物理问题的计算机模拟方法3离散性模拟方法Word格式.docx
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其值对应于二进制表示76543210。
给定演化规则初始状态，便可以研究系统随时间的演化。
根据规则的行为特点，将各种规则划分为4类：
（1）类1：
元胞自动机经有限时步后，几乎全部的初始状态都演化成单值均匀状态（所有格位都有同一值）。
当元胞数N趋于无限大时，一组行为不同的奇异初始构形是零测度的。
规则40给出一个例子（见图4.1（a））。
根据动力系统的观点，这些自动机在相空间向简单的极限点演化。
（2）类2：
几乎全部的初始状态都生成一个由间隔的、周期性的分区组成的图形。
所生成的简单结构是稳定的或周期性的（小周期）。
规则56给出这一例子（见图4.1（b））。
同样地，有些特殊的初始状态（零测度的一组）可能导致无限生长。
这些自动机的演化类似于某些连续动力系统向极限环的演化。
（3）类3：
几乎全部的初始状态都演化成混沌的、非周期性的图形，规则18给出这一例子（见图4.1（c））。
初始条件的微小变化几乎总是导致以后阶段越来越大的变化。
这类元胞自动机的演化类似于某些连续动力系统向奇异吸引子的演化。
（4）类4：
自动机针对各类初始状态，能够生成持续不断的复杂结构，规110给出这一例子（见图4.1（d））。
这样的元胞自动机的行为一般仅由时间演化的显式模拟来决定。
上述讨论表明，Wolfram考察的“玩具规则”虽然结构简单，却有很复杂的特性。
这种分类的有效性不仅仅限于上述简单规则，而且，不知为什么也普遍适用于较复杂的规则。
各种规则均可划分在上述4类规则中。
类4的大多数元胞自动机都有计算通用性的性质，这就意味着，适当的初始构形可以具体规定任意算法，因此元胞自动机系统可用作通用计算机，能够求解任意可计算的函数。
这种“现象上的”分类会遇到障碍，其中最大的障碍是其不可判定性。
上面定义的Wolfram规则不能判定：
给定的元胞自动机的全部有限的构形最终是否变成静止，因而不能判定出给定的元胞自动机实际属于哪一类。
这些简单规则与真实物理系统密切相关。
2．作为空间扩展系统的元胞自动机
（1）定义
空间扩展系统—增加了空间维数的动力系统。
通常定义在网格上，其中每个格位都具有一定的局部状态，这种状态按照指定函数即时演化，指定函数一般取决于格位本身值和局部邻居的值，设想所有格位的状态都同步更新。
根据这个定义，元胞自动机显然是一个空间扩展系统。
（2）偶合映射网格（coupledmaplattices）
偶合映射网格系统也属空间扩展系统。
偶合映射网格可看做在每个格位拥有无限可能状态的元胞自动机。
元胞自动机偶合映射网格
局部变量取有限个分离值局部变量连续、无限个值
分离变量演化规则连续自由度的局部动力学
格子Boltzmann系统即为偶合映射网格的一个特例。
偶合映射网格常常用作湍流系统的玩具模型。
（3）非平凡集总行为（non－trivialcollectivebehavior）
非平凡集总行为是在宏观参量上观察到的意外行为
例如总密度（即全部格位的局部状态之和）,典型的例子是在完全不符合统计平衡力学或均域计算结果的情况下，这个总密度的周期性或准周期性情况。
非平凡集总行为一般出现在高维网格中。
例：
三维简单元胞自动机，具有周期边界条件的三维笛卡尔网格，每个格位它可处在状态si=0或状态si=1，演化规则如下：
（4.4）
密度c（t）定义为
这个参量在长期不衰减为常数值的意义上，显示出非平凡的行为，而它服从低维动力学。
如图4.2所示。
几点讨论：
（i）空间扩展系统中这样的非平凡集总行为可以从几个元胞自动机的累加规则上观察到。
累加规则意指，元胞i的新状态仅仅随i的指定邻居元胞j的状态sj之和而变化。
式（4.4）是累加规则的一个例子。
累加规则可看做均域演化，因为每个格位都要“经受”平均化。
（ii）非平凡集总行为不是奇异现象，若对某些条件做细微调整，则其表现为一般特性，而对局部规则和初始条件做少许改进，则其反应强烈。
动态特性通常伴随有噪音，这种噪音与初始构形的异常有关，并且以渐近方式消失。
（iii）在元胞自动机及偶合映射模型中都观察到几种集总行为。
产生非平凡集总行为的最低要求的两个结论:
第一，演化的确定性不是必需的，集总行为可表现出确定的和随机的演化；
第二，同步性是必需的，为了表现其非平凡行为，系统要有一个时钟，以提供“瞬间”的总信道。
3．真实性水平
尽管元胞自动机的初等动力特性简单，而其与复杂系统却极为相似。
行为如此相似的理由很平常，即由众多交互作用的组元组成的系统，它的宏观行为往往很少决定于交互作用的微观细节。
例如，控制液体运动的Navier－Stokes方程是分子间基本交互作用过程中动量守恒的最重要表达式。
这些交互作用的详情是按方程式的系数（例如粘滞度），而不是按其代数结构表现出来的。
研究物理系统时存在真实性水平问题！
有对应于微观和宏观观察尺度的两个主要水平：
在微观水平上，复杂的潜在因素控制着交互作用，有时需要使用量子力学给予严格描述；
在宏观水平上，所有微观交互作用的集总作用支配着系统的性质。
尽管微观作用决定宏观性质，但宏观世界的复杂性与微观世界的复杂性是俨然分割开的。
铁磁材料的磁性研究给出了这两个水平真实性的著名例子。
在微观水平，这种现象是由原子中的电子分布引起的，通常可以用量子力学法则来描述。
在宏观水平，人们可以观察到这样的集总行为：
在某一临界温度下，与每个原子有关的磁偶极排成一行，形成宏观磁畴，只在宏观尺度上有意义的这种性质，与铁磁交互作用的详细形式无关，而是源于极普遍的事实，即当两磁偶极沿同一方向时，交互作用的局部能量就会降低。
著名的Ising模型可以复制这里所描述的宏观行为。
在这个模型中，所有微观复杂性都简化成笛卡尔网格内每个格位自旋之间的简单交互作用。
自旋为1或一1，是造成原子磁偶极的原因。
自旋从上到下翻动（或相反），自旋状态视引起这个运动的局部能量增加而定。
Ising模型对真实微观交互作用做了极粗略的描述，但当在大观察尺度下研究系统时，它保留了系统显露出的重要特性。
类似的Ising系统在本质上很接近于元胞自动机模型，它们都是基于虚拟的微观世界，目的在于捕捉真实微观交互作用的基本特性。
Ising动力模型是定义在离散时空上，如同元胞自动机的情况，然而，它是顺序地实现自旋状态的更新，而在元胞自动机模型内状态的更新是同步的。
这个差异很重要，因为当顺序地或并行地实现状态更新时，自旋系统不能收敛于同一最终构形。
后面将再讨论这一观点。
4．虚拟的微观世界
当对有关给定现象的微观定律进行的简化与宏观观察无关时，元胞自动机方法是起作用的。
从统计力学得知，这一事实通常适用于复杂性源于集总行为，而不是源于微观交互作用中的某些特殊形态的系统。
据观察，许多系统的宏观行为（恰恰是我们对之感兴趣的真实性水平）几乎与真实的微观性质无关，这明显有利于虚构一个极简单的微观实体，以更适合于数值研究方法。
爱因斯坦有句名言：
应当尽可能简单而不是比较简单地做每件事，这充分反映了元胞自动机模拟的真谛。
它的要点是捕捉真实现象的必要且相关的要素，并把这些要素看作新虚构系统的基本物理定律。
从这个意义上说，元胞自动机是对真实世界的模拟，而不是真实世界的如实写照。
在微观描述水平上模拟系统有很大的优点。
用简单的微观规则解释元胞自动机动力学，为模拟那些传统方法（例如微分方程）很难包容的现象提供了直观而强有力的方法。
例如，在元胞自动机模型中往往自然地施加边界条件，因为在这个描述水平上对边界条件有自然的解释（例如，粒子从障碍物弹回）。
对流淌的液体使固体变湿的现象则很难确定出适当的边界条件。
对正确的元胞自动机模型进行设计就意味着已识别出复杂现象的基本状况，并已将其简化成简单的易控制的形式。
把复杂行为简化成若干简单机理的和的过程是任何科学研究的基本步骤。
因此元胞自动机模型在基础研究、现实问题和教学应用中是一个强有力的工具。
许多元胞自动机规则的数值简明性使它们完全适合大型计算机模拟。
所要进行的操作的布尔性质将导致不必舍位，数值稳定的精确演化过程。
因此计算机模拟是元胞自动机规则所表达的数学模型的准确可靠的实现。
在模拟牛顿体问题时，这是很有意义的，因为多粒子相关函数不会为数值方法破坏。
4.2简单系统的模拟：
规则取样器
1.作为表面生长模型的规则184
Wolfram规则184可以用来模拟确定性表面生长情况下时空结构的形成。
（1）弹道沉积
表面生长的一个重要机理是通过弹道沉积（ballisticdeposition）。
Krug和Spohn,简单格子模型。
平行于方形网格x轴的一维表面构形，粒子沿y轴做直线运动，当它们到达未占满格位的最近邻居时，部分粒子发生沉积。
这样，新进来的粒子可能粘附在现有柱体的侧面（速率为s）或顶面（速率为t）。
随机沉积模型:
考察对立的极限
。
在同步更新的情况下，界面动力特性可写成以下的简单形式：
（2．5）
对于所有的格位i，hi（t）代表格位i在时间t的表面高度。
（2）一维表面上的沉积问题
对前面模型进行轻微的改型，即考虑在平行于方形网格（1，1）方向的一维表面上的沉积问题，只允许粒子在表面最低格位粘附，如图4．3所示。
图4.3从平行于（1，1）方向的粗糙表面的生长
在每一时步，所有局部表面最低格位填充以新粒子，相应的格子气按照自动机规则184演化
所产生的表面构形有局部梯度±
1，粒子有简单动力特性。
在速率1的情况下，它们向右跳动，除非在最后格位被占据时，它们才停留下来（顽固排斥）。
可以用简单的Wolfram规则184的局部规则，根据时间t的构形获得时间t＋1的构形。
2.概率元胞自动机规则
可以把Wolfram规则看作概率元胞自动机规则的确定界限，随着输人规则的自由参数的变化，其可能表现出更复杂的行为。
（1）定向渗滤
－概率规则的一个简单、物理上重要的例子
考察图4.4的方形网格
原点表示格位，可能出现，也可能不出现；
格位间实线表示连接键。
任一格位可能以概率p出现或以概率1-p不出现，而且任一连接键可能以概率q出现和以概率1－q不出现。
假定在时间t=0时单一格位是“湿的”。
连接键只在下降（时间增力口）方向，且当有两个格位由连接键连接时，才导“水”。
当q＝1时表明格位定向渗滤
当p=1时表明连接键定向渗滤
如果已知两个概率p和q，则可以回答以下几个问题：
i）在时间t出现湿格位的概率是多大？
ii）湿团的典型尺寸多大？
在各种情况下都有一个称之为渗滤阈值的临界值（pc,qc），超过这个值，湿团将覆盖整个系统。
定向渗滤是众所周知的“几何相变”问题，对此已提出标度理论和重正化群方法。
（2）定向渗滤模型的概率元胞自动机规则
考察线性链状或环状格位，每个格位的相关变量i（t）=0或1。
在奇（偶）时步，标记奇（偶）的格位依据概率规则改变其状态，标记偶（奇）的格位保持同样的状态。
可以在二维网格上表示出全时空历程。
用条件概率
定义这个规则，对于定向渗滤，有
P（1｜00）=0，y≡P（1｜11）=pq，z≡P（1｜01）=P（1｜10）=pq（2-q）（2.6）
在相变点，渗滤团是一小部分，此外，在转变点附近，许多物理量按照p-pc或q-qc形式具有乘方律行为，并带有通用临界指数。
这里再一次表明，很简单的元胞自动机规则能产生复杂的结构。
（3）森林火灾模型的概率元胞自动机规则
这个概率元胞自动机模型定义在d维超正方体网格上。
最初，每个格位用树、正在燃烧的树或空状态填充，系统状态按下列规则并行更新：
①正在燃烧的树变成空格位；
②如果绿树格位的最近邻居中有1个树在燃烧，则它变成正在燃烧的树；
③在空格位，树以概率p生长；
④在最近的邻居中没有正在燃烧的树的情况下，树在每一时步以概率f（闪电）变成正在燃烧的树。
图2.6说明这个规则在二维空间的行为。
假若把森林中的树木生长和烧毁的时间尺度完全分隔开（即极限f/p→0，这个模型具有自组织的临界状态。
这就意味着，在稳定状态，表征系统的几个物理量具有乘方律行为。
例如，森林的尺寸分布N（s）和森林的半径R（s）随森林内树木数量s的变化为
（2.7）
和
（2.8）
在临界指数和之间可以建立标度关系式，并可计算标度函数和
注意：
d维概率元胞自动机和d+1维平衡统计物理学问题之间存在总体相一致，故每个d维概率元胞自动机都可能与传统的d+1维统计模型相关联。
3．Q2R规则
Vichniac在20世纪80年代提出
——Ising自旋动力学模型
寻找元胞自动机规则
以二维方形网格为例：
每个格位拥有一个自旋si，其或上升（si=1）或下降（si=0）。
自旋将按元胞自动机规则翻转（或不翻转）。
保持局部能量守恒，在没有温度但有临界能量的情况下，这个模型是Ising自旋动力学的微正则元胞自动机模拟。
在Ising模型中，自旋si的能量来自它与VonNeumann邻居（位于东、南、西、北）内的自旋sj的偶合，自旋对（si，sj）对这个能量的影响是：
当两个自旋排列同向时为-J；
当两个自旋排列反向时为J。
当且仅当这个运动不引起任何能量交换时，自旋si在时间t可能翻转，在时间t+1变成1-si。
因此，如果自旋向上的邻居数与自旋向下的邻居数相同，则自旋si翻转。
然而，必须切记，所有自旋的运动都是在元胞自动机内同时发生的。
判定翻转与否是基于邻居不变化的假定，如果邻居也翻转（因为它们服从同样的规则），那么能量将不守恒。
解决这个问题的方法是把二维网格划分成2个子格，如同国际象棋盘上的黑白方格，分别为奇和偶子格。
状态更新分成两步：
首先，根据偶格位自旋的构形，翻转奇格位的自旋；
然后，再根据奇格位自旋的构形，更新偶数子格。
这种策略防止了相邻自旋间运动的冲突。
然而乍一看这种方法与元胞自动机的定义（约定所有格位同时更新）相抵触。
为使问题与定义相适应，可以简单地扩展基本规则，以包含某些空间的敏感性：
最初，格位拥有额外信息位b，其值在奇子格位为0，偶子格位为1。
对于二维系统，由t=0时的b给出的空间“结构”是
…101010…
…010101…
然后用b值调整上述翻转规则，翻转规则只发生在b=1的那些格位上。
当然，在每次迭代时，亦根据b（t＋1）=1-b（t）更新b值，以便在下次迭代时考虑其他子格。
这样，在时间t=1，系统的空间奇偶性b变成
在二维空间，Q2R规则可以用下式表达：
（2.14）
和
式中，下标i,j注明笛卡尔坐标；
sij（t=0）为1或0。
如何充分运用这个元胞自动机规则来描述Ising模型?
图4．7示出Q2R规则的计算机模拟结果。
从初始构形开始，约有11％的自旋sij=1（见图4.7（a）），瞬态演化后，（见4.7（b）和图4.7（c））系统达到静止状态，“向上”磁化区（白区）被“向下”磁化区（黑区）包围。
在此动力学中，能量严格守恒，因为这是构造规则的方针。
然而向上和向下自旋的数目可能发生变化。
在本试验中，向上自旋的百分率竟然从初始状态的11％增加到静止状态的40％。
因为该系统中有过量的向下自旋，故有最终的宏观磁化。
以各种不同的向上自旋的初始百分率s来研究这个模型是很有趣的。
可以观察到，对于许多s值，系统都演化成向上和向下自旋量大体相等的状态，这就不是宏观磁化。
然而，如果初始构形显示出足够大量的一种自旋，那么随着时间的推移，就会形成宏观磁化。
这就意味着，在零磁化状态和正负磁化状态之间有相变。
结果表明，当系统总能量E足够低（低能量意味着多数自旋排成同向，且一种自旋超过另一种自旋）时，或者更明确地说，当E小于临界Ec时，发生这种相变。
所以Q2R规则捕捉到了实际磁系统的重要特性，即低能量下的非零磁化（其可能与低温度情况有关）和在高能量下向非磁化相位的转变。
Q2R规则也显示出意外的行为，这从简单观察中是难以发现的。
丧失的各态历经性：
能量E0的给定初始构形不是在完全观察到以E＝E0表征的相空间区域内演化。
下面的简单例子将说明这一点。
现考察4个自旋的环，为方便起见，将它表示成一个具有周期边界条件的线性链（第一和最后的自旋是最近邻居）：
t：
1001
t＋1：
1100
t＋2：
0110（4.15）
t＋3：
0011
t＋4：
1001
4次迭代之后，系统循环返回到其原始状态。
这个例子的构形有E0=0，正如所看到的，它决不会演化成0111，这也是零能量构形。
这种非历经性意味着，不仅在自动机演化过程中能量守恒，而且在独立区内划分能量面的其他参量也守恒。
正如我们所知，在研究元胞自动机模型时，对动力不变量的研究是很重要的。
4．退火规则
元胞自动机规则的自然分类中包含所谓大多数规则，状态更新便是根据其多数邻居的当前值选择每个元胞的新状态。
一般在这些大多数规则中，状态为0或1。
G.Vichniac
曲解的大多数规则（twistedmajorityrule）
在二维空间，每个元胞考察它的Moore邻居（即本身加上它的8个最近的邻居），并计算Moore邻居中元胞值为1的和，该和可以为0～9之间的任一值。
然后，根据这个局部和，按下表确定每个元胞的新状态sij（t＋1）：
Sumij（t）0123456789
sij（t＋1）0000101111（4.16）
与大多数普通规则不同，这里对换了表中间的2个值，因而当元胞周围1占轻微多数时，元胞变成0；
相反地，如果0占轻微多数时，元胞则变成1。
（？
？
）
令人惊奇的是，这个规则确实能描述两相之间的界面运动，如图4.8所示。
Vichniac观察到，界面的正常移动速度与其局部曲率成正比，正如Allen-Cahn方程指定的那样。
当然，由于其局部性质，用该规则不能直接确定界面曲率。
但是随着规则的迭代，局部信息传输到最近的邻居，作为总体效果曲率半径会显露出来。
当初始构形是一个具有等浓度的二相随机混合物时，该规则尤其有意义。
在其他情况下，可能发生某些病态行为，例如，由白色相包围的初始黑色网格不演化：
直角不被侵蚀，形成稳定结构。
5．HPP规则
—元胞自动机模型的第一个重要类型
（1）模型的基本研究对象:
按照适当的规则在格子上运动的粒子。
每个元胞的状态表示这些粒子的存在或不存在。
为了使这种完全离散的“分子动力学”与元胞自动机动力学相容，要防止在指定格位上同时存在任意数目的粒子，因为元胞自动机的定义是以有限位数描述状态的，而这样定义规则是为了满足排他原理。
（2）HPP规则模拟由碰撞粒子形成的气体
借用真实微观交互作用的基本守恒定律，即动量的局部守恒和粒子数的局部守恒定律。
①HPP格子气自动机的定义
HPP格子气自动机定义在二维方形网格上，粒子可以沿网格的土方向运动，
如图4.9所示。
该模型限定有指定运动方向且进人指定格位的粒子数为1，这就是所说的排他原理。
因此每个格位中的4个信息位足以描述演化过程中的系统。
例如，如果在时步t、格位r有如下状态s（r,t）＝（1011），则意指有3个粒子分别沿1，3和4方向进人该格位。
②HPP元胞自动机规则
描述s（r,t）演化的元胞自动机规则分成两个阶段：
碰撞阶段和运动阶段。
碰撞阶段—指明进人同一格位的粒子如何相互作用及如何改变它们的轨道。
运动（或传播）阶段—粒子实际向最近的邻居格位运动。
图4.10表示了HPP规则。
这种在两个阶段上的分解是划分空间的另一种方式，如同依照Margolus邻居一样。
根据每个格位粒子的布尔表达，二粒子迎头碰撞时碰撞部分被表达为
（1010）（0101）（0101）（1010）（4.17）
其他构形不改变。
在传播阶段，状态变量的第1位改变成东邻居元胞；
第2位变成北邻居元胞，如此等等。
因为碰撞阶段相当于在不同方向上重排粒子，故确保在时间t=0时满足排他原理。
这一规则的目的是要再现粒子实际交互作用的某些特性，即在碰撞过程中动量和粒子数守恒。
从图4.10可以看出，粒子是服从这一特性的：
在（b）和（c）两种情况下，粒子实际经受碰撞，沿指定方向的零动量粒子对转变成沿正交轴方向的另一零动量对。
HPP规则捕捉实际交互作用的微观性质的另一重要要素：
在时间逆转过程中的不变性。
图2.10（b）和（c）表明，如果在某一指定时间所有粒子的运动方向
都反转，则该系统将追溯它自身的历程。
因为确定性元胞自动机动力学是严密的，可以证明，当所有粒子的运动方向都反转时，物理系统将重新回到它的原始状态。
③HPP气体的时间演化实例
图4.11说明初始被限制在一容器左隔间的HPP气体的时间演化，间隔壁上有一小孔，以便气体粒子从此孔流过，充满整个空间。
为了包含系统的固体边界，HPP规则修改如下：
当格位是间隔壁（以附加位表示）时，粒子不再经受HPP碰撞，但它们弹回到原来的地方，所以粒子不能从由这样的反射边界定界的区域逸出。
如果图4.11所示的系统被演化，经足够长的时间以后，它将达到平衡状态，不能再看到其初始的痕迹。
然而，在此过程中，系统没有信息损失，而且具有记忆其来由的能力，若反转所有的粒子运动方向并迭代HPP规则，则所有粒子将回到它们初始所处的隔间。
这种状态是惟一可能的，因为动力学是非常严格的，且在数值方法中不存在数值误差。
如果外部引入某些误差（例如在系统中增加一个额外粒子），在反转每个粒子的运动方向之前，则已丧失可逆性。
④HPP规则的缺点
HPP是重要的规则，
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