学年高一数学北师大版必修4学案12 角的概念的推广Word文档下载推荐.docx

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答　经过10小时，时针旋转形成的角是－300°

，分针旋转形成的角是－3600°

探究点二　象限角与终边落在坐标轴上的角

思考1　如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行，为什么？

答　不行，因为始边包括端点（原点）．

思考2　是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

答　不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；

如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

思考3　终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表．

α终边所在的位置

角α的集合

x轴正半轴

{α|α＝k·

，k∈Z}

x轴负半轴

＋180°

y轴正半轴

＋90°

y轴负半轴

＋270°

思考4　下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.

α终边所在

的象限

第一象限

{α|k·

<

α<

k·

第二象限

第三象限

第四象限

－90°

探究点三　终边相同的角

思考1　在同一直角坐标系中作出390°

，－330°

，30°

的角，并观察这三个角终边之间的关系？

角的大小关系？

答　如图所示，三个角终边相同．相差360°

的整数倍．

思考2　对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？

答　所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：

S＝{β|β＝α＋k·

，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．

思考3　集合S＝{α|α＝k·

－30°

，k∈Z}表示与角－30°

终边相同的角，其中最小的正角是多少度？

已知集合S＝{α|α＝45°

＋k·

180°

，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？

答　330°

第一或第三象限的角平分线上．

小结　

（1）终边相同的角相差360°

的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角（连同角α在内）的集合S＝{β|β＝α＋k·

，k∈Z}．

（2）终边相同的角不一定相等，但是相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°

例1　在0°

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

（1）－150°

（2）650°

（3）－950°

15′.

解　

（1）因为－150°

＝－360°

＋210°

，所以在0°

范围内，与－150°

角终边相同的角是210°

角，它是第三象限角．

（2）因为650°

＝360°

＋290°

范围内，与650°

角终边相同的角是290°

角，它是第四象限角．

（3）因为－950°

15′＝－3×

＋129°

45′，所以在0°

范围内，与－950°

15′角终边相同的角是129°

45′角，它是第二象限角．

反思与感悟　解答本题可先利用终边相同的角的关系：

β＝α＋k·

，k∈Z，把所给的角化归到0°

范围内，然后利用0°

范围内的角分析该角是第几象限角．

跟踪训练1　判断下列角的终边落在第几象限内：

（1）1400°

（2）－2014°

解　

（1）1400°

＝3×

＋320°

，∵320°

是第四象限角，

∴1400°

也是第四象限角．

（2）－2014°

＝－6×

＋146°

，∴－2014°

与146°

终边相同．∴－2014°

是第二象限角．

例2　写出终边在y轴上的角的集合S.

解　所有与90°

角终边相同的角构成集合

S1＝{β|β＝90°

所有与270°

S2＝{β|β＝270°

于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2

＝{β|β＝90°

，k∈Z}∪{β|β＝270°

＋2k·

，k∈Z}∪{β|β＝90°

＋（2k＋1）·

＋n·

，n∈Z}．

反思与感悟　利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．

跟踪训练2　写出终边落在x轴上的角的集合S.

解　S＝{α|α＝k·

，k∈Z}∪{α|α＝k·

＝{α|α＝2k·

，k∈Z}∪{α|α＝（2k＋1）·

＝{α|α＝n·

例3　写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°

≤β<

720°

的元素β写出来．

解　直线y＝x与x轴的夹角是45°

，在0°

范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：

45°

，225°

.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：

S＝{β|β＝45°

，k∈Z}∪{β|β＝225°

＝{β|β＝45°

，k∈Z}∪{β|β＝45°

，k∈Z}＝{β|β＝45°

∴S中适合－360°

的元素是：

－2×

＝－315°

－1×

＝－135°

＋0×

＝45°

＋1×

＝225°

＋2×

＝405°

＋3×

＝585°

反思与感悟　当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意，把最后角的集合化成最简的形式．

跟踪训练3　求终边在直线y＝－x上的角的集合S.

解　由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°

间所对应的两个角分别是135°

和315°

，

从而S＝{α|α＝k·

＋135°

＋315°

，k∈Z}＝{α|α＝2k·

，k∈Z}＝{α|α＝n·

1．－361°

的终边落在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案　D

2．下列各角中与330°

角终边相同的角是（　　）

A．510°

B．150°

C．－150°

D．－390°

3．若角α满足180°

，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

答案　270°

解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°

的整数倍，即5α－α＝4α＝k·

.又180°

，得k＝3，得α＝270°

4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.

解　∵终边落在x轴上的角的集合：

S1＝{β|β＝k·

，k∈Z}；

终边落在y轴上的角的集合：

S2＝{β|β＝k·

∴终边落在坐标轴上的角的集合：

S＝S1∪S2＝{β|β＝k·

，k∈Z}∪{β|β＝k·

，k∈Z}＝{β|β＝2k·

90°

，k∈Z}∪{β|β＝（2k＋1）·

，k∈Z}＝{β|β＝n·

[呈重点、现规律]

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．

2．关于终边相同角的认识

注意：

（1）α为任意角；

（2）k·

与α之间是“＋”号，k·

－α可理解为k·

＋（－α）；

（3）相等的角终边一定相同；

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°

的整数倍；

（4）k∈Z这一条件不能少．

一、基础过关

1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°

的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°

的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A．A＝BB．B＝C

C．A＝CD．A＝D

2．与405°

A．k·

－45°

，k∈ZB．k·

，k∈Z

C．k·

＋45°

，k∈ZD．k·

答案　C

3.

如图，终边落在直线y＝±

x上的角α的集合是（　　）

A．{α|α＝k·

B．{α|α＝k·

C．{α|α＝k·

D．{α|α＝k·

4．若α是第四象限角，则180°

－α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

解析　可以给α赋一特殊值－60°

则180°

－α＝240°

，故180°

－α是第三象限角．

5．与2013°

角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．

答案　213°

　－147°

解析　与2013°

角终边相同的角为2013°

（k∈Z）．当k＝－5时，213°

为最小正角；

当k＝－6时，－147°

为绝对值最小的角．

6．下列说法中，正确的是________．（填序号）

①终边落在第一象限的角为锐角；

②锐角是第一象限的角；

③第二象限的角为钝角；

④小于90°

的角一定为锐角；

⑤角α与－α的终边关于x轴对称．

答案　②⑤

解析　终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°

的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；

同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；

小于90°

的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．

7．在与角－2013°

终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最小的正角；

（2）最大的负角；

（3）－720°

～720°

内的角．

解　

（1）∵－2013°

＋147°

∴与角－2013°

终边相同的最小正角是147°

（2）∵－2013°

＝－5×

＋（－213°

），

终边相同的最大负角是－213°

（3）∵－2013°

∴与－2013°

终边相同也就是与147°

终边相同．

由－720°

≤k·

，k∈Z，解得：

k＝－2，－1,0,1.代入k·

依次得：

－573°

，－213°

，147°

，507°

二、能力提升

8．集合{α|k·

≤α≤k·

，k∈Z}中，角所表示的范围（阴影部分）正确的是（　　）

9．在－180°

范围内，与2000°

角终边相同的角为______．

答案　－160°

，200°

解析　∵2000°

＝200°

＋5×

2000°

＝－160°

＋6×

∴在－180°

范围内与2000°

角终边相同的角有－160°

两个．

10．已知角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°

，则β＝________.

答案　150°

解析　∵30°

与150°

的终边关于y轴对称，

∴β的终边与150°

角的终边相同．

∴β＝150°

，k∈Z.

11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

解　

（1）{x|k·

－135°

≤x≤k·

（2）{x|k·

＋30°

＋60°

，k∈Z}∪{x|k·

＋240°

＝{x|2k·

≤x≤2k·

，k∈Z}∪{x|（2k＋1）·

≤x≤（2k＋1）·

＝{x|n·

≤x≤n·

12．已知角β的终边在直线

x－y＝0上．

（1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式－360°

β<

的元素．

解　

（1）如图

，直线

x－y＝0过原点，倾斜角为60°

范围内，终边落在射线OA上的角是60°

，终边落在射线OB上的角是240°

，所以以射线OA、OB为终边的角的集合分别为：

S1＝{β|β＝60°

，k∈Z}，

S2＝{β|β＝240°

所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°

，k∈Z}∪{β|β＝60°

＝{β|β＝60°

，k∈Z}＝{β|β＝60°

（2）由于－360°

，即－360°

60°

，n∈Z.解得－

n<

，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.

所以S中适合不等式－360°

的元素为：

＝－300°

＝－120°

＝60°

＝240°

＝420°

＝600°

三、探究与拓展

13．若α是第一象限角，问－α，2α，

是第几象限角？

解　∵α是第一象限角，

∴k·

（k∈Z）．

（1）－k·

－α<

－k·

（k∈Z），

∴－α所在区域与（－90°

，0°

）范围相同，故－α是第四象限角．

（2）2k·

2α<

2k·

∴2α所在区域与（0°

，180°

）范围相同，

故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上．

（3）k·

120°

方法一　（分类讨论）当k＝3n（n∈Z）时，

∵n·

n·

（n∈Z），

∴

是第一象限角；

当k＝3n＋1（n∈Z）时，∵n·

＋120°

＋150°

（n∈Z），∴

是第二象限角；

当k＝3n＋2（n∈Z）时，∵n·

是第三象限角．

综上可知：

是第一、二或第三象限角．

方法二　（几何法）如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为

终边所落在的区域，故

为第一、二或第三象限角．