匀变速直线运动的计算Word下载.docx

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巧用推论解题

匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一衡量，即xn+1-xn=aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应首先考虑用△x=a

t2求解（纸带问题）

逆向思维法（反演法）

把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的问题

等效法

某些运动过程复杂的问题，可做适当的等效处理，使复杂过程变得简单

极值法

临界、极限问题的考查往往伴随着恰好、刚刚、最大、最小等字眼，极值法在追击等问题有着广泛的应用

巧选参考系解题

①研究地面上的物体常常以地面为参考系

②为研究方便也可巧妙选取参考系或灵活转换参考系

一些推论

初速度为零的匀加速直线运动的推论（设t为等分时间间隔）：

①1t末、2t末、3t末……nt末的瞬时速度比为：

v1：

v2：

v3:

……:

vn=1:

2:

3:

n

②1t内、2t内、3t内……nt内的位移比为：

x1：

x2：

x3：

……：

xn=1:

4:

9:

n2

③第一个t内、第2个t内、第3个t内、……第n个t内的位移比为：

x

：

:

xN=1:

5：

（2n-1）

④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：

t1：

t2：

t3：

tn=1：

（

-1）：

-

）：

）

例1、下列有关匀变速直线运动的认识，其中观点正确的是（　D　）

A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动

B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动

C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动

D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量

例2、关于直线运动，下列说法中正确的是（　　）

A．匀速直线运动的速度是恒定的，不随时间而改变

B．匀变速直线运动的瞬时速度随时间而改变

C．速度随时间不断增加的运动，叫匀加速直线运动

D．速度随着时间均匀减小的运动，通常叫做匀减速直线运动

【分析】A、匀速直线运动的速度是恒定不变的．故A正确．B、匀变速直线运动的瞬时速度随着时间而变化的．故B正确．C、速度随着时间而均匀增加的运动，加速度恒定不变，才做匀加速直线运动．故C错误．D、速度随着时间均匀减小的运动，加速度恒定不变，通常叫做匀减速直线运动．故D正确．故选ABD

例3、如下图所示的四个图象中，表示物体做匀加速直线运动的图象是（　　）

A、

B、

C、

D、

【解析】匀加速直线运动的位移时间关系公式为：

x=v 

0 

t+1/2at2 

，可以知道x与t是二次函数关系，故图象是曲线，故A错误，B也错误；

匀加速直线运动的速度时间关系公式为：

v=v 

+at，式子中v与t是线性关系，故D正确，C错误；

故选D

【点评】匀变速直线运动的速度图象是一条倾斜的直线，图象向上倾斜即斜率为正，表示物体加速，斜率为负表示物体减速，斜率大小表示物体的加速度大小，正负表示加速度方向

例4、甲、乙两质点在同一直线上运动，它们的v－t图象如图所示，由图象可知（　　）

A．在t1时刻，甲和乙的速度相同

B．在t1时刻，甲和乙的速度大小相同，方向相反

C．在t2时刻，甲和乙的速度方向相同，加速度方向相反

D．在t2时刻，甲和乙的速度不相同，加速度方向相同

【分析】A、在t1时刻，甲和乙的速度相同，A正确；

B、在t1时刻，甲和乙的速度大小相同，方向均为正，B错误；

C、在t2时刻，甲和乙的速度方向均为正，相同，加速度方向一正一负，方向相反，C正确D错误；

故选：

AC

例5、某运动物体做匀变速直线运动，加速度大小为0.6m/s2，那么在任意1s内（　　）

A．此物体的末速度一定等于初速度的0.6倍

B．此物体任意1s的初速度一定比前1s末的速度大0.6m/s

C．此物体在每1s内的速度变化为0.6m/s

D．此物体在任意1s内的末速度一定比初速度大0.6m/s

分析：

A、由a=△v/t可得，可知物体速度在每秒钟内变化是0.6m/s，故A正确；

B、1s初和前1s的末是同一时刻，故速度相同，B错误；

C、0.6m/s2的加速度说明物体在每秒钟的时间里速度变化是0.6m/s，故C正确；

D、只知道加速度的大小，但不明确方向，故物体可能加速也可能减速，故末速度可能比初速度小0.6m/s，故D错误；

A

例6、一物体做匀变速直线运动，初速度为2m/s，加速度大小为1m/s2，则经1s后，其末速度（　　）

A．一定为3m/sB．一定为1m/sC．可能为1m/sD．不可能为1m/s

注意加速度方向，C

例7、物体从长为L的光滑斜面顶端开始下滑，滑到底端的速率为v。

如果物体以v0＝v2的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为（　C　）

A.L/2B.L/3C.L/4D.

L

【分析】根据它滑下来的情况求加速度，初速度为0，末速度为v，长为L，v2-02=2aLa=v2/2L；

第二种情况初速度为1/2v，末速度为0，加速度为v2/2L，（1/2v）2-02=2*v2/2Lx，则x=1/4L

例8、物体的初速度为v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要使物体速度增加到初速度的n倍，则物体发生的位移为（　　）

【解析】设位移为x，由题意知末速度为nv0，由v2－v

＝2ax得：

x＝

＝

，选项A正确

例9、一物体由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内通过位移x，则它从出发开始通过x/4所用的时间为（　　）

A.t/4B.t/2C.t/16D.

/2t

【分析】分析：

根据位移速度公式可得：

，它从出发开始经过x/4的位移时，有：

v12=2ax/4=1/2ax，解得：

v1=1/2v，根据公式

可得t'

=1/2t 

，故选B

例10、一辆汽车以20m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5m/s2的加速度刹车时，则刹车2s内与刹车6s内的位移之比为（　　）

A．1∶1B．3∶4C．3∶1D．4∶3

【分析】取初速度方向为正方向，则汽车的加速度a=-5m/s2可知，汽车刹车后的停车时间为：

t=（0-20）/5s＝4s，所以汽车刹车后2s内的位移：

x2＝20×

2+1/2×

（-5）×

22m＝30m，汽车刹车后6s内的位移实为停车4s内的位移，即x6＝x4＝20×

4+1/2×

42m＝40m，所以x2/x6＝30/40＝3/4，故选：

B

例11、一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，它到达斜面底端时的速度是2m/s，则经过斜面中点时的速度是________m/s

【分析】对整个过程有：

v 

2 

=2ax，对物体下滑到斜面中点的过程有：

v′ 

=2ax/2 

．联立两式得，v′= 

/2 

v．代入数据得：

v′= 

×

m/s=1m/s．

例12、一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9s停止，则物体在斜面上的位移与水平面上的位移之比是（　　）

A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．13∶1

【分析】物体在斜面上运动时，v＝3a1，平均速度

1＝

a1，x1＝

1t1＝

a1；

物体在水平面上运动时，

2＝

，x2＝

2t2＝

，所以x1∶x2＝1∶3

例13、自由下落的物体，自起始点开始依次下落三段相同的位移所需要的时间比为（　D　）

A．1∶3∶5B．1∶4∶9C．1∶

∶

D．1∶（

－1）∶（

－

例14、小球由静止开始运动，在第1s内通过的位移为1m，在第2s内通过的位移为2m，在第3s内通过的位移为3m，在第4s内通过的位移为4m，下列描述正确的是（　　）

A．小球在这4s内的平均速度是2.5m/sB．小球在3s末的瞬时速度是3m/s

C．小球在前3s内的平均速度是3m/sD．小球在做匀加速直线运动

【解析】由初速度为零的匀加速直线运动的规律知，第1s内，第2s内，第3s内，…第ns内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶（2n－1），而这一小球的位移分别为1m,2m,3m，…所以小球做的不是匀加速直线运动，匀加速直线运动的规律也就不适用于这一小

球，所以B、D选项不正确．至于平均速度，4s内的平均速度v1＝

＝2.5m/s，所以A选项正确；

3s内的平均速度v2＝

＝2m/s，所以C选项不正确。

例15、在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250km/h，若某列车正以216km/h的速度匀速行驶，在列车头经路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方1000m处有障碍物还没有清理完毕，若司机听到报告后立即以最大加速度a＝2m/s2刹车，问该列车是否发生危险？

【分析】根据题意，假设如下：

列车的初始速度为V0，即：

V0=216km/h=60m/s；

列车的最终速度为Vt，即：

Vt=0；

列车的加速度是a，即：

a=-2m/s^2；

列车的刹车距离为S。

因为：

Vt^2=V0^2+2aS，所以：

0=60^2+2（-2）S即：

S=3600/4=900（m），显然，列车的刹车距离S=900m＜1000m，答：

列车不会发生危险

例16、某汽车在某路面紧急刹车时，加速度的大小是6m/s2，如果必须在2.5s内停下来，则该汽车的行驶速度最大不能超过多少？

（假设汽车刹车后做匀减速运动）

解析：

我们研究的是汽车从开始刹车到停止运动这个过程．在这个过程中，汽车做匀减速运动，加速度的大小是6m/s2。

由于是减速运动，加速度的方向与速度方向相反，如果设汽车运动的方向为正，则汽车的加速度方向为负，我们把它记为a＝－6m/s2。

这个过程的末速度v是零，初速度就是我们所求的允许最高速度，记为v0，过程的持续时间t＝2.5s

解法一：

根据v＝v0＋at，有v0＝v－at＝0－（－6m/s2）×

2.5s＝15m/s＝54km/h，汽车的速度不能超过54km/h.

解法二：

反过来汽车可以看做是初速度为零的匀加速运动，则v＝at＝6×

2.5＝15m/s＝54km/h.

点评：

根据匀加速直线运动的速度公式即可得出答案．不过要注意加速度是负值．匀减速到零的直线运动可以反过来看做是初速度为零的匀加速直线运动，这样解起来很方便．车最终停下来，所以末速度为零，这一点容易忽略，导致缺少条件，解不出答案

例17、汽车以40km/h的速度匀速行驶，

（1）若汽车以0.6m/s2的加速度加速，则10s后速度能达到多少？

（2）若汽车刹车以0.6m/s2的加速度减速，则10s后速度减为多少？

（3）若汽车刹车以3m/s2的加速度减速，则10s后速度为多少？

【解析】汽车做匀加速运动时，可直接应用公式v＝v0＋at，求10s后的速度，汽车做匀减速运动时，要先验证减速为零时所用时间与10s的关系，若大于10s，则直接应用公式v＝v0＋at，若小于10s，则10s后的速度为零

（1）初速度v0=40km/h≈11m/s，加速度a=0.6m/s2，时间t=10s，10s后的速度为：

v=v0+at=11+0.6*10=17m/s；

（2）汽车刹车所用时间t1=v0/a1=11/0.6＞10s，则v1=v0-a1t=11-0.6*10=5m/s

（3）汽车刹车所用时间为t2=v0/a2=11/3＜10s，所以10s后汽车已经刹车完毕，则10s后汽车速度为零

【点评】①物体做匀减速运动时，必须考虑减速为零后能否返回，若此后物体停止不动，则此后任一时刻速度均为零，不能用公式v＝v0＋at来求速度．

②处理“刹车问题”要先判断刹车所用的时间t0.若题目所给时间t<

t0，则用v＝v0＋at求t秒末的速度；

若题目所给时间t>

t0，则t秒末的速度为零

例18、发射卫星一般采用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上做匀加速运动的加速度为50m/s2，燃烧30s后第一级脱离，第二级火箭没有马上点火，所以卫星向上做加速度为10m/s2的匀减速运动，10s后第二级火箭启动，卫星的加速度为80m/s2，这样经过1分半钟等第二级火箭脱离时，卫星的线速度为多大？

整个过程中卫星的运动不是匀变速直线运动，但可以分解为三个匀变速直线运动处理．第一级火箭燃烧完毕时的速度为：

v1＝a1t1＝1500m/s，减速上升10s后的速度为：

v2＝v1－a2t2＝1400m/s，第二级火箭熄火时的速度为：

v3＝v2＋a3t3＝8600m/s.

对于过程复杂的运动，我们可以将其分为几个简单运动，然后在每段运动中运用公式解答，从而达到化繁为简的目的

【点评】

（1）分析物体的运动问题，要养成画物体运动草图的习惯，并在图中标注有关物理量，这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量与未知量之间的相互关系，迅速找到解题的突破口．

（2）如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律，应该特别注意的是各段交接点处的速度往往是解题的关键，该点速度是前段的末速度，同时又是后段的初速度，是联系前、后两段的桥梁，并要注意前、后段的位移x、加速度a、时间t之间的联系

（二）追击相遇问题

1.同时同位：

两物体相遇一定是同一时刻处在同一位置．

（1）位移关系：

x2＝x0＋x1

x0表示开始运动时两物体间的距离，x1表示前面被追物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．

（2）时间关系：

t1＝t2＝t

即追及过程经历时间相同，但t1、t2不一定是两物体运动的时间

2.临界状况：

当两物体速度相等时可能出现恰能追及、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即该四种情况的临界条件为v1＝v2.

3.分析v－t图象

说明：

（1）Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；

（2）x0是开始追及以前两物体之间的距离；

（3）t2－t0＝t0－t1；

（4）v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度

类型

图像

说明

匀加速追匀速

①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大

②t=t0时，两物体相距最远为x0+△x

③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离减小

④能追及且只能相遇一次

匀速追匀减速

匀加速追匀减速

匀减速追匀速

开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：

①若△x=x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件

②若△x＜x0，则不能追及，此时两物体最小距离为x0-△x

③若△x＞x0，则相遇两次，设t1时刻△x1=x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇

匀速追匀加速

匀减速追匀加速

4.相遇问题的常见情况 

（1） 

同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题. 

（2） 

相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 

解此类问题首先应注意先画示意图，标明数值及物理量；

然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时，还要注意该物体是否停止运动了。

5.追及、相遇问题的解题思路：

追及､相遇问题最基本的特征相同，都是在运动过程中两物体处在同一位置

①根据对两物体运动过程的分析，画出物体运动情况的示意草图.

②根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两个物体运动时间的关系反映在方程中；

③根据运动草图，结合实际运动情况，找出两个物体的位移关系；

④将以上方程联立为方程组求解，必要时，要对结果进行分析讨论

6.分析追及相遇问题应注意的两个问题：

（1）一个条件：

即两个物体的速度所满足的临界条件，例如两个物体距离最大或距离最小、后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下，速度所满足的条件。

常见的情形有三种：

（见表格）

（2）两个关系：

即两个运动物体的时间关系和位移关系，其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口

7.追及、相遇问题的处理方法 

方法一：

临界条件法（物理法），当追者与被追者到达同一位置，两者速度相同，则恰能追上或恰追不上（也是二者避免碰撞的临界条件） 

方法二：

判断法（数学方法）：

若追者甲和被追者乙最初相距d0，令两者在t时相遇，则有x甲-x乙=do，得到关于时间t的一元二次方程△=b2-4ac：

当△＞0时，两者相撞或相遇两次；

当△=0时，两者恰好相遇或相撞；

当△＜0时，两者不会相撞或相遇

方法三：

图象法，利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便的解决这类问题

例1、甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图中（如图所示），直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20s的运动情况.关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（　　）

A．在0～10s内，两车逐渐靠近

B．在10～20s内，两车逐渐远离

C．在5～15s内，两车的位移相等

D．在t＝10s时，两车在公路上相遇

由v－t图象与时间轴所围面积的关系，可分析判断不同时间段内两物体的位移关系．另外要明确v－t图线交点的物理意义．

根据v－t图线与时间轴所围面积表示位移可知：

在0～10s内，两车的位移差逐渐增大，即两车在远离，选项A错误；

在10～20s内，甲的位移增加得多，两车在靠近，到20s末两车相遇，选项B错误；

在5～15s内，由图线的对称关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，故两车位移相等，选项C正确；

v－t图线的交点表示该时刻速度相等，选项D错误．答案：

C

例2、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？

此时距离是多少？

【思路点拨】画好汽车和自行车的运动示意图是关键。

【答案】2s 

6m 

【解析】：

临界状态法 

运动示意图如图：

汽车在追击自行车的过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；

当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。

很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

设经时间t两车之间的距离最大。

则v汽=at=v自，∴t=v自/s=6/3=2s，△x=x自-x汽=v自t-1/2at2=6*2-1/2*3*22=6m

图象法 

在同一个v-t图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线，如图所示。

其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移x自等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽 

则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。

两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大

此时v汽=ato=v自，to=v自/a=6/3=2s，△s=1/2tov自=1/2*2*6=6m

二次函数极值法 

设经过时间t汽车和自行车之间的距离△x，则△x=x汽-x自=v自t-1/2at2=6t-3/2t2=-3/2（x-2）2+6，故当t=2s时，两车之间的距离有最大值，△x=6m

（1）在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：

过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析． 

（2）分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚

好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 

（3）解题思路和方法

例3、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度v2（对地、且v1＞v2）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？

【解答】设两车恰好相撞，所用时间为t，此时两车速度相等，v1－at＝v2，S＋S2＝S1

S1＝v1t-1/2at2，S2＝v2t，由以上计算式可得，a＝（v1-v2）2/2s

所以要使两车不相撞a＞（v1-v2）2/2s

例4、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度vA向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。

汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。

为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的警车以法定最高速度vm=14.0m/s，行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0m后停下来。

在事故现场测得AB＝17.5m，BC＝14.0m，BD＝2.6m．肇事汽车的刹车性能良好，问：

（1）该肇事汽车的初速度Av是多大?

（2）游客横过马路的速度是多大?

【解答】

（1）警车和肇事汽车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小

，与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速度的大小视作相等。

对警车，有vm2＝2as，对肇事汽车，有vA2＝2as′，则vm2/vA2＝s/s′，即vm2/vA2＝s／（

＋

）＝14.0／（17.5＋14.0），故

m/s；

（2）对肇事汽车，由v02＝2as∝s得vA2／vB2＝（

）／

＝（17.5＋14.0）／14.