成考专升本高数公式大全Word下载.docx

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chxe+earshx二ln（xx21）

archx=ln（xx2-1）

sinxlim

x刃x

=1

lim（1」）x=e=2.718281828459045.Jx

arthx=」ln

1-x

三角函数公式:

•诱导公式：

\函数\

角A\

sin

cos

tg

ctg

-a

-sina

COsa

-tga

-Ctga

90°

a

COSa

sina

ctga

tga

；

180°

-COSa

Ctga

270°

+a

360°

Rot+Pa-P

sin：

sin：

=2sincos

sin（'

二l：

）=sin_：

icosl-：

二cosrsin:

cos（川二l：

）=cos_：

icos「"

sin_：

：

sin:

tg：

-tg'

■

tg（、・二l'

）二--

1+tgatgP

冉ctgactgP+1

ctg（.m）：

Ra+Pa-P

sin-sin：

=2cossin

cost'

cos--2cos

a+P

ctgL-ctg-■

Ra+Pa-P

cos：

-cos--2sinsin

-和差角公式:

-和差化积

公式:

•倍角公式:

sin2：

-2sin：

cos：

cos2：

=2cos2：

-1=1_2sin2匚-cos2?

-sin2：

cctga-1

ctg2：

2ctga

x-2tga

tg2—

1-tga

sin3：

=3sin：

--4sin3：

3

cos3：

=4cos：

-3cos：

tg3：

口

3tga-tga

1-3tg2：

-半角公式:

a：

1—cosa

sin.

2.2

丄:

-1—COS_：

i1-cos：

tg———

2Jcos：

sin:

sin-：

1cos二

a‘1+cosa

cos—二

2'

■2

1cos：

1cosjsin二

ctg一

21—cos〉sinj1-cost

•正弦定理:

b

c

2R

sinA

sinB

sinC

•余弦定理：

c2二a2b2—2abcosC

-反三角函数性质:

ji

arcsinx=arccosx

arctgx=——arcctgx

高阶导数公式一一莱布尼兹（Leibniz）公式:

（uv）⑴八Wy

k=0

=u（n）v・nu（Zv^^u^v•…mn"

）（n-k•%+）•.■uv（n）2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）-f（a）二f（）（b-a）

柯西中值定理：

如血二山

F（b）-F（a）F&

当F（x）二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds=J1+yQdx,其中y"

=tgo（

平均曲率：

K=「」..「•：

从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；

.is：

MM弧长。

M点的曲率:

Aa

JdaL

y!

As

ds；

（T

V）3

5

直线：

K=0;

半径为a的圆:

K=1

定积分的近似计算:

矩形法：

f（x）

梯形法：

抛物线法：

f（x）

b-az、

（yo%ynJ

罟［如。

yn）"

山

b-a

aFyoyn）2（y2y4m35

定积分应用相关公式:

引力：

F二为引力系数

r

函数的平均值：

y—f（x）dx

b—aa

均方根:

/-a

.f2（t）dt

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：

d=MrM?

=^（X2—xj2+（y2—yj2+（z2—zj2向量在轴上的投影：

p门uAB=ABcos®

®

是AB与u轴的夹角。

Prju（ara2）=PrjarPrja2

ab=|abcos日=axbx+ayby+azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角：

axbx+aybypbzcos二

■222/,2,2,2

a*ayazbxbybz

ijc=axb=axay

bxby

k

az,c=absin0例：

线速度:

bz

ax

向量的混合积:

[abc]=（ab）c=

bx

Cx

ay

by

Cy

az

bzua^b，ccosa,a为锐角时,

Cz

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:

A（x-x。

）B（y-y。

）C（z-z。

）=0,其中n二{A,B,C},“。

仏』％

2、一般方程：

AxByCzD=0

3、截距世方程：

xy

abc

平面外任意一点到该平面的距离：

d」Axo+By°

+Czo十D

Ja2+b2+c2

"

x=x0+mt

空间直线的方程：

—_=—=—=t,其中s={m,n,p};

参数方程：

y=y0+nt

mnp

、z=%+pt

二次曲面：

222

1、椭球面:

务与务=1

2、抛物面：

冬•匕二乙（p,q同号）

P2q八

3、双曲面：

单叶双曲面：

务•占-令=1

双叶双曲面：

—生=1（马鞍面）

a2b2c2

多元函数微分法及应用

Z」fzu；

:

u：

u」

全微分：

dz=—dx+—dydu=—dx+—dy+—dzexdy£

xdycz

全微分的近似计算：

zdz二fx（x,y）.：

xfy（x,y）y

多元复合函数的求导法：

dz；

z

dt；

u

.:

Z二f[u（t）,v（t）]

Z二f[u（x,y）,v（x,y）]

.u.z:

v

.tv.t

z；

ujz；

二-r4*-»

.x.u.x:

v:

x

当u=u（x,y）,v=v（x,y）时，

du

u；

u,

dxdy

x；

y

dvdxdydxdy

隐函数的求导公式:

隐函数F（x，y）=0,齐卡

隐函数F（x,y,z）-0,—

ex

Fx

Fz

雪」（上）+上（_匕）包

dx；

xFyjyFydx

zFy

yFz

隐函数方程组:

F（x，y，u，v）"

.G（x,y,u,v）=0

cF

j/（F，G）=c（u,v）

瓦

Fu

Fv

cG

Gu

Gv

u:

v

——

（F,G）

二—

J

（x,v）

-：

（y,v）

（F,G）:

（u,x）f（F,G）

（u,y）

微分法在几何上的应用:

X_X。

_y_y°

_z_Z0

飞（t。

）J（t。

）

'

x=®

（t）

空间曲线¥

二（t）在点M（x0,y0,z0）处的切线方程:

z=；

（t）

在点M处的法平面方程：

「（to）（x-X。

）宀（to）（y-y。

）亠心（to）（z-z。

）=0

若空间曲线方程为：

』F（x,y,z）=°

则切向量T={FyFz,FzFx,FxFy}

G（x,y,z）=0GyGzGzGxGxGy

曲面F（x,y,z）=。

上一点MdsysZ。

）,贝V：

1、过此点的法向量：

n二{Fx（x。

，『。

^。

疔丫伽小卫）^^。

』。

^）}

2、过此点的切平面方程:

Fx（x。

，丫。

忆。

）&

-X。

）Fy（x。

，y°

z°

）（y-y。

）Fz（x。

-z。

）二。

3、过此点的法线方程:

x-x。

y_y。

z_z。

，y。

，z。

z。

）FzEy^z。

向导数与梯度：

函数z二f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：

丄二丄cos-—sinclexcy

其中「为x轴到方向I的转角。

.•、f:

f—

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）ij

exby

f

它与方向导数的关系是：

一二gradf（x,y）e其中e=cos「・isin寸，为I方向上的a

单位向量。

.丄是gradf（x,y）在l上的投影。

l

多元函数的极值及其求法：

设fx（x。

y。

）=fy（x。

）=0,令：

fxx（x。

）=A,fxy（x。

）=B,fyy（X0,y°

）=C

AC-B2皿寸,;

人7（3。

）为极大值

小＞。

&

。

，y0）为极小值

贝V：

AC-B2V。

时，无极值

AC-B2=。

时,不确定

L

重积分及其应用：

iif（x,y）dxdyf（rcosv,rsinv）rdrdv

DD■

JJxP（x,y）dcr

平面薄片的重心：

x=匹=丄

（x,y）d匚

D

平面薄片的转动惯量：

对于x轴lx=y2「（x,y）d二,

M..y「（x,y）d匚y且“

M|7P（x,y）dcr

对于y轴Iy=x2「（x,y）d二

DD

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a■0）的引力：

F={Fx,Fy,Fz},其中:

（x,y）xdcFz=-fa..3

D（x2y2a2）"

Fx=f..

D（x2

「（x,y）xdc

「（x,y）yd二

3，

y2a2尸

D（x2y2a2尸

1+M+

1s

dxdy

曲面z二f（x,y）的面积A=

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosB

柱面坐标：

*y=rsin^,[|7f（x,y,z）dxdydz=JJJF（r,T,z）rdrdTdz,

z=z5Q

其中：

F（r,v,z）二f（rcosv,rsin）,z）

x=rsin:

cos

球面坐标：

*y=rsin®

sin日,dv=rd®

・rsin®

dO，dr=r2sin®

drd®

d日z=rcos®

2二二r（：

，T

hif（x,y,z）dxdydz：

111F（r,：

^）r2sin:

drd:

d）-d-F（r,：

drQQ

重心：

xx?

dv,

M五

转动惯量：

Ix二（y2

y;

?

dv,M门

z2”dv,Iy

000

1z-z「dv,

M门

!

（x2-z2）?

Q

其中M=x=?

dv

（x2y2）「dv

第一类曲线积分（对弧

设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

丿

长的曲线积分）：

HI®

心），则:

P

.f（x,y）ds「f[「（t）「（t）]：

2（tr'

-2（t）dt（:

-<

L：

P）特殊情况：

*

x=t

T（t）

10

曲线积分:

格林公式：

（卫

D泳

P

）dxdy=:

PdxQdy

yl

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

设L的参数方程为/“⑴：

片屮（t）

P（x,y）dxQ（x,y）dy「{P［（t）,-（t）］「（t）Q［「（t）「⑴卜（t）}dt

两类曲线积分之间的关系：

Pdx•Qdy二（PcostnQcos一：

）ds其中〉和：

分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

P:

Q

）dxdy=-PdxQdy格林公式：

（一yLDx

当p=_y,Q=x,即：

2一兰=2时，得到D的面积：

A二dxdy=1xdy-ydxexcyD2L

平面上曲线积分与路径无关的条件：

1G是一个单连通区域；

2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且卫=—。

注意奇点，女口（0,0）,应excy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

二元函数的全微分求积：

在2=-P时，PdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中:

.x；

（x,y）

u（x,y）二P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设xo=y0=0°

（x°

yo）

曲面积分：

对面积的曲面积分：

JJf（x,y,z）ds=JJf[x,y,z（x,y）]J+z：

（x,y）+z：

（x,y）dxdy

丈Dxy

对坐标的曲面积分:

iiP（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy,其中：

Z

R（x,y,z）dxdy：

iiRx,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

ZDxy

P（x,y,z）dydz二P[x（y,z）,y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

二：

Dyz

..Q（x,y,z）dzdx二Q[x,y（乙x）,z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

二Dzx

两类曲面积分之间的关系：

PdydzQdzdxRdxdy=（Pcos：

Qcos：

Rcos）ds

ZZ

11

高斯公式:

iii（「「■）dv二PdydzQdzdxRdxdy11（Pcos一：

「Qcos：

x织辽、、

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：

di^=—二2■—,即：

单位体积内所产生的流体质量，若div、•.：

0,则为消失

excycz

通量：

！

Ands=Ands=（Pcosx11Qcos：

Rcos）ds，

zzz

因此，高斯公式又可写成：

divAdv二1Ands

QZ

斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:

旋度：

rotA二

i

©

k-.:

ZR■J-:

yQ

cR

cQ

）dzd^（—-

-—）dxdy

=qPdx+

Qdy十

6

dydz

dzdx

cosot

cosP

cos?

e

-■

-rr

dz

s

R

关的条件：

cRcQ

cP

cy

cz

1—

exex

询

空间曲线积分与路径无

Rdz

上式左端又可写成：

口

..（琶-马dydz（兰X:

y:

zz

等比数列：

+q+q2中…+q2=口-

1-q

（n1）n

向量场A沿有向闭曲线-的环流量：

PdxQdyRdz二-Atds

rr

常数项级数:

等差数列：

+2+3k+n=

调和级数：

1-■■-是发散的

23n

12

级数审敛法:

1正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

Sd时，级数收敛

设：

P=limyur,贝时，级数发散

JP=1时，不确定

2、比值审敛法：

9<

1时，级数收敛

设:

，贝IP>

1时，级数发散

P=1时，不确定

3、定义法:

sn-U|•u2亠•亠un;

limsn存在，贝叫攵敛；

否则发散

n_

交错级数5-出U3•…（或【2-出•…,Un0）的审敛法莱布尼兹定理：

如果交错级数满足［imu=0,那么级数收敛且其和SW5,其余项rn的绝对值|rn^Un*Hn

绝对收敛与条件收敛:

（1）5U2亠亠Un…,其中Un为任意实数;

（2）5+吐|+出|+…+Un+…

如果

（2）收敛，则

（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果

（2）发散，而

（1）收敛，则称

（1）为条件收敛级数。

1发散，而adL收敛；

nn

p二1时发散

p・1时收敛

13

幂级数:

23n,/|x£

1时，收敛于

1+x+x+x+…+x+…L1—X

■|x_1时，发散

对于级数⑶a°

亠a/-a2x2亠■亠anxn亠■，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

<

R时收敛

数轴上都收敛，则必存

在R，使｛x>

R时发散，其中R称为收敛半径。

\x=R时不定

求收敛半径的方法：

设

an1

limn*a

其中a

an.勺是（3）的系数，则

—0时，rJ

—0时，Rz：

-•:

时，R=0

函数展开成幂级数:

函数展开成泰勒级数：

f（X）=f（X0）（X-X0）•f凹（X-X0）2•一（x-x0）n•…

2!

n!

余项：

Rn二

x0=0时即为麦克劳林公式：

f（x）二f（0）f（O）x—^^X2」©

Xn…

（n1）/

f（）（X_X0）n1f（x）可以展开成泰勒级数的

（n+1）!

充要条件是：

limRn=0n:

.

一些函数展开成幂级数:

（1x）m=1mxXX

352n1

sinx=x—ZN—（—1）2」（—：

x：

3!

5!

（2n-1）!

（-1：

x：

1）

欧拉公式：

ix

ecosxisinx

三角级数：

ix丄-ixe+e

cosx=

ix-Jx

e—esinx=

14

辺a0乂

f（t）=A0'

Ansin（ntn）—'

（ancosnxbnsinnx）

n42n4

其中，a0二aAo，an二Ansinn,bn二Ancosn，，t=x。

正交性：

1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在［-二，二］

上的积分=0。

傅立叶级数:

f（x）0…二’（ancosnxbnsinnx）,周期=2二

2n二

・1K

an=—ff（x）cosnxdx（n=0,1,2…）

其中^f

1江

bn=—ff（x）sinnxdx（n=1,2,3…）

-J

132

62

111

22,2

234

11

+■

-（相加）

2■TT

-（相减）

an

二0,

S二一

f（x）sinnxdx

31

bn

=0,

f（x）cosnxdx

3242

正弦级数:

余弦级数:

n=1,2,3f（x）=、bnsinnx是奇函数

n=0,1,2…f（x）0ancosnx是偶函数

15

周期为2l的周期函数的傅立叶级数:

d2ydx2

P（x）dx

16

f（x）二匹、（ancosn-Xbnsin丄^）,周期二212n4ll

1\nnx

a*=-[f（x）cosdx（n=0,1,2”）

Il

其中＜丫1

1n双

bn=-Jf（