过程中遇到的种种困难也让我们明白只有坚持不懈的努力才可能换来最后的成功。
参考文献
[3]黄忠霖.自动控制原理的MATLAB实现.国防工业出版社，,2007
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