第六章静电场中的导体与电介质讲解Word文件下载.docx
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（B）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（C）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（D）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍
分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S有
S（1+χ）E⋅dS
即E＝E０/εｒ，因而正确答案为（A）。
=
S
E0⋅dS=
1ε0
∑q
i
6－6不带电的导体球A含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷qb、qc，导体球外距导体球较远的r处还有一个点电荷qd（如图所示）。
试求点电荷qb、qc、qd各受多大的电场力。
分析与解根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；
导体球A外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷qd的作用力。
Fd=
（qb+qc）qd
2
4πε0r
点电荷qd与导体球A外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电
荷qb、qc处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷qb、qc受到的作用力为零.
6－7一真空二极管，其主要构件是一个半径R１＝5.0×
10－4m的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径R２＝4.5×
10m的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高300V，阴极与阳极的长度均为L＝2.5×
10－２m．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：
（１）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；
（２）电子刚从阳极射出时所受的力．
－3
分析
（1）由于半径R１＜＜L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率．
（2）计算阳极表面附近的电场强度，由F＝qE求出电子在阴极表面所受的电场力．解
（1）电子到达阳极时，势能的减少量为
ΔEep=-eV=-4.8⨯10
-17
由于电子的初始速度为零，故
Eek=ΔEek=-ΔEep=-4.8⨯10
J
因此电子到达阳极的速率为
v=
2Eekm
2eVm
=1.03⨯10
7
m⋅s
-1
（2）两极间的电场强度为
E=-
λ2πε0r
er
两极间的电势差
V=
⎰
R2
R1
E⋅dr=-
=-
λ2πε0
eln
R2R1
负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度
λ2πε0R1
er=
VR1ln
电子在阴极表面受力
F=-eE=4.37⨯10-14erN
这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×
10－3１kg的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5×
10倍．
6－8一导体球半径为R１，外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，
而内球的电势为V０．求此系统的电势和电场的分布．
分析若V0=Q4πε0R2１5，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度
处处为零，内球不带电．若V0≠Q4πε0R2，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带
电．一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由Vp=⎰∞pE⋅dl或电势叠加求出电势的
分布．最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R１、R2表示．
解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理E⋅dS=E（r）⋅4πr2=E（r）⋅∑q/ε0，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区
域内的电场分布为
r＜R１时，E1（r）=0
R１＜r＜R2时，E2（r）=q4πε0r
Q+q
4πε0r22r＞R2时，E2（r）=
由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．r＜R１时，
V1=
∞
r
E⋅dl=
E1⋅dl+
E2⋅dl+
E3⋅dl=
q4πε0R1
+
Q4πε0R2
R１＜r＜R2时，
V2=
q4πε0r
r＞R2时，
V3=
q+Q4πε0r
也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r＜R１）
在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2）
在球壳外（r＞R2）
由题意
V1=V0=
q4πε0R2
Q4πε0R1
得
代入电场、电势的分布得r＜R１时，
E1=0；
V1=V0
E2=
R1V0r
-
R1Q4πε0R2r
；
（r-R1）Q4πε0R2r
E3=
（R2-R1）Q4πε0R2r
6－9在一半径为R１＝6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B．已知球壳B的内、外半径分别为R2＝8.0cm，R3＝10.0cm．设球A带有总电荷QA＝3.0×
10－８C，球壳B带有总电荷QB＝2.0×
10－８C．（１）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；
（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势．
分析（１）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷－QA，外表面带电荷QB＋QA，电荷在导体表面均匀分布［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势．
（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－QA［图（ｂ）］．断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应－qA，外表面带电qA－QA［图（c）］．此时球A的电势可表示为
VA=
qA4πε0R1
-qA4πε0R2
qA-QA4πε0R3
=0
由VA＝0可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势．
解（１）由分析可知，球A的外表面带电3.0×
10－８C，球壳B内表面带电－3.0×
10－８C，
外表面带电5.0×
10
－８
C．由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为
-QA4πε0R2
QA-QA4πε0R3
3
=5.6⨯10V
VB=
QA+QB4πε0R3
=4.5⨯10V
（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为
-QA+qA4πε0R3
解得
qA=
R1R2QA
R1R2+R2R3-R1R3
=2.12⨯10
-8
C
即球A外表面带电2.12×
10－８C，由分析可推得球壳B内表面带电－2.12×
10－８C，外表面带电-0.9×
10－８C．另外球A和球壳B的电势分别为
VA=0VB=-7.29⨯10V
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡．
6－10两块带电量分别为Q１、Q2的导体平板平行相对放置（如图所示），假设导体平板面积为S，两块导体平板间距为d，并且S＞＞d．试证明（１）相向的两面电荷面密度大小相等符号相反；
（2）相背的两面电荷面密度大小相等符号相同．
分析导体平板间距d＜＜S，忽略边缘效应，导体板近似可以当作无限大带电平板处理。
取如图（ｂ）所示的圆柱面为高斯面，高斯面的侧面与电场强度E平行，电场强度通量为零；
高斯面的两个端面在导体内部，因导体内电场强度为零，因而电场强度通量也为零，由高斯定理
E⋅dS=
∑q/ε
得∑q=0
上式表明处于静电平衡的平行导体板，相对两个面带等量异号电荷．再利用叠加原理，导体板上四个带电面在导体内任意一点激发的合电场强度必须为零，因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷．
证明（１）设两块导体平板表面的电荷面密度分别为ζ１、ζ2、ζ3、ζ4，取如图（ｂ）所示的圆柱面为高斯面，高斯面由侧面S１和两个端面S2、S3构成，由分析可知
得∑q=ζ2ΔS+ζ3ΔS=0,相向的两面电荷面密度大小相等符号相反．
ζ2+ζ3=0
（2）由电场的叠加原理，取水平向右为参考正方向，导体内P点的电场强度为
ζ12ε0
-ζ22ε0
-ζ32ε0
-ζ42ε0
=0,
ζ1-ζ4=0
相背的两面电荷面密度大小相等符号相同．
6－11将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近，如
图（ａ）所示，两导体板几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板距离为d
（d（１）忽略边缘效应求两导体板间的电势差；
（2）若将B接地，结果又将如何？
）．
分析由习题6－１0可知，导体板达到静电平衡时，相对两个面带等量异号电荷；
相背两个面带等量同号电荷．再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差．
导体板B接地后电势为零，B的外侧表面不带电，根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知，A的外侧表面也不再带电，由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布，进一步求出电场分布和导体间的电势差．
解（１）如图（ｂ）所示，依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得
（ζ1+ζ2）S
（ζ3+ζ4）S=Q=Q
ζ1=ζ2=-ζ3=ζ4=Q2S
两导体板间电场强度为E=Q
2ε0S；
方向为A指向B．
两导体板间的电势差为UAB=Qd2ε0S
（2）如图（c）所示，导体板B接地后电势为零．
ζ1=ζ4=0
ζ2=-ζ3=QS两导体板间电场强度为E'
=Q
ε0S；
两导体板间的电势差为U'
=ABQdε0S
6－12如图所示球形金属腔带电量为Q＞0，内半径为ɑ，外半径为b，腔内距球心O为r处有一点电荷q，求球心的电势．
分析导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；
内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布．球心O点的电势由点电荷q、导体表面的感应电荷共同决定．在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势
dV=dq
4πε0R
由于R为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R的带电球面在球心产生的电势为
V=⎰⎰4πεsdq0R=q4πε0R
由电势的叠加可以求得球心的电势．
解导体球内表面感应电荷－q，外表面感应电荷q；
依照分析，球心的电势为
q4πε0a
+q+Q4πε0b
6－13在真空中，将半径为R的金属球接地，与球心O相距为r（r＞R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影响．求金属球表面上的感应电荷总量．
分析金属球为等势体，金属球上任一点的电势V等于点电荷q和金属球表面感应电荷q′在球心激发的电势之和．在球面上任意取一电荷元ｄq′，电荷元可以视为点电荷，金属球表面的感应电荷在点O激发的电势为
V'
⎰4πε
s
dq'
R0
点O总电势为
V0=
+V'
而接地金属球的电势V0＝0，由此可解出感应电荷q′．解金属球接地，其球心的电势
R
14πε0
=0⎰R
感应电荷总量
q=
⎰dq'
Rr
6－14地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解由于地球半径R1＝6.37×
106m；
电离层半径R2＝1.00×
105m＋R1＝6.47×
106m，根据球形电容器的电容公式，可得
C=4πε0R1R2R2-R1=4.58⨯10-2F
6－15两线输电线，其导线半径为3.26mm，两线中心相距0.50m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．
解由教材第六章6－4节例3可知两输电线的电势差
U=λ
πε0lnd-RR
因此，输电线单位长度的电容
C=λ
U=πε0/lnd-RR≈πε0/lndR
代入数据C=5.52⨯10-12F
6－16电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底
板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。
当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。
假设金属片面积为50.0mm，两金属片之间的距离是0.600mm。
如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？
分析按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：
解按下按键时电容的变化量为
⎡11⎤ΔC=ε0S⎢-⎥d0⎦⎣d
按键按下的最小距离为
Δdmin=d0-d=ΔCd20mind0ΔC+ε0S=0.152mm
6－17盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1的长直导线作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ≈1的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度．
（1）求两极间电势差的关系式；
（2）若E1＝2.0×
106V·
m－1，R1＝0.30mm，R2＝20.0mm，两极间的电势差为多少？
分析两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场，由于电荷在圆柱面上均匀分布，电场分布为轴对称．由高斯定理不难求得两极间的电场强度，并利用电场强度与电势差的积分关系U=
E⋅dl求出两极间的电势差．
解
（1）由上述分析，利用高斯定理可得E⋅2πrL=λL，则两极间的电场强度
E=
导线表面（r＝R1）的电场强度
E1=
U=
E⋅dr=
dr=R1E1ln
（2）当E1=2.0⨯106V⋅m-1，R1＝0.30mm，R2＝20.0mm时，
3U=2.52⨯10V
6－18一片二氧化钛晶片，其面积为1.0cm2，厚度为0.10mm．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.
（1）求电容器的电容；
（2）当在电容器的两极间加上12V电压时，极板上的电荷为多少？
此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？
（3）求电容器内的电场强度．
解
（1）查表可知二氧化钛的相对电容率εr＝173，故充满此介质的平板电容器的电容
C=εrε0S
d=1.53⨯10-9F
（2）电容器加上U＝12V的电压时，极板上的电荷
Q=CU=1.84⨯10-8C
极板上自由电荷面密度为
ζ0=QS=1.84⨯10-8C⋅m-2
晶片表面极化电荷密度
⎡1⎤-4-2'
ζ0=⎢1-⎥ζ0=1.83⨯10C⋅mεr⎦⎣
（3）晶片内的电场强度为
E=U
d=1.2⨯10V⋅m5-1
6－19如图所示，半径R＝0.10m的导体球带有电荷Q＝1.0×
10－８C，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d＝0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：
（1）离球心为r＝5cm、15cm、25cm处的D和E；
（2）离球心为r＝5cm、15cm、25cm处的V；
（3）极化电荷面密度ζ′．
分析带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D呈均匀对称分布，由高斯定理
D⋅dS=∑q
可得D（r）．再由E=D/ε0εr可得E（r）．
介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系V=理求得．
或者由电势叠加原E⋅dl求得，
极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度ζ'
=pa．解
（1）取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得r＜RD1⋅4πr=0
D1=0；
E1=0
R＜r＜R＋dD2⋅4πr=Q
D2=
Q4πr
Q4πε0εrr
r＞R＋dD3⋅4πr=Q
D3=
将不同的r值代入上述关系式，可得r＝5cm、15cm和25cm时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外．r1＝5cm，该点在导体球内，则
Dr1=0；
Er1=0
r2＝15cm，该点在介质层内，ε
Dr2=
22
ｒ
＝5.0，则
-2
=3.5⨯10
C⋅m
Er=
Q4πε0εr
2r2
=8.0⨯10V⋅m
2-1
r3＝25cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0，则
Dr3=
23
=1.3⨯10
Q4πεr
202
=1.4⨯10V⋅m
（2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得r3＝25cm，
r1
E3⋅dr=
Q4πε0r
=360V
r2＝15cm，
V2==
R+d
r2
E2⋅dr+-
E3⋅dr
Q4πε0（R+d）
Q4πε0εrr2
Q4πε0εr（R+d）
=480V
r1＝5cm，
V1==
Q4πε0εrR
=540V
（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0，极化电荷可忽略．故在介质外表面；
Pn=（εr-1）ε0En=
（εr
-1）Q
4πεr（R+d）=1.6⨯10
ζ=Pn=
4πεr（R+d）
在介质内表面：
4πεrR
ζ'
=-Pn=
=-6.4⨯10
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号．6－20人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。
设某细胞壁厚为5.2×
10－9m，两表面所带面电荷密度为±
5.2×
10－3C／m2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求
（1）细胞壁内的电场强度；
（2）细胞壁两表面间的电势差．解
（1）细胞壁内的电场强度E=
ζε0εr
=9.8⨯10V/m；
方向指向细胞外．
6
（
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