单级移动倒立摆建模及串联PD校正设计文档格式.docx
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武汉理工大学
题目:
单级移动倒立摆建模及串联PD校正设计
图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
初始条件：
要求完成的主要任务:
（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
（1）研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u为输入，
为输出）；
（2）要求系统输出动态性能满足
试设计串联PD校正装置。
（3）用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。
（4）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：
任务
时间（天）
指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料
2
分析、计算
编写程序
1
撰写报告
论文答辩
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
目录
1单级移动倒立摆的建模1
1.1单级移动倒立摆的物理模型1
1.1.1单级倒立摆动力学方程的建立1
1.1.2单级移动倒立摆的传递函数3
2单级移动倒立摆系统的串联比例微分（PD）校正3
2.1未校正系统输出动态性能3
2.2校正前系统的伯德图5
2.3系统的串联PD校正6
3校正前系统与校正后系统的比较11
4心得体会11
5参考文献13
本科生课程设计成绩评定表14
单级移动倒立摆建模及串联PD校正
1单级移动倒立摆的建模
1.1单级移动倒立摆的物理模型
单级倒立摆系统物理模型如图1-1所示。
在惯性参考系的光滑水平平面上，放置一个可以水平于纸面方向左右自由移动的小车，一根钢性的摆杆通过末端的一个不计摩擦的固定点连接点与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆和小车共同构成了单级移动倒立摆系统。
倒立摆可以在平行于纸面的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然能够保持竖直向上的状态。
在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到轻微的摄动下就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体对位移时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
图1单级移动倒立摆的物理模型
1.1.1单级倒立摆动力学方程的建立
在惯性参考系中，根据牛顿力学原理，分析整个系统的受力情况，如2图所示，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。
M小车质量m摆杆质量l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）
图2系统受力分析图
是摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）
应用Newton方法来建立系统的动力学方程，分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
合并可得：
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
合并得到力矩平衡方程如下：
方程中
，当
与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：
、
，用
来代替被控对象的输入力F，线性化两个运动方程如下：
1.1.2单级移动倒立摆传递函数
对以上方程组进行拉普拉斯变换，得到：
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度
，求解方程组可以得到：
于是得到传递函数为：
代入M（小车的质量）=1kg，m（倒立摆的质量）=0.2kg,l（倒立摆的长度）=0.5m,g（重力加速度）=10m/s2到上式得：
2单级移动倒立摆系统的串联比例微分（PD）校正
2.1未校正系统输出动态性能
据未校正系统的开环传递函数可以画出系统的结构图，用Matlab中的工具SIMULINK画出系统的结构图，系统结构图如图2所示。
图3系统未校正时的结构图
用matlab函数作出系统未校正时的阶跃响应图，编写程序代码如下：
num=[1];
%定义分子多项式
den=[0.70-12];
%定义分母多项式
step（num,den）;
%作系统的阶跃响应图
Grid;
得到系统阶跃响应图形如图4所示。
图4系统未校正时的阶跃响应图
根据未校正系统的传达函数可以作出系统的根轨迹图，可以用Matlab作出系统的根轨迹图形，编写matlab程序代码如下：
num=[1];
%定义分子多项式
den=[0.70-13];
%定义分母多项式
rlocus（num,den）;
%绘制系统的根轨迹
grid;
%画出网络标度线
xlabel（'
RealAxis'
）,ylabel（'
ImaginaryAxis'
）;
%给坐标轴加上说明title（'
RootLocus'
%给图形加上标题
得到系统未校正前的根轨迹图如图5所示。
图5系统未校正前的根轨迹图
2.2校正前系统的伯德图
用MATLAB绘制校正前系统的伯德图，编写程序如下：
num=1;
den=[0.70-13];
s1=tf（num,den）;
%创建传递函数G（s）的TF模型对象
[m,pi,w]=bode（num,den）;
%m为幅值pi为相角返回变量格式不做图
margin（s1）;
%给开换系统模型对象s1绘制伯德图并在图上标注GmwgPmwp
得到系统未校正前的伯德图如图6所示。
图6系统未校正前的伯德图
2.3系统的串联PD校正
比例-微分（PD）控制是一种早期控制，可在出现位置误差前提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。
在此次课程设计中要求用串联比例-微分（PD）控制器改善倒立摆系统性能。
具有比例-微分控制规律的控制器,称为PD控制器，其输出m（t）与输入e（t）的关系如下式所示
式中K为比例系数，T为微分时间常数。
K与T都是可调的参数。
PD控制器如图7所示。
图7PD控制器的结构图
方框图如图8所示。
图8方框图
PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信
号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。
经计算校正后系统开环传递函数为
根据典型二阶系统的暂态性能指标
由二阶系统阻尼比
和自然震荡频率
的计算方法：
，计算得
由反馈系统闭环传递函数的计算方法得系统的闭环传递函数
对照公式
根据典型二阶系统的数学模型得：
，所以
，取
得
，应用matlab求出系统校正后的超调量
和调节时间
，编写程序如下：
sys=tf（[322],[0.739]）;
%系统建模
%计算峰值时间tp和对应最大超调量Mp
C=dcgain（sys）%取系统终值
[y,t]=step（sys）;
%求取单位阶跃响应，返回变量输出y和时间t
[Y,k]=max（y）;
%求输出响应的最大值Y（即峰值）和位置k
tp=t（k）%取峰值时间
Mp=（Y-C）/C%计算最大超调量
%计算上升时间tr
n=1;
whiley（n）<
C%循环求取第一次到达终值时的时间
n=n+1;
end
tr=t（n）
%计算调节时间（误差带取2%）
i=length（t）;
%求取仿真时间t序列的长度
while（y（i）>
0.98*C）&
（y（i）<
1.02*C）
i=i-1;
end
ts=t（i）
其结果如下：
C=2.4444tp=0.9396s
Mp=0.1131tr=0.5934s
ts=1.4835s
系统的阶跃响应图形如图9所示。
图9系统校正后的阶跃响应图
根据以上计算得，校正后的系统暂态指标为：
，即所设计的PD校正满足系统要求。
编写MATLAB代码可以画出校正后系统的根轨迹，程序代码为：
num=[322];
den=[0.70-13];
rlocus（num,den）;
%绘制系统的根轨迹
grid;
%画出网络标度线
xlabel（'
%给坐标轴加上说明
title（'
%给图形加上
校正后系统的根轨迹曲线如图10所示。
图10校正后系统的根轨迹图
编写MATLAB代码画出已校正系统的伯德图，程序代码为：
num=[322];
den=[0.70-13];
s1=tf（num,den）;
[m,pi,w]=bode（num,den）;
margin（s1）;
%给开换系统模型对象s1绘制伯德图并在图上标注GmwgPmwp
运行程序后得到校正后系统的伯德图如图11所示。
分析系统校正前后的根轨迹图和伯德图可知，经过校正后系统稳定性得到很大程度的改善。
图11校正后系统的伯德图
3校正前系统与校正后系统的比较
通过比较校正前和校正后的各图可以知道，系统校正前是不稳定的，加入比例-微分（PD）控制器后，我们得到了一个稳定的倒立摆系统。
比例-微分（PD）控制器的串入，使得系统动态过程的超调量
下降由原来的不稳定时的无穷到校正后的11.3%,同时调节时间
缩短至1.4835s;
和
都满足设计要求。
值得注意的是串入比例-微分（PD）控制器后开环增益K保持不变,可见比例-微分校正环节的引入并不影响系统的稳态精度，同时也不改变系统的无阻尼振荡频率
。
由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数T,既可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。
4心得体会
在开始做课程设计时，由于对课本上的知识没有复习好，导致开始时无从下手，后来通过边思考边复习课本知识，渐渐地有了思路。
在课程设计的过程中，也遇到了许多难题，通过查阅资料以及和同学讨论，最终干将问题一个个的解决。
我觉得遇到问题首先应该独立思考解决，解决不了时再与他人讨论。
与他人讨论其实也是一个很好的解决问题的办法，在解决问题的同时也能加深对问题的理解。
当今时代，越来越多的利用计算机仿真技术做一些研究的仿真和测试，现在的研究离不开计算机仿真技术。
掌握一些用计算机来仿真的技术对于我们适应时代的发展是很有必要的。
本次课程设计我学会了使用仿真建模软件MATLAB，通过MATLAB中的工具SIMULINK我们可以很简单的仿真出一些基本的控制系统。
SIMULINK中的仿真形象生动，以绘图为主代码为辅，而其软件本身包含很多库函数和库模型，使得分析系统的输出相应和动态性能等十分简单。
我们只要简单的画出系统的结构框图，设置好相应的参数就可以分析系统，分析结果十分精确，使得复杂的数学计算好像是画画一样简单，大大提高了效率。
通过这次自动控制理论课程设计，加强了我们动手、思考和解决问题的能力。
通过参加这次自动控制理论的课程设计，我学到了很多无法在课堂上学到的知识。
在课堂上我们学习的都是理论知识，而课程设计是锻炼我们把那些理论运用到我们实际的生活中。
经过这次课程设计，在进一步了解熟悉课程知识的基础上，应用了MATLAB对整个系统的分析校正进行了分析，使我更加熟练地掌握了这门课程。
参考文献
[1]曾志新，邹海明，李伟光，等.倒立摆的建模及MATLAB仿真[J].新技术新工艺，2005，10：
16-18.
[2]MohandMokhtari,MichelMarie.赵彦玲，吴淑红，译.MATLAB与SIMULINK工程应用[M]，北京：
电子工业出版社，2002
[3]刘金琨，先进PID控制及其MATLAB仿真[M].北京：
电子工业出版社，2003
[4]吴楠，单级倒立摆系统角运动控制方案建模及仿真[J].系统仿真学报，2003，（11）：
1290-1293.
[5]班晓军.倒立摆得的一种FUZZY-PD复合控制器设计[J].哈尔滨工业大学学报，2003，（11），1290-1293.
[6]胡寿松.自动控制原理（第五版）.北京：
科学出版社，2007
本科生课程设计成绩评定表
性别
专业、班级
课程设计题目：
课程设计答辩或质疑记录：
成绩评定依据：
评定项目
评分成绩
1．选题合理、目的明确（10分）
2．设计方案正确、具有可行性、创新性（20分）
3．设计结果（20分）
4．态度认真、学习刻苦、遵守纪律（15分）
5．设计报告的规范化、参考文献充分（不少于5篇）（10分）
6．答辩（25分）
总分
最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定）
指导教师签字：
年月日
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