数学实验第二次作业011561Word格式.docx
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空气阻力f=k*v^2=0.4v^2，
加速度a=dv/dt，
由牛顿第二定律有
F-f-G=ma，
即32000-0.4v^2-9.8*（1400-18t）=（1400-18t）*v’
v’=（32000-0.4v^2）/（1400-18t）-9.8
初始条件：
v0=0，
所以a=v’=（32000-0.4v^2）/（1400-18t）-9.8
h=
（用数值积分求解）
用龙格-库塔方法求t=60s（即燃料耗尽时）时的速度v：
编写如下M文件：
functiondv=huojiansudu（t,v）
F=32000;
b=0.4;
g=9.8;
c=1400;
q=18;
dv=（F-0.4*v^2）/（c-q*t）-g;
编写运行程序：
将时间t试探性等分为间隔0.5s的一系列等分点，作试探。
编程如下：
ts=0:
0.5:
60;
v0=0;
h
（1）=0
[t,v]=ode45（@huojiansudu,ts,v0）;
[t,v]
a=（32000-0.4*v.^2）./（1400-18*t）-9.8;
fori=1:
120
h（i+1）=h（i）+0.5*（v（i）+v（i+1））*0.5;
end
解得：
火箭引擎关闭瞬间v=267.2612m/s,a=0.9143m/s^2,h=12190m
将h减小，取h=0.05，算得的结果与上面的相差不大，所以上面的结果比较可靠。
第二阶段：
F=0，m=1400kg-1080kg=320kg,初始条件变为v（0）=267.2612，
h（0）=12190m
由牛顿第二定律
-f-G=ma
所以v’=a=（-0.4*v^2）/320-9.8,
h=h（0）+
用龙格-库塔方法,编写M文件如下
functiondv=huojiansudu2（t,v）
dv=-0.4*v^2/320-9.8;
由于不知道所需的总时间，结束的标志是v<
=0。
先选一个较大的t，不妨为60s。
ts=60:
120;
v
（1）=267.2612;
h
（1）=12190
[t,v]=ode45（@huojiansudu2,ts,v0）;
60
if（v（i）>
=0&
v（i+1）<
=0）
break
end，i
上面的程序在算i=23，即当t=60+23/2=71.5s时，火箭速度已经基本是0了，所以重新编程，t到71.5即可：
71.5;
h
（1）=12190；
[t,v]=ode45（@huojiansudu2,ts,v
（1））;
由此算出的最后的两个v分别是2.9626和-1.9388，由此可见h取的还是比较大的，结果会不太可靠，取h=0.05，重新计算
0.05:
得当t=71.3s时，v比较接近0（0.02）了。
所以重新编程，计算v=0时的a和h
71.3;
v0=267.2612;
[t,v]=ode45（@huojiansudu2,ts,v0）;
a=-0.4*v.^2/320-9.8;
226
求得火箭达到的最高点为h=13116m，此时加速度a=-9.8m/s^2
下面作速度，加速度和高度对时间的变化图，编程如下：
h=0
figure
（1）
plot（t,v）,gridon,holdon
figure
（2）
plot（t,a）,gridon,holdon
figure（3）
plot（t,h）,gridon,holdon
0.01:
1130
plot（t,v）,gridon,gtext（‘v（t）’）,
plot（t,a）,gridon,gtext（‘a（t）’）,
plot（t,h）,gridon,gtext（‘h（t）’）,
各自与t的关系图如下
v（t）图
a（t）图
h（t）图
4.5、题目概述：
一小船要渡过宽为d的河流，由此岸的A点到正对着得彼岸的B点，已知水流速度v1与船在静水中速度之比为k。
（1）建立如图所示的坐标系：
设C点的坐标为（x,y）
则dy=-v2cos（a1）dt
dx=（v1-v2sin（a1））dt
其中cos（a1）=y/
sin（a1）=x/
代入上面的式子，得
（2）t=0时刻，x=0,y=d=100m,v1=1m/s,v2=2m/s
用龙格-库塔方法求解，编写的M文件如下：
functiondx=chuanduhe（t，x）
v1=1,v2=2
dx=[v1-v2*x/sqrt（x^2+y^2）;
-v2*y/sqrt（x^2+y^2）];
因为事先不知道渡河所需的时间，所以需要估计时间t。
如果水流速度为0，则需要50s船能够到达对面。
不妨取t=100s，看在100s之前是否有y=0（此时x也应该等于0）。
编写的运行程序如下：
1:
100；
x0=[100,0];
[t,x]=ode23s（@chuanduhe,ts,x0）;
[t,x]
100
if（x（i,2）>
x（i+1,2）<
end,i
计算得i=67（开始时用ode45计算，很长时间不出结果，就换了ode23s），即67s时船已到达了对面河岸。
在以上的程序中在加一句代码（在command窗口输入即可），作出航行曲线
plot（x（1:
67,1）,x（1:
67,2））
如图：
（与前面图的上下位置颠倒了）
（3）、分别将v1=0,0.5,1.5,2代入上面的程序，替换掉原来的v1，得新的结果（因为以上程序运行时间较长，所以去掉了循环判断，而从y的值来判断，另外，t一开始的终值也不是直接取100，而是从10开始不断增加，每次增加10，到后来可以再增加的慢一些，这样能够较快的得到结果）注意，以下四张图均是B点在下，A点在上。
当v1=0时，当t=50时，y=0，此时相应的x=0，且发现x一直为0，说明船沿直线到达对岸，与实际相符。
航行曲线如下：
当v1=0.5时（对t的取值，运行时间有较大变化，t=53时，还非常快，而t=54时，则需要较长时间才会出结果），当t=54时，y=0，x=0，航行曲线如下：
当v1=1.5时，计算得当t=115s时，船到达对岸B点。
实际上船在之前就已经到达了对岸，只是不在B点，逆流而上了。
当v1=2时，在保留小数点后四位数字的情况下，t=375时，y=0，但此时x并不等于0，而是50.0076。
因为此时v1=v2，而船头的方向（即v2的方向）基本上沿河岸向着B点，但由于v1=v2，所以无论如何船也不可能更接近B点。
多以最终船无法到达B点。
航行曲线图如下：
4.8、题目概述：
两种群相互竞争模型如下：
x’（t）=r1*x（1-x/n1-s1*y/n2）,
y’（t）=r2*y（1-s2*x/n1-y/n2）,
其中x（t）,y（t）是两种群的数量，r1,r2是它们各自的固有增长率，n1,n2为它们的最大容量，s1：
对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗为单位数量甲（相对n1）的消耗的s1倍，对s2有相应解释。
（1）若r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10
编写M文件如下：
functiondx=jingzheng（t，x）
r1=1，r2=1,n1=100，n2=100,s1=0.5,s2=2；
dx=[r1*x
（1）*（1-x
（1）/n1-s1*x
（2）/n2）;
r2*x
（2）*（1-s2*x
（1）/n1-x
（2）/n2）]
编写运行程序并尝试t取10，之后逐渐增大，直到两者数量随时间变化呈现周期性变化时停止（主要通过图像看，数值不容易看出周期性），代码如下：
10；
x0=[10,10];
[t,x]=ode23s（@jingzheng,ts,x0）;
plot（t,x（:
1）,’-r’,t,x（:
2））
plot（x（:
1）,x（:
运行以上程序可得当t=10时，甲已经基本上达到100（最大容量），而乙则变为0。
说明二者竞争不平衡，乙在t充分大时会灭绝，而甲则达到了最大容量，且一直保持此水平。
x（t）,y（t）及y（x）图如下，借助二图能够更加直观的看到这种变化：
（2）改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，s1,s2不变，计算结果。
不妨设
r1=2,r2=1,n1=400,n2=200,x0=50,y0=20。
代入上面的程序，可以看出甲更加快的趋于最大容量，而乙则更加快的趋于灭绝。
x（t）,y（t）及y（x）图如下：
由此可以看出因为s1<
1而s2>
1,所以甲在竞争中会占优，最终的结果会是甲达到最大容量，而乙则灭绝，与初值及最大容量等无关。
再令s1=1.5,s2=0.7,其他不变（同此问中所设数值），代入上面的程序，尽管厨师情况下，是甲的数量占优势（我给的初始值如此），但是，一段时间后，甲的数量就开始减小，并最终趋于0，而乙则达到了最大容量。
由此可以分析：
即当两个s中一个大于1，而另一个小于1时，总是s小于1的种群在竞争中占优，最终取得竞争的胜利（即对方灭绝，而自己达到最大容量），而无论初始值如何，只要时间足够长。
从生态学的角度分析，s1是对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗为单位数量甲（相对n1）的消耗的s1倍。
即二者是靠争夺对方的资源来进行竞争的，但显然，因为s1<
1,甲比乙消耗对方的资源的能力更强，所以甲在竞争中最终会取得胜利。
（3）当s1=0.8,s2=0.7时，其他数值仍取第
（2）问中的值，代入上面的程序得：
当t足够大时，甲和乙均达到了稳定的数值（甲为183，乙为134），而不再变化，竞争趋于平衡，互相之间都不再对对方的数量产生影响，实际是相互制衡。
双方消耗对方资源的能力都较低（<
1），所以最后会达到平衡。
当s1=1.5,s2=1.7时，其他数值不变，代入上面的程序得,最终甲在竞争中取得了胜利，而乙灭绝了，更换一下s1，取s1=2.7，代入程序可得，最终甲灭绝了，乙取得了胜利。
所以在s1，s2均大于1的情况下，二者的竞争还和初始值有关，因为二者均具有很强的消耗对方资源的能力（s均大于1），所以在竞争中谁会胜利除了要看s外，还要看初始值，二者共同决定了谁的资源先被对手消耗完。
总结：
本次试验主要学习了欧拉法和龙格-库塔方法求解常微分方程的数值解，我觉得在做题的过程中，首先要对原理弄的很清楚，否则很难进行实验，另外，实验就要不断的去试，从中找出好的解法和结果，同时兼顾时间，就比如一开始在做第二道题时，直接给t取了一个较大的值，等了好长时间，却没有结果，很是郁闷，其实完全没必要等，重新给t取个小值做，得不到最终结果的话，就逐渐增加t，这样会节约大量的时间。
另外，对于第三题其实还可以进一步分析，s的值以及初值对于最终的竞争结果的共同作用，得出一个叫较一般的结论，但问题有点复杂，试了几组不同的s和初值，没有发现很明显的关系，限于时间，只好放弃。
还有，做题速度较慢，以后要提高一下！
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